2025-2026学年辽宁省大连市高二下学期数学期末考试模拟（五）

**基本信息** 2025-2026学年大连市高二下学期数学期末模拟卷，以函数、数列、概率统计、导数为核心，通过基因编辑实验、投篮比赛等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数性质、正态分布|基础概念辨析，如全称命题否定、函数奇偶性判断| |多选题|3/18|线性回归、等差数列、导数极值|选项分层，如第9题结合物价数据考查残差分析| |填空题|3/15|等比数列、基本不等式、函数对称性|多知识交汇，如第14题函数对称与方程求解| |解答题|5/77|数列通项与求和、独立性检验、导数应用|情境化综合，如第16题基因编辑实验分析关联性与二项分布，第18题投篮比赛概率决策|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（五） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．已知命题∶，，则命题的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 4．若函数则（    ） A． B． C． D． 5．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（    ） A． B．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 C． D．若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 6．甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（　　） A． B． C． D． 7．已知函数对任意实数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示： 9 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为，相关系数，则（ ） A． B．变量，相关性较强 C．相对于点的残差为1 D．当时，的估计值为152 10．设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 11．已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．等比数列中，，，其前项和为，若是，的等差中项，则的值为________． 13．已知为实数，且，则的最小值为________. 14．函数的图象关于点对称，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 16．某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表： 抗病株数 易感病株数 实验组 38 12 对照组 25 25 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联； (2)用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差． 附：，其中． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C A C C ABD BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题的否定形式为：，. 2．B 【分析】先分别解出集合和，进而根据集合的交集运算即可求解． 【详解】由，解得或，所以或， 由，则，又，则，所以， 所以． 3．D 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性，一一判断各选项中的函数性质，即可得答案． 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， 4．C 【详解】因为， 所以，. 5．C 【详解】由题意得：坐公交车用时（均值，标准差），骑自行车用时（均值，标准差）. 选项A：正态分布中，， 因此，A错误. 选项B：对来说，34是均值，故； 对来说，，由正态曲线的对称性，，因此，坐公交车准时概率更高，应选坐公交车，B错误. 选项C：对：，，因此38在与之间； 对：，即38恰好是， 由原则对比得，C正确. 选项D：38分钟可用时，由选项C的结论，，即骑自行车准时到达的概率更高，应选择骑自行车，D错误. 6．A 【分析】首先利用分步计数原理分别计算事件的个数以及事件的个数，然后代入条件概率公式即可求解 . 【详解】事件为“甲独自一人去一个景点”，甲先选景点共4种选择，剩余乙、丙、丁都不能选甲的景点，每人都有3种选择， 因此：. 事件表示“4人景点各不相同且甲独自去一个景点”，若4人去的景点各不相同，则甲必然独自一个景点， 因此就是“4人景点各不相同”：甲选完景点后，剩余3人全排列去剩下3个景点， 因此：. 故 . 7．C 【分析】通过赋值法求出，，结合等差数列的性质可判断是以2为首项，公差为0的等差数列. 【详解】由题可知:，又，得， 又，得. 因为，所以， 又，， 所以数列是以2为首项，公差为0的等差数列，即. 8．C 【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案. 【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则， 因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根， 即直线与图像有两个交点，，. 得在单调递增，在单调递减， ，，时，时， 据此可得大致图像如下，由图像得． 9．ABD 【分析】根据最小二乘法、残差、相关系数等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由题意得，. 因为用最小二乘法求得经验回归方程为，所以. 解得，A正确； 对于B，因为相关系数，其绝对值大小非常接近1，所以变量，相关性较强，B正确； 对于C，相对于点的残差为，C错误； 对于D，当时，的估计值为，D正确. 10．BC 【分析】根据题设，利用等差数列的前项和公式可得，，即可判断A，对于B，根据条件，利用数列的对称性，即可求解，对于C，根据条件建立不等式，即可求解；对于D，利用，，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，因为，， 则，，整理得到，， 所以，，则，，所以， 所以，即， 所以数列是递减数列，故A错误， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，由，得，由，可得，所以C正确； 对于D，因为时，，时，， 所以中最大的是，故D不正确． 11．ABD 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 12．63 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 由及是，的等差中项，得，则， 所以. 13．/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14． 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 15．(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 16．(1)表格见解析，有关联 (2) 【分析】（1）根据已知条件完善列联表，然后计算的值，进而得到结论； （2）先根据题意得到经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为，再结合题意得到，进而利用公式即可求出的数学期望与方差． 【详解】（1）由题得如下列联表： 抗病株数 易感病株数 合计 实验组 38 12 50 对照组 25 25 50 合计 63 37 100 零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联． 由列联表的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联． （2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为， 由题知， 故其分布列为， 所以 17．(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 19．(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $