辽宁省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷03

**基本信息** 涵盖高一数学必修三、四全册内容，通过选择（单选8题40分、多选3题18分）、填空（3题15分）、解答（5题77分）梯度设计，突出三角函数、立体几何等核心知识，解答题如航行问题（17题）结合解三角形考查应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数图像平移（3题）、向量运算（5题）|基础概念辨析，注重知识准确性| |多选|3/18|解三角形多选项判断（10题）、正方体动态问题（11题）|考查知识深度，体现思辨性| |填空|3/15|解三角形求值（12题）、四棱锥轨迹问题（14题）|小切口深挖掘，关联空间想象| |解答|5/77|航行问题（17题）、向量与三角函数综合（18题）、四棱锥证明计算（19题）|多模块融合，突出逻辑推理与实际应用|

辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量满足与的夹角为若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，，则（     ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． 8．圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，（），且和均为纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则是等边三角形 B．已知 ，，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在 中， ， ，则 的值为_____. 13．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 14．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 16．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 17．位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 18．已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，若，求的取值范围． 19．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意， 则. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即，所以. 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 4．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． 5．已知向量满足与的夹角为若则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， . 若，则 ，即， 所以 ， 解得. 6．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，两边同时平方： ， 即. 由题目可知， 则. 所以， 即，B正确. 7．在四棱锥中，四边形 是平行四边形，点在棱上，且，点在棱上，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，由得为 中点，故，从而平面，结合已知平面，得平面 与平面 的交线，在 中由平行线分线段成比例可得 . 【详解】如图，取棱的中点H，连接，，，记，连接． 因为四边形是平行四边形，所以O是线段的中点． 因为H是线段的中点，所以． 因为，所以，则，即E是线段的中点，所以． 因为平面ACE，平面ACE，所以平面． 由平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 得，则． 8．圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 【答案】D 【分析】根据扇环圆心角与上下底面周长的关系求出母线长，再依次计算圆台的高、表面积、体积，逐一判断选项正误即可. 【详解】设圆台母线长为 ，下底面半径为，上底面半径为，高为,侧面展开扇环的内侧半径为 ， 则外侧半径为 ，已知扇环圆心角为 ，那么 A：上底面周长 ， 由弧长公式得 ，解得 ； 下底面周长 ，同理 ， 代入 得 ，解得 ，故A正确； B：圆台侧面积 ，上底面积 ，下底面积 ， 总表面积 ，故B正确； C：圆台的高、母线、上下底面半径差构成直角三角形，故 高 ，故C正确； D：由圆台体积公式 ， 代入数据得 ，故D错误；      二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，（），且和均为纯虚数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】为纯虚数，则，解得； . ， 由为纯虚数得：，解得． 10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则是等边三角形 B．已知 ，，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理得，即可求解；对B，根据条件得，即可求解；对C，过A作于，根据条件得，即可求解；对于D，根据条件，利用正弦定理及正弦的和角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以， 则，又，则，所以，即， 又，所以，即， 同理可知，所以，故A正确， 对于B，因为，且有两解，则，又，所以，故B正确， 对于C，方法一：如图，过作于，则， 由，得到， 当为中点时，与中线共线，此时动点经过的重心，所以C错误. 方法二：由，得到， 所以， 所以，所以， 所以动点经过的垂心，C错误；    对于D，因为，则， 又，则，所以，又，，所以D正确. 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【分析】取的中点为，连接，利用向量的投影向量大小即可求解. 【详解】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 13．已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C. 【详解】在中，设其外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 则由，可得 ， 由两角和的正弦公式，左边可化简为， 又， 因此等式化为 由于，故， 两边同除以得，又，因此. 14．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 【答案】 【分析】取棱的中点G，连接，可证明平面，进而得到动点M的轨迹为线段，再求线段长即可． 【详解】如图，取棱的中点G，连接． 因为F，G分别是棱的中点，所以． 因为 平面，所以平面． 因为平面，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面，平面，， 所以平面，则平面． 因为M是侧面内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段． 因为，所以． 因为E，G分别是棱的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，其中． (1)设，若是纯虚数，求实数m的值； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求得复平面上对应的点的坐标，利用向量的坐标表示，计算即可求解. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以且，解得； （2）当时，，故得，，故． 设点，则 ，， 因为，所以，解得 所以点P的坐标为 . 16．如图，的外接圆⊙O的半径为，所在的平面，，，，且，． (1)求证：平面BCDE； (2)求几何体ABCDE的体积． 【答案】(1)证明：所在的平面，， 平面，又平面，，又，， ，， 又的半径为，为圆的直径， ，又平面，平面， ，又.平面，平面， 平面； (2)． 【分析】（1）由题可得为圆的直径，进而可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用锥体的体积公式即得． 【详解】（1）略 （2），，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离. 因为平面，平面，所以， 又如图可知为直径，所以，，平面， 所以平面. ， 即几何体的体积为． 17．位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 【答案】(1)海里/时 (2)海里/时 (3)能完成任务，航行方向为北偏西 ，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度； （2）由1小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度； （3）设相遇时间为 ，，在中，由余弦定理得到，再结合，求解即可. 【详解】（1） 货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度， 由题意得 海里，，最短航行距离海里， 此时货轮行驶路程 海里，行驶时间小时， 故快艇航速海里/时； （2）经过1小时，货轮行驶路程 海里， 在 中， ，， 由余弦定理得： ， 故海里， 故快艇航速海里/时； （3）设相遇时间为 ，在中 ， 由余弦定理得： ， 整理得， 若 且，则 ， 代入得： ， 仅当 时等号成立，此时海里/时，符合最高航速限制， 设航行方向为北偏西 ，即， 则， 得， 即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 18．已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，写出函数解析式，根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，进而求出结果； （2）根据函数解析式求出，进而根据同角三角函数关系，求出，再由两角和的正弦公式求出结果即可； （3）根据函数关系式求出，根据三角恒等变换，对进行化简，进而根据三角形形状求出角的范围，再构造函数，根据函数单调性，判定函数值域求出结果. 【详解】（1）可知 ， 所以函数的最小正周期为， 可知，解得， 即函数的单调增区间为. （2）， 因为，所以，所以， 可知. （3），因为为锐角三角形，所以， 则，所以，解得， 则 方法一：因为， 令，， 则， 因为因为为锐角三角形，， 所以，所以， 所以， 当时，即时， 取最大值，最大值为， 当趋近时，， 当趋近时，， 所以的取值范围为. 方法二：因为为锐角三角形，所以，即，即， 所以 ， 因为，所以，即，解得，所以， 令，其中， 设，则 ， 可知， 令，即，即， 得， 可知当时，，此时满足，即， 即当时，此时，即在上函数单调递增， 当时，此时，即在上函数单调递减， 当时，， 当时，， 可知，所以当时，， 所以，即， 即的取值范围为. 19．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上．    (1)若为中点，求证：平面； (2)若，求证； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面；    （2）取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （3）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $