辽宁省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷01

**基本信息** 辽宁省2026年高二数学期末模拟卷覆盖选择性必修三及一轮复习重点，解答题17题（数列证明、通项及不等式恒成立）、19题（导数切线与极值探究）等综合题设计，考查推理能力与创新意识，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、充分必要条件、函数性质|第8题函数零点问题，结合图像分析考查几何直观| |填空题|3题/15分|数列前n项和、函数对称性、切线方程|第14题曲线切线综合导数与函数图像，体现空间观念| |解答题|5题/77分|集合运算、函数不等式、数列综合、导数应用|17题数列证明与不等式恒成立，考查推理能力；19题导数极值与参数范围探究，发展创新意识|

辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 2．已知p： ，q：则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：由 ，得 ， 则，所以p是q的不充分条件； 必要性：由，得 ， 则 或 ，所以p是q的不必要条件， 故p是q的既不充分也不必要条件. 3．若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 4．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 5．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（  ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】由等差数列与等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 因为是公差不为零的等差数列，所以， 因为，解得或，因为， 所以，所以， 当时，可得. 6．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 7．已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 10．设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 【答案】BC 【分析】根据题设，利用等差数列的前项和公式可得，，即可判断A，对于B，根据条件，利用数列的对称性，即可求解，对于C，根据条件建立不等式，即可求解；对于D，利用，，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，因为，， 则，，整理得到，， 所以，，则，，所以， 所以，即， 所以数列是递减数列，故A错误， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，由，得，由，可得，所以C正确； 对于D，因为时，，时，， 所以中最大的是，故D不正确． 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过的单调性求出范围；C，通过单调性判断其等于的解的个数；D，代入特殊值即可判断. 【详解】选项A，， 所以， 所以当时，,单调递减， 当时，，单调递增. 所以当时，取得最小值. 故A正确. 选项B，， 且，又定义域关于原点对称， 所以是偶函数. 因为，所以在恒成立， 所以. 故B正确. 选项C，因为， 当时，，，故， 所以函数在单调递增， ， 因为，时， 所以内存在使得， 又因为是偶函数，所以存在使得. 故C正确. 选项D，取，因为，而，故此时不成立. 故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 13．函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【详解】令，则，∴， 即曲线在点处的切线是， 令，则，令，则， ∴切点坐标为，即，∴. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 16．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 17．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 18．已知定义在上的偶函数 ，且 ． (1)求实数的值； (2)设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值. （2）由（1）求出函数，进而求出在上的最小值，由给定条件建立不等式并分离参数，利用单调性求出最小值即可. 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得， 则 ， 整理得 ， 因此 ，解得，所以实数的值为. （2）由（1）知， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， ，由对任意的，存在，使得， 得函数在上的最小值不小于函数在上的最小值， 因此存在，使得 ， 即存在，成立，令 ，， 函数， 在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上的最小值为，则， 所以实数的取值范围是. 19．已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 0 + 单调递减 极小值 单调递增 (3)4 【分析】（1）对求导得切线斜率，计算切点坐标后由点斜式写出切线方程； （2）代入后求导，令导数为零得极值点，列表分析导函数符号确定单调区间，进而判断极小值且无极大值； （3）分离参数，构造函数并求导，利用导数分析其单调性，结合零点存在定理确定最小值所在区间，从而得到整数的最大值． 【详解】（1）已知，， 求导得， 则．由点斜式得切线方程 ，整理得 ． （2）当 时， ，定义域为． ， 令 ，解得． 0 + 单调递减 极小值 单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值． （3）当时， 即 ， 整理得， 因 ， ，故，设， ， ， 设 ， ，则 ， 故在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得 ，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 因，故，因此整数的最大值为4． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知p： ，q：则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 5．已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（  ） A． B． C．12 D．18 6．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 10．设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 11．已知函数，．令，，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最小值 B．为偶函数，且 C．方程在区间内有且仅有两个实根 D．对任意，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 13．函数的图象关于点对称，且，则______． 14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 16．已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 17．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 18．已知定义在上的偶函数 ，且 ． (1)求实数的值； (2)设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．已知函数 ， (1)求曲线在点处的切线方程 (2)当 时，列出极值表，求的极值； (3)当时， ，求整数 的最大值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $