山东省日照实验高级中学2025-2026学年高一下学期第二次阶段性考试数学试题

2025级高一下学期第二次阶段性考试 数学试题 2026.06 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.c0s22°sin52°-sin22°c0s52°=() A月 B C.3 D.-3 2 2 2.在△ABC中，A为钝角，则点P(tan B,cosA)() A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 3.如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面 积是() A.5 B.2√2 C.1+V2 D.21+V5) 4.若，B为不同的平面，m,n为不同的直线，则下列判断正确的是( A.若m/la,n/a,则m/n B.若m/n,nca,则/a C.若⊥a,，n⊥a,则m//n D.若⊥a,n⊥，则n/1a 5.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为() A.√3 B.V5π C. 3 D.3 π 31 6.已知|a=3,|b=4,且五在a上的投影的数量为-2，则a+b=() A.13 B.√19 C.31 D.√37 7.如图所示，从热气球A上测得地面上点B的俯角为60°，点C的俯角为45°，图中各点 在同一铅垂平面内，己知B,C两点间距离为100，则热气球距地面的高度AO为() AN6@45 A.100+50V3)m B.200W3 C.150+50V3) D.150-50W3)m 8.如图，在△ABC中，AB=AC=2,BC=2V3,点E在边BC上，∠BAE=匹≤0≤)， 6 △ABE沿AE翻折，得到三棱锥B-ACE,满足平面AB'E⊥平面ACE,则B'C的最大值 为() B B A.2 B.6 C.2W2 D.3 7 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分 9.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是() A.若A>B,则a>b B.sin(+B)=sin C C.若d2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形D.若a2+b2<c2,则△4BC是钝角三角形 10.已知函数f(x)=Acos(x+p)(其中A>0,o>0,pKπ)的部分图象如图所示，则下列 结论正确的是() A.函数f(x)的周期为T=π B.函数的图象关于x=一行对称 C.函数在区间[-骨受上的最大值为2 D.直线y1与y=Xsxs17 兀 12 的图象所有交点的横坐标之和为 11若正四棱柱ABCD-ABC1D的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱A4的靠近点A的 三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角 0sπ 下列结论正确的是() D A.点P形成的轨迹长度为 A B B.有且仅有一个点P使得MP⊥PC C.四面体P-ACD的体积取值范围为[6,8] B D.线段PC长度最小值为√17 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=1,2),b=(-1,2),若a1万，则2=· 13.已知ma+孕-手则eo(2a-3=一 31 14.若矩形4BCD满足4D-5-】,则称这样的矩形为黄金矩形.现有如图1所示的黄金 AB 2 矩形卡片ABCD,已知AD=2x,AB=2,E是CD的中点，EF⊥CD,FG⊥EF,且EF=FG=x, 沿EF,FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模 型若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体 2 的一个面)，若y=2,则该多面体的表面积为 A←—2x G 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.(本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA1平面ABCD, E,F分别是棱CD,AP的中点. (1)证明：PC⊥BD; (2)证明：EF/平面PBC, 16.(本小题满分15分)已知m=(-1,25),i=(sin2x-cos2x,.sinxcosx),函数f(x)=m-i. (1)求函数f(x)的解析式及周期T; (2)角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若b=√3，f(B)=1,求△ABC周长的最 大值 17.(本小题满分15分)如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB-号AB=3,BC-2, e3Y5且∠ABC为能角. 2 (1)求DB; (2)求△ACD的面积. B 18(本小题满分17分)如图，已知三棱台ABC-A8C的体积为14W5 3 底面△ABC是以 B为直角项点的等腰直角三角形，平面ABB41平面ABC,且A4=4品=2B-4B. (1)证明：BC⊥平面ABBA; (2)求点B到平面ACCA的距离： (3)在线段CG上是否存在点F,使得二面角F-A8-C的大小为后？若存在，求出CP的 长；若不存在，请说明理由. B B 19.(本小题满分17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点P为△ABC 内的一点，且∠APB=∠BPC=2 (1)当acosC+V3 asin C-b-c=0时， (i)求角A; (i)若PA.PB+PB.PC+PC.PA=-1,a=2,求b+c的值； 2)若ABAC=0,且PB=4 P(ER),PC=PA6,∈R),求+i的最小值. 4 2025级高一下学期第二次阶段性考试数学答案(1) 1.A2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C9.ABD10.ACD 11.AC 2. 13.25 14.120W3-40V15 8.C【解】（解：在△ABC中，AB=AC=2,BC=2√5， 、由余弦定理知cos∠BAC=B+ACC-42X2X2,故a4c2g、 2AB·AC 3 作BH⊥AE交于E,因为∠BAE=日， 可得BH=ABsin∠BAE=2sin6,AH=ABcos.∠BAE=2cos0, 在△ACH中，∠BAC=∠BAC-∠BAB=22-日，由余弦定理可得 3 CH2=4B+4C2-2AB.4Cc0s∠B4C=4cos20+4-2×2cos0x2xcos(2π-0， 因为平面ABE⊥平面ACE,B'H⊥AE,平面ABE∩平面ACE=AE,B'HC平面AB'E, 所以B'H⊥平面AEC,CHC平面AEC，所以B'H⊥CH,所以 B0=Bg+cm-4sm9+4co29+42×2cam63xcox号-=8-8ea9(os6+5m0 2 =8+4cos20-4W5sin0cos0=8+2×a+cos20-2V5sin28=10+4cos(20+), 因为0cg,所以201晋对.所以co20+孕c1,: 3 所以B'C∈[6,8，所以B'C∈[V6,2√2].故B'C的最大值为2√2.故选：C. B← , 11.AC【解】A选项，由线面角的定义可知，∠MPA=6=45°，即MA=AP=1,故点P所在 区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包含边界），即圆的}，轨迹 长度为二πx2=,A正确；如图，设点P的轨迹与AD,AB交于点E,P, 1 2 B选项，不妨点P与点F重合，此时PC=√FB2+BC+CC2=√34， 由余弦定理可得：cas∠MrC='+CECM2+4360,则∠MC= 7 2MF.C F 2×√2×V34 2 同理可得：cos△MmG=+CECM2+34-60,则∠MBG-5 2ME·C1E 2x2x34 故不止一个点P使得MP⊥PC,B错误； C选项，如图，AA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以AA⊥BC,且AB⊥BC, AA∩AB=A,AA,ABC平面ABBA,所以BC⊥平面ABB,A,BCc平面ACD, 所以平面ACD⊥平面ABBA,且平面ACD∩平面ABB,A=AB,因为AE/1AD,AEa平 面ACD,ADc平面ACD,所以AE/1平面ACD,所以点A,E到平面ACD的距离相等， 如图，当点P在点B处时，此时点P到平面4CD的距离最大，最大距离为AH=3×4_12 55 比时闪面体P4C9的体积为84-写行本5 =8, 5 当P与点F重合时，此时点P到平面ACD的距离最小，最小距离为FK, 因为ABFK -ABAH,所以K=子AH,所以最小体积为 x8=6, D 故四面体P-ACD的体积取值范围为[6,8]，C正确： D D选项，当PC取最小值时，线段PC长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当A,P,C三点共线时，PC取得最小值， 即PCla=4W5-1,则PCLm=4万-)+32=V42-8万，D错误.故选：Ac 14【解】由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半 部有5个面，对应的后半部分也有5个面，所以该多面体为正二十面体 0-答-5年5看-3期-5-1n-=5 AB 2y :该多面体为正二十面体，“每面为正三角形，其边长为2(5-1)， ÷8=20x9[25--2W(6-a=123-4aTE放斧案为12w-40w厅 15证明：(1)连接AC,BD交于点O,如图所示： 由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD,- --1分 因PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,则PA⊥BD,---3分 A--- 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,-4分 B 6 所以BD⊥平面PAC,---5分 又PCC平面PAC,所以BD⊥PC;---6分 (2)如图，取PB的中点G,连接FG,CG, 1 E,F分别是棱CD,AP的中点，故FG/IAB,且FG=二AB,-8分 2 又cg1AB,且cB=4B,分 所以FG/1CE,FG=CE,-10分 可得四边形CEFG为平行四边形，所以EF/1CG,- -11分 因EF丈平面PBC,CGC平面PBC,所以EFII平面PBC.- ---13分 16【解】(1)f(x)=(cos2x-sinx)+2V5 sin cosx=5sin2x+cos2x=2sinm2x+ --4分 周期T=2-2π 02=元；-5分 2》由到=1可得2如28+8-1，即m28-习 B+62 、--6分 又0<B≤，则后2B+石17，则2B-=如，所以B= ----8分 66 66 3 由余弦定理知：b=ad2+c2-2 ac cos d+c2--10分 3 -a1ey-(a)-a ..-12分 .a+c≤2√5当且仅当a=c时"="成立，-13分 此时△ABC为等边三角形，又b=√，所以△ABC的周长的最大值为35.----15分 17解：(1)S4Bc= BC.sinABC= 2 2 又AB=3,BC=2, 分32xsnL1c= 2，sin∠ABC= 2’-2分 :∠ABC是锐角，：∠ABC= 3· -3分 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB.BC,coS∠ABC=7，,则AC=√7.----5分 '∠DAB=∠DCB=交 ，BD是四边形A5CD外接圆的直径 .BD是△ABC外接圆的直径- -6分 利用正弦定理知，BD sin ZAbcx21 AC √53 ;-8分 (2)因为∠DAB=∠DCB=，,BD=2 ,AB=3,BC=2, 2 3 3，CD=4V6 由勾股定理得，AD=3 -10分 3 又∠ABC-号则∠ADc=, --12分 3 因tm4nCD油4e-5,4点，5 2x33x2=3 ,枚A1CD面积为 3·-15分 18解：(1)证明：在三棱台ABC-AB,C中，平面ABB,A⊥平面ABC,AB⊥BC, 而平面ABB,A个平面ABC=AB，BCC平面ABC, A 所以BC⊥平面ABB,A.3分 (2)由棱台性质知：延长AA,BB,CC1交于一点P, 由4风4B,得9=48 点P到平面ABC的距离为到平面4BC距离的2倍，则？Bc=8-,g’ 于是乃8c= ac6-8146-166 ----5分 733 由BC⊥平面ABB,A,得BC即为点C到平面PAB的距离， 又AB/1AB,则A是PA的中点，PA=A4=AB,=PB, 即△PAB,为正三角形，△PAB为正三角形，设AB=2x,则BC=PA=PB=AB=2x, ec) 34 3 3，解得x=2, .AB=BC=PA=PB=4,--------7分 由PBC平面PAB,得BC⊥PB,AC=PC=4V2, c号×4x42-22=4万，-8分 设点B到平面ACCA的距离为d, 由%=c,得ed-+5d165,解得：日4 3 3 3 7 即点B到平面4CGA的距离为4 7 --10分 2025级高一下学期第二次阶段性考试数学答案(2) 18(3)由BC⊥平面ABBA,BCC平面ABC,得平面ABC⊥平面PAB, 取AB中点N,连接PN,在正△PAB中，PN⊥AB, 而平面ABC⌒平面PAB=AB,则PN⊥平面ABC, 而CNc平面ABC,则PN⊥CN, 又PNc平面PNC,则平面PNC⊥平面ABC, 作FE⊥CN于E,平面PNC⌒平面ABC=CN,则FE⊥平面ABC, FE //PN,而ABC平面ABC,则AB⊥FE, 作ED⊥AB于D,连接FD,DE∩FE=E,DE,FEC平面DEF,则AB⊥平面DEF, 而FDC平面DEF,于是AB⊥FD,∠FDE即二面角F-AB-C的平面角-I3分 设FE=√3t,由(2)知：PN=2√5，CN=VBC”+BN=2√5， 由=Cg,得c8=5=V5,BN=25-V5, PN CN v w8c=26-5 由DE/IBC,得DB=N 25x4=4-21, .-15分 若存在F使得二面角F-AB-C的大小为 6 则m08mg是总9，解： CR=JC-82<CC-2 5 所以存在满足题意的点P,CP=8V -------17分 19【解】(1)(i)由正弦定理边化角得sin Acos C+√3 sin AsinC-sinB-sinC=0, 因为simB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, sin AcosC+3 sin Asin C-sin Acos C-cos AsinC-sinC=0, 即(W5sinA-cosA-1sinC=0,--2分 因为Ce0smC>0,所以5mA-cos4-1-2m4-君)-1-0. 即如4-引分 3分 因为Ae(0,E,A-亚，5死】 6气6’6 所以A亚亚 6寻A三：----------------4分一 （i)因为APB=∠BPC-3,所以∠CA= 3, 记pA=x,PB=y,PC=z, 则A历+历元+cA=w+g+2x)=-1,即++5x=2。 义Swc+5所以cm昏()in于 2 所以bc=y+yz+2x=2,- --6分 由余弦定理得6+c2-2ccos亚=(b+c)2-3bc=ad=4, 所以(b+c}=10,b+c=V10.-8分 (2)记pA=x,PB=y,PC=z,则y=tx,=tx, 在△PAB,△PBC,△PCA中，由余弦定理得： c2=x+x-24co2亚=(G+6+1)x2, 3 口-0+后-246cs-优+君+)， B=+x-24,c0s2亚=G+5+x2, 3 因为丽C=0,所以A=号。2=公+c2, 所以(+号+5)x2=(G+i+1x2+(G+4+1)x2, 所以x>0,所以+号+2=号+t+1+++1,整理得2=t+4+2, 根品香>0>0周84+2-4 记4+5=，则m2-4-8≥0，解得m≤2-2√3（舍去）或m≥2+2√5， 当且仅当=t2=1+V3时，等号成立，所以5+t3的最小值为2+25.-17分 10