辽宁鞍山市2025-2026学年高二下学期期末自编数学试卷

**基本信息** 这份高二下期末复习数学试卷以数学文化（如《九章算术》两鼠穿墙题）和现实问题（体育锻炼调查）为情境，通过基础题（集合运算、回归方程）与综合题（导数零点证明、数列求和）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、统计、幂函数等|基础概念辨析，如集合运算、回归方程求参数| |多选|3/18|基本不等式、数列单调性|多选项分层考查，如结合不等式性质判断最值| |填空|3/15|集合关系、指数对数计算|小综合应用，如函数交点与反函数性质结合| |解答题|5/74|统计案例、导数综合、数列求和|注重过程与逻辑，如独立性检验步骤、导数零点证明|

2025-2026年度高二下期末复习二 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为，则m的值为    x 6 8 10 12 y 6 5 m 2 A. 3 B. C. 4 D. 3.已知点在幂函数的图象上，设，，，则    A. B. C. D. 4.若函数，则关于a的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 5.已知命题p：，，则命题p的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 7.若，则化简的结果是(    ) A. B. C. D. 8.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”．如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为(    ) A. 4天 B. 5天 C. 6天 D. 7天 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有(    ) A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10.已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则(    ) A. 存在等差数列，使得是递增数列 B. 存在等比数列，使得是递增数列 C. 若是递减数列，则且 D. 若是递减数列，则可能存在且，使得 11.已知函数，下列说法正确的是    A. B. 当且仅当时，方程有两个不等的实根 C. 对区间上任意两个实数，都有 D. 设，只有一个极值点，则实数k的范围为 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知集合，，若，则a的取值范围为      . 13.计算：          . 14.当时，函数与的图象有两个交点，则a的取值范围为      . 四、解答题：本大题共5小题，共74分。 15.最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情.调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时，B类课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时，C类课余时间不参加体育锻炼，调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 y 求出表中x，y的值； 根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关. 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中 01 16. 已知函数的图象关于直线对称. 求a的值； 若关于x的方程有解，求m的取值范围. 17.已知数列满足，且 求，，； 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和 18.已知函数 写出的最小正周期; 求的单调减区间; 若在上恒成立，求实数m的取值范围. 19.已知函数 讨论的单调性； 若恰有两个零点，，且 ⅰ求a的取值范围； ⅱ证明： 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：因为， 所以 故选： 根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果． 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：， ， 又经验回归直线方程，必过样本中心点， 则，解得 故选： 3.【答案】C  【解析】解：因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 因为函数在上单调递增， 又因为，则，故 故选： 4.【答案】D  【解析】解：由，解得， 又因为， 所以是奇函数． 又因为， 函数，，在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数． 则不等式可化为， 即， 所以，解得 故选： 先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于a的二次不等式，求解即可． 本题主要考查了函数奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 5.【答案】B  【解析】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题， 则命题p：，的否定是， 故选： 根据存在量词命题的否定直接可得解． 本题考查了存在量词命题的否定应用问题，是基础题． 6.【答案】C  【解析】解：设， 则， 在上单调递增， 则， ， 即， ； 设， 则， 在上单调递增， 则，即， ， 又， 故选： 通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较大小． 本题考查了导数的综合应用，属中档题． 7.【答案】D  【解析】提示：，原式 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等比数列的实际应用，同时考查分组求和法，属于中档题． 大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列，利用前n项和求解即可． 【解答】 解：大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列， 小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列． 故两只老鼠第n天穿行距离之和， ，， 这两只老鼠相逢所需天数至少为5天， 故选： 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A，因为a，b均为正实数，且， 所以， 当时，上式取得最小值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选： 对于A，转换为关于a的二次函数即可验算；对于B，由结合基本不等式即可验算；对于C，由基本不等式即可验算；对于D，由乘一法验算即可． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 10.【答案】BC  【解析】解：对于A选项，当为等差数列时，设首项和公差分别为，d，则，， 则，当时，， 由于， 由于，，因此当时，， 因此，不满足为递增数列，因此A选项错误； 对于B选项，当为等比数列时，设，则， ，由于单调递减，因此为递增数列，因此B选项正确； 对于C选项，是递减数列，则时，， 即，因此，因此C选项正确； 对于D选项，是递减数列，则时，， 即， 因此不存在且，使得因此D选项错误， 故选： 利用等差求和公式，结合作差即可求解A，据特例即可求解B，利用单调性得，即可由迭代法求解C，根据单调性得，即可判断 本题考查数列与函数的综合，属于中档题． 11.【答案】AC  【解析】解：选项A：， ， ， ；故A正确; 选项B：， 当时，则函数在单调递增， 当时，，则函数在单调递减， 所以， 又因为，，则，故B错误； 选项C：若要， 则需要切线的斜率在内，函数单调递增， 令，则， 所以在单调递增， 则切线的斜率在内，函数单调递增，故C正确; 选项D：由题可得， ， 令，则或， 设，， 当时，，单调递增， 时，， 时，，有一个解， 此时不止一个极值点; 当时，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 若只有一个极值点，则恒大于等于0或恒小于等于0， 由，解得， 再加上的情况满足只有一个极值点， 若极值点为3，则 若极值点不为3，则，所以，故D错误. 故选： 12.【答案】  【解析】解：，，且， 得，解得 故答案为： 根据集合间的关系列不等式，可得解． 本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】原式 14.【答案】  【解析】解：已知当时，函数与的图象有两个交点， 由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称， 所以这两个交点一定在直线上， 令，，两边取对数得，即， 设，， 则问题转化为函数与在上有两个交点， 由，令，得；令，得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，且时，时，， 要使函数与在上有两个交点， 则，解得， 则a的取值范围为 故答案为： 根据题意，结合反函数的性质将问题转化为函数与在上有两个交点， 本题考查反函数相关知识，属于中档题． 15.【答案】；   表格见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关．  【解析】由题意可知，， 解得； 根据题意，完成列联表如下， 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 零假设：课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 根据题意列出关于x，y的方程组即可求解； 根据题意列出列联表，计算卡方对比临界值，即可作出结论． 本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题． 16.【答案】；     【解析】由题意可知，因此， 化简得，， 因此，因此，解得 当时，，显然满足， 即函数的图象关于直线对称， 故 由可知， 又，当且仅当，即时取得等号， ， 关于x的方程有解，， 即，解得m的取值范围为 利用函数图像关于直线对称的性质求解a的值； 先求出的值域，再根据方程有解确定m的取值范围． 本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 17.【答案】，，；  ；    【解析】由，且， 可得，解得， 由，可得， 由，可得； 由， 得， 所以， 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以， 故 由得， 所以 设，① 则，② 由①-②得， 则， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， 故 分别将，，代入中计算即可得解； 将整理等式得到，进而根据等比数列的通项公式即可得到答案； 结合得到的通项公式，再运用错位相减，分n为奇数，n为偶数两种情况计算即可得到答案． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 18.【答案】 ，Z;   【解析】略 19.【答案】解：函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，时，， 时， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； ⅰ由知，有两个零点的必要条件是， 且， 令，则， 令，则， 可得在上单调递减，在上单调递增，， 所以， 则在上单调递增，且， 所以，则有， ， 证明在上恒成立， 证明：， 所以在上单调递减， 所以， 即， 所以 ， 所以有两个零点，，， 故a的取值范围为； ⅱ证明：由知，要证， 即证， 令，， 则， 由ⅰ知，，， 则时，，， 所以，则在上单调递增， 所以， 所以，即， 因为，，在上单调递减，所以， 则，故   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $