精品解析：山东省日照实验高级中学2025-2026学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题

2025级高一下学期第二次阶段性考试 数学试题 2026.06 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式即可计算作答. 【详解】. 故选：B 2. 在 中， 为钝角，则点（ ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到 为钝角，所以 为锐角，可得，，即可求解. 【详解】因为 中， 为钝角，所以 为锐角，可得，， 所以点在第四象限. 故选：D． 3. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积. 【详解】直观图还原成原来的图形， 由斜二测画法，得，且，且为平行四边形，如下图所示，    所以原图形平行四边形的面积为. 4. 已知为不同的平面， 为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系，以及相应的性质定理，结合图形逐项分析即可. 【详解】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若 ，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 5. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又， 所以，解得； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：C． 6. 已知，，且在上的投影的数量为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：， 又，，则， 所以. 故选：D. 7. 如图所示，从热气球 上测得地面上点 的俯角为，点的俯角为 ，图中各点在同一铅垂平面内，已知 ，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，分别用含 的式子表示出 和，再结合已知条件，列方程求解即可． 【详解】在中， ，所以， 在中， ，所以 ， 因为 ，两点间距离为， 所以，解得． 故选：C． 8. 如图，在 中，，，点 在边 上，，沿 翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则 的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在平面中过作，其中为垂足，在平面中过作，连接，利用空间垂直关系的转化可得，利用三角变换结合正弦函数的性质可得，由余弦定理可求 的最大值. 【详解】 在 中， ，， 由余弦定理知，故， 因为，故， 在平面中过作，其中为垂足， 在平面中过作，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而 平面，故. 而平面，故 平面， 而平面，故 ， 因为， 故， 所以 因为，故，故， 故， 故， 故 的最大值为， 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 是锐角三角形 D. 若，则 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD. 【详解】对于A，在 中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则是锐角，显然 是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角， 是钝角三角形，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数 的周期为 B. 函数 的图象关于对称 C. 函数 在区间上的最大值为2 D. 直线 与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】观察函数图象，，函数 的周期为，， 由，得，而，则，， 对于A，函数 的周期为，A正确； 对于B，，函数 的图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，当，即时， 取得最大值2，C正确； 对于D，当时，，由，即， 得或，解得 或，显然，D正确. 故选：ACD 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且 为棱的靠近点 的三等分点，点在正方形 的边界及其内部运动，且满足与底面 的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据题意得所在区域为以 为圆心，1为半径的圆在正方形 内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值. 【详解】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以 为圆心，1为半径的圆在正方形 内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点 重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面 ， 平面 ，所以， 且，，平面， 所以平面， 平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面， 平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点 处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点 重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当 三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知，则 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 14. 若矩形 满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片 ，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给图象观察可知多面体为正二十面体，根据矩形为黄金矩形可得正多面体每个三角形面的边长，利用正三角形面积公式求解即可. 【详解】由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半部有5个面，对应的后半部分也有5个面， 所以该多面体为正二十面体. ∵，若，则， ∵该多面体为正二十面体，∴每面为正三角形，其边长为， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证 和，再由线线垂直证明线面垂直，易得； （2）取 的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行. 【小问1详解】 如图，连接 交于点 ，由四边形 是正方形，可得 ， 因 平面 ，平面 ，则， 又，平面 ， 所以平面 ，又平面 ， 所以． 【小问2详解】 如图，取 的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面 ，平面 ， 所以平面 ． 16. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期T； （2）角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若， ，求 周长的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换化简，利用公式求周期； （2）由 ，求得，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 . 周期 ； 【小问2详解】 由 可得 ，即， 又 ，则，则，所以. 由余弦定理知： ， ∴， ∴，当且仅当时“=”成立， 此时 为等边三角形，又，所以 的周长的最大值为. 17. 如图，四边形 中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形 外接圆的直径，再利用正弦定理可求解； （2）由面积公式即可得解. 【小问1详解】 由已知， ∵是锐角，∴． 由余弦定理可得，则． ∵，∴BD是四边形 外接圆的直径， ∴BD是 外接圆的直径，利用正弦定理知 【小问2详解】 由，，，， 则,, 又，则， 因此， 故的面积为． 18. 如图，已知三棱台，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点 到面的距离； （3）在线段上是否存在点 ，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出 ，由二面角大小可构造方程求得 ，进而得到结果. 【小问1详解】 在三棱台中，平面平面，， 而平面平面， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点， 由 ，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得 为点到平面 的距离， 又 ，则是 的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得 ， ，由平面 ，得，， ，设点 到平面的距离为 ， 由，得，解得：. 即点 到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面， 平面，得平面平面 ，取 中点 ，连接， 在正中，，而平面平面，则 平面，而平面， 则，又 平面，则平面平面，作于 ， 平面平面，则 平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面 ，则平面 ， 而平面 ，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在 使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点 ，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19. 在 中，角 ， ，所对的边分别为 ， ，，点为 内的一点，且. （1）当时， （ⅰ）求角 ； （ⅱ）若， ，求的值； （2）若，且，，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用正弦定理边化角，消去，结合和差公式和辅助角公式可解； （ⅱ）根据列方程求解可得； （2）利用余弦定理表示出，根据勾股定理得的关系，借助基本不等式即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）由正弦定理边化角得， 因为， 所以， 即， 因为，所以， 即，因为， 所以，得； （ⅱ）因为，所以， 记， 则，即， 又，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 记，则， 在中，由余弦定理得： ，， ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以，整理得， 根据题意，所以， 记，则，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期第二次阶段性考试 数学试题 2026.06 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. =（ ） A. B. C. D. 2. 在中， 为钝角，则点（ ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 3. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为不同的平面， 为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 ，则 D. 若，则 5. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，且在上的投影的数量为 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，从热气球 上测得地面上点 的俯角为，点的俯角为 ，图中各点在同一铅垂平面内，已知 ，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点 在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则 的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数 的周期为 B. 函数 的图象关于对称 C. 函数 在区间上的最大值为2 D. 直线 与的图象所有交点的横坐标之和为 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点 的三等分点，点 在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点 形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点 使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 已知，则 ______. 14. 若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若，则该多面体的表面积为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面是正方形， 平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面 ． 16. 已知，，函数. （1）求函数的解析式及周期T； （2）角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若， ，求周长的最大值. 17. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 18. 如图，已知三棱台，底面是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点 到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19. 在中，角 ， ，所对的边分别为 ， ，，点 为内的一点，且. （1）当时， （ⅰ）求角 ； （ⅱ）若， ，求的值； （2）若，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $