精品解析：山东省临沂第一中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

2025级高一下学期第二次月考数学试卷 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是 ，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面向量，则下列说法错误的是（） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. 若E是直线AC上的动点，则平面 B. 若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则 C. 若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 D. 若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题 12. 一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为______________海里． 13. 华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米． 14. 已知 为复数，则的最小值为______． 四、解答题 15. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 16. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 17. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求三棱锥的体积； （3）若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期第二次月考数学试卷 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A， ，则 ，相交或异面，故错误； 对于B， ，则 与的关系可以是平行，相交或，故错误； 对于C，，则，故正确 对于D，如图，满足，不满足，故D错误. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得 . 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 4. 如图，设，线段DE与BC交于点 ，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由及点共线，得， 而 ，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 5. 在边长为2的菱形ABCD中，，以AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到该几何体，再根据圆柱和圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，旋转后所得的几何体的上部分为圆锥，下部分为圆柱内挖去一个与上部分完全相同的圆锥，如下图所示， 在边长为2的菱形ABCD中，， 则圆柱底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以一个圆锥的侧面积为，一个圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为． 6. 在中，，，为中点，点在 上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系， 则 设，， 则， 当时， 7. 球面上有，， 三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到外接圆的半径，由球到平面的距离结合勾股定理得到球的半径，最后由球的体积公式计算即可. 【详解】如图，设是外接圆的圆心，则平面， 因为，，所以等边的外接圆的半径， 所以球的半径， 所以球的体积． 8. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接 ，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值. 【详解】取 的中点 ，连接 ，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角， 因为，，， 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：C 二、多选题 9. 已知平面向量，则下列说法错误的是（） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由向量平行坐标公式求出时有两解，判定A错误；代入算出夹角余弦值为，知B错误；把代入，利用投影向量公式求得结果为，C正确；由夹角为钝角需数量积小于0且不共线，解不等式并剔除共线情况判断D错误. 【详解】已知，，,逐一分析选项. 选项A：若，则， 整理得，解得或，A错误. 选项B：当时，，， 则，,， 所以，B错误. 选项C：当时，，， 则，， 则投影向量为，C正确. 选项D：夹角为钝角，则且不反向共线. 由得， 当时，，，两向量反向共线，夹角为平角不是钝角， 故正确范围为，D错误. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 11. 如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. 若E是直线AC上的动点，则平面 B. 若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则 C. 若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是 D. 若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：连接，证明出平面 平面，利用面面平行的性质即可证明；对于B：连接，证明出面，利用线面垂直的性质即可证明；对于C：判断出即为直线与平面ABC所成角，得到，求出的范围，即可求出的范围，即可判断；对于D：利用等体积法转化得到，即可求得. 【详解】对于A：连接. 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面,平面，所以平面. 同理可证：平面. 因为，平面 ,平面 , 所以平面 平面. 因为E是直线AC上的动点，所以平面 ，所以平面，故A正确； 对于B：连接. 因为为正方体，所以， 又 面 面ABCD，所以. 因为面, 面,，所以面. 因为E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，所以面. 所以，故B正确； 对于C：在正方体中， 面. 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABC所成角，所以. 设 ，则. 因为E是内（包括边界）的动点，所以当E与O重合时，最小， 当E与B重合时，最大， 所以，故C错误； 对于D：三棱锥的体积. 由A的证明过程可知：平面 平面， 所以平面内任一点到平面 的距离都相等. 因为E是平面内的动点， 所以. 即三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为______________海里． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔位置为， 20分钟后轮船的位置为 ，如图所示： 由题意得：， ， ， 在中，由余弦定理得： ， 所以解得或（舍去）， 灯塔与轮船原来的距离为6海里， 故答案为：6. 13. 华裔建筑师贝聿铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米的正四棱锥，其四个玻璃侧面的面积约1500平方米，则塔高约为______米． 【答案】20 【解析】 【分析】做底面于点，取 的中点，可得、，根据四个玻璃侧面的面积求出可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】如图，做正四棱锥底面于点，则为底面的中心，取 的中点， 连接、，则， ， 因为，所以， 因为四个玻璃侧面的面积约1500平方米，所以平方米， 由可得， 所以， 则塔高约为米， 故答案为：20. 14. 已知 为复数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】设，复数 在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 四、解答题 15. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【答案】（1）分米3 （2）分米2 【解析】 【分析】（1）先分别代入公式计算正四棱台的体积和正四棱柱的体积，将两个几何体的体积相加，即可得到灯笼的总体积； （2）先根据正四棱台的高和上下底边长差求出正四棱台的斜高，再分别计算正四棱台的侧面积与正四棱柱的侧面积，将两个侧面积相加，即可得到灯笼所需纸张的总面积. 【小问1详解】 已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，，  所以（分米3），  已知正四棱柱底面边长 ，高，则（分米3）， 总体积：​（分米3）. 【小问2详解】 正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高 ： 正四棱台高为 ，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 16. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面 ，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以 平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，， 平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 17. 为测量某景区内一座古塔 的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点 处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔 的高度； （2）求三棱锥的体积； （3）若从观测点 沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 【答案】（1）m （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系及余弦定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. （3）将三棱锥补为以为棱的长方体，结合长方体的性质求出外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【小问1详解】 设， 在中，因为 ，故，同理， 在中，，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或（负解舍去）. 所以古塔 的高度为m. 【小问2详解】 由（1）知，在中，，，， 所以. 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 由于，故， 可以把三棱锥补形为以为棱的长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，. 在中，，，所以， 所以长方体的外接球的半径， 故外接球体积为 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【小问1详解】 因为， ． ，． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． 【小问3详解】 在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定证明； （2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点 ，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $