精品解析：辽宁省四校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

辽宁省四校联考2023-2024学年高二下学期期末考试 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，若趋近于0时，则趋近于（ ） A. B. C. D. 2. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若关于 的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知数列的前项和为，，，.若，有恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在数列中，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 数列是递增数列 10. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与 轴相切 B. 存在实数，使得的图象与 轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 13. 若正数，满足，则的最小值为______． 14. 自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算， ，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列 的前项和，证明. 17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成 列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中 . 18. 已知函数． （1）若，当时，讨论 的单调性； （2）当时，，求a的取值范围． 19. 已知函数 ( ) （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证: ； （3）已知数列的前项和为 ，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数 ，均有，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省四校联考2023-2024学年高二下学期期末考试 数学 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知函数，若趋近于0时，则趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数定义可得答案. 【详解】由题意，则，所以 可得. 故选：A. 2. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和 ，和，和，共 组. 所以，， 所以. 故选：D 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】因为，所以，所以， 又. 故选：D 4. 已知函数，若关于 的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围. 【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数. 由，得，即， 从而，即 故选：D 【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知条件得到，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】由得：， 即， 所以 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法： 1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项； 2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 3.形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列， 4.形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式； 5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 6. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】当为奇函数时，结合奇函数的性质可得，由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，，，.若，有恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的应用可知是以1为首项的等差数列，进而求出，代入题意中的不等式可得，设，根据对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】由， 知数列是以1为首项的等差数列， 又，所以公差， 得. 由，得， 即，设， 由对勾函数的图象与性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当 时，取得最小值. 所以，即t的最大值为. 故选：C 8. 若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得时恰有一个解，由满足上式，从而得到时无解，令，，求出的值域，即可得到关于的不等式，解得即可. 【详解】因为时曲线与恰有一个交点， 所以当时恰有一个解， 即当时恰有一个解， 显然满足， 所以当时无解， 即时无解， 令，， 则，所以为偶函数， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又当时，所以， 综上可得在上恒成立， 所以当时，又为偶函数，所以当时， 由上述分析可得与在无交点， 所以或，解得或， 即的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在数列中，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 数列是递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知化简得出等差数列可以判断AB选项，根据等差数列通项公式计算得出通项公式判断C选项，最后结合单调性判断D选项. 【详解】由，整理得， 故数列是以3为首项，6为公差的等差数列，则B选项正确，A选项错误， 由等差数列可得，所以，，则C选项正确， 由通项公式可知数列是递减数列，D选项错误. 故选：BC. 10. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分情况讨论 时甲袋中球的组成，算出和.当 ，同样分三种情况分析甲袋中球的组成，得出的递推式，经变形得到与的关系，确定是等比数列，进而求出表达式和.再根据条件得出递推式，结合，依次算出、，逐个判断. 【详解】当 时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球两种情况， 所以； 当 时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球、甲袋中恰有1个红球2个黑球3种情况， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以C正确D错误； ， 又，所以，AB正确． 故选：ABC. 11. 设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（ ） A. 的图象与 轴相切 B. 存在实数，使得的图象与 轴相切 C. 若，则方程有唯一实数解 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误. 【详解】，若的图象与 轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确； ，， 当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与 轴相切，B错误； 由上所述， 在上单减，上单增，则； 若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确； ，， 当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去； 当 时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值， 即， 令，易知单调递减，且， 因此的解集为，D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求出参数，再根据数学期望的性质计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 13. 若正数，满足，则的最小值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】“1” 根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值. 【详解】∵正数，满足， ∴，当且仅当也即当时取“”． 故答案为：16. 14. 自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算， ，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意利用“调日法”不断计算，进行归纳推理能求出结果． 【详解】因为为弱值，则与上一次的强值3计算得为强值， 与上一次的弱值计算得为弱值， 与上一次的强值计算得为强值， 与上一次的弱值计算得，故. 故答案为： . 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 已知数列的前项和为，. （1）若为等比数列，求的通项公式； （2）若，，为数列 的前项和，证明. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，可得，再根据数列为等比数列，得到，令 得，代入即可得出答案. （2）根据构造法求出，从而得到，再利用错位相减法求出，根据的结果即可完成证明. 【小问1详解】 由得，，两式相减得，若为等比数列，则公比为，则， 当 时，，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由得，又，所以是首项为 ，公比为的等比数列，则，则， ， 则， 两式相减得， 所以， 因为且，所以，故. 17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 完成 列联表，并判断是否有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； （2）为了了解某一地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程，且销售量y的方差为，年份x的方差为.求y与x间的样本相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销售量y与年份x的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断y与x线性相关性较强； （iii），其中 . 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关， （2）y与x线性相关性较强 【解析】 【分析】（1）根据题中数据补全 列联表即可：再由表中数据以及公式进行计算求解即可； （2）根据样本相关系数公式计算可得答案. 【小问1详解】 补全 列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 则， 故有的把握认为选择新能源汽车与年龄有关； 【小问2详解】 因为，， 所以，又，，， 所以， 故y与x线性相关性较强. 18. 已知函数． （1）若，当时，讨论 的单调性； （2）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1）递增区间为，，递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数 的导数，利用导数求出单调区间即得. （2）等价变形不等式，构造函数，利用导数分类讨论求出a的范围. 【小问1详解】 当，时，，求导得， 由 ，得或，当或时，，当时，， 所以函数 的递增区间为，，递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 令，求导得， 令，求导得，当时，，而， 则，函数在上递增，有， 当，即时，，函数在上递增，，符合题意，则； 当时，，而， 于是在上存在，使得，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 19. 已知函数 ( ) （1）讨论函数的单调性 （2）若函数存在两个零点，求证: ； （3）已知数列的前项和为 ，数列是首项为2的等比数列，若存在正整数，使得对任意正整数 ，均有，求的最大值. 【答案】（1） 当 时，故 在 单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. （2） ，令，则有， 由 ；由 . 所以在上单调递增，在单调递减． 若函数存在两个零点，则不妨有，且有， 要证 ，即证，即证 ，即证 ， 即证，等价于 ， 令 （ ）， 则有 ， 令 ，则有 ，则 ， 所以 在上单调递增，所以 ，得证. （3）5 【解析】 【分析】（1）求导，分 ，讨论函数的单调性. （2）极值点偏移问题，先把问题转化成 ， ，设函数 （ ），分析函数的单调性，即可证明. （3）先根据求数列的通项公式，再借助等比数列的通项公式，可把问题转化成，再设，，利用导数分析它们的单调性，再求的最大值. 【小问1详解】 对 求导有（）， ①当 时， ，故 在 单调递减； ②当时，由 ；由 . 所以 在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，当 时， 符合，所以. 设 公比为 ，则有，即恒成立，则 ， 对任意，均有，即（ 时）恒成立． 分别令，， 则，所以 在 上单调递增，在 单调递减， ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以在上单调递减. 所以 ，故 ，所以 在 上单调递减. ①当 时：，解得， ②当 时：，解得（不成立）， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $