辽宁省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷02

**基本信息** 试卷覆盖选择性必修三及一轮复习重点，解答题融入高斯函数等创新情境，适配高二期末综合检测，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|充分条件、数列、函数图像与性质|第7题比较函数值大小，考查数学抽象与逻辑推理| |填空题|3题/15分|等比数列求和、导数几何意义|第14题结合分段函数与零点，体现数学建模| |解答题|5题/77分|等差数列综合、函数奇偶性与恒成立|第19题以高斯函数为背景，融合数学文化与创新应用，发展数学眼光与理性精神|

辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，满足，则（     ） A．11 B．31 C．61 D．81 5．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（      ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．已知数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B．若数列满足，则数列为等比数列 C． D．若数列满足，其前n项和为，则 11．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 13．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列，，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和． 16．设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 17．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 18．已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 19．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由指数函数的单调性可知， 而不能推出，（例如时函数意义）， 又， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 3．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 4．已知数列的前n项和为，满足，则（     ） A．11 B．31 C．61 D．81 【答案】D 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为，所以， 则当时，，相减得， 即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 5．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，然后根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】求不动点，令，解得（等根）.构造， 那么数列是首项为，公差为的等差数列， 故，. 6．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（      ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】根据导数的定义即可判断A；利用复合函数的求导法则即可判断B；利用导数的四则运算即可判断CD. 【详解】对于A，已知，根据导数的定义，， 所以，故A错误； 对于B，已知函数，则， 又因为，则，解得，故B正确； 对于C，根据导数的四则运算，，故C错误； 对于D，已知，其中是一个常数， 所以，令，则有，解得，故D正确. 10．已知数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B．若数列满足，则数列为等比数列 C． D．若数列满足，其前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】对于A，代入递推公式计算；对于B，由推出，根据等差数列定义证明；对于C，根据B选项是等差数列求出的通项公式，再根据等差数列前项和公式求解；对于D，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由得， ，所以，A正确； 对于B，由得，所以， 所以，所以， 所以，所以数列是等差数列，不是等比数列，B错误； 对于C，由B选项可知， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以 ，C正确； 对于D，由C选项可知，， 所以， 所以， 又单调递增，当时，，所以，D正确. 11．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，， 由得，即， 解得或（舍）， 所以． 13．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 14．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知等差数列，，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）利用等比数列求和公式分组求和即可得； （3）借助裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，由，得， ，所以， 所以； （2）由（1）， 所以 ； （3）， 所以 . 16．设正项数列的前项和为，满足. (1)求； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的前100项的和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)10 【分析】（1）根据数列前项和与的关系式，通过代入不同的值来求解数列的首项和第二项. （2）主要依据数列前项和与的关系，通过作差、变形等操作，推导出数列的性质. （3）根据已知条件通过完全平方公式变形得到的表达式，再通过一元二次方程求根公式求出的表达式，最后利用数列的特点进行求和. 【详解】（1）当时，，整理得， 又，所以. 当时，即， 解得，又， 所以. （2）， ， 上述两式相减，得 ， ， ， ， 数列为等差数列，首项为2，公差为4. （3））由（2）得： ， ， ， ，由求根公式得， ， ， . 17．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 18．已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. (2)． 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则， 令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． （2）令， 则． 因为，所以， 从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 19．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $