期末复习讲义02：解三角形【14个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义02：解三角形】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦定理求角】 【练方法】 方法技巧 1已知三边、两边夹角，优先使用余弦定理，求出余弦值后结合确定内角 2已知两边一对角、外接圆半径、边角比例式，用正弦定理边角互化，结合大边对大角取舍角度，排除增根 3多内角计算利用恒等代换：， 4锐角三角形约束：；钝角三角形只需最长边对应角 5边角混合齐次式，统一化为边或统一化为角后再求解 6 SSA两解需检验两角之和小于，满足三角形内角限制 公式结论 1余弦求角 2正弦定理 3内角恒等变换 4边角性质 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 （2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________．经典例题2例题 （上海市宝山区2025-2026学年高一下学期6月期末教学质量监测数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________．小试牛刀1 （25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________．小试牛刀2 （2026·四川资阳·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．小试牛刀3 【题型2：正余弦定理求边长】 【练方法】 方法技巧 1已知两边夹角，直接用余弦定理计算第三边 2已知两角一边、外接圆半径，用实现角转边 3边角混合等式，借助正弦定理统一化为边，消去三角函数求解 4图形含中点、角平分线，搭配中线、角平分线专用公式联立方程 5多三角形共边模型，对公共边两次列余弦定理，构建方程组 6结合面积公式求出，配合完全平方推导边长 公式结论 1余弦求边 2正弦边角互化 3完全平方变形 4面积辅助式 （25-26高一下·江苏南京·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________．经典例题1例题 （25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________经典例题2例题 （25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．小试牛刀1 （25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________.小试牛刀2 （25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，角所对的边分别为，若，则__________．小试牛刀3 【题型3：正余弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 方法技巧 1仅SSA（两边及其中一边对角）存在多解、一解、无解；ASA、AAS、SSS、SAS均唯一解 2分类标准：对比已知角对边与的大小，分锐角、钝角/直角两类讨论 3已知角为钝角、直角时，仅存在一组解，无两解情况 4求出两组角度后，检验两角和小于、三边满足三角形不等式 5可通过作图辅助，观察圆弧与射线交点数量判定解数 公式结论 已知，条件 1为钝角/直角 1解；无解 2为锐角 且2解 1解 无解 1解 （25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______．经典例题1例题 （25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．经典例题2例题 （25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式）小试牛刀1 （25-26高一下·北京大兴·期中）在中，，．小试牛刀2 ①若，则=______； ②若满足条件的有两个，则的取值范围是______． （25-26高一下·北京朝阳·期中）在中，，．小试牛刀3 （1）若，则________． （2）若有两解，则a的一个值可以为________． 【题型4：正余弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 方法技巧 1边角齐次式统一化为边长，因式分解判定等腰、直角关系 2边角齐次式统一化为内角，三角恒等变换判定直角、等边、钝角 3判定钝角、锐角：计算最长边对应角余弦，钝角，直角，锐角 4同时满足两边相等+直角为等腰直角；三边相等为等边三角形 5锐角三角形充要条件：任意两边平方和大于第三边平方 公式结论 1直角判定 2钝角判定为最长边，为钝角 3锐角三角形充要条件 4等腰判定 5等边判定 （22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ）经典例题2例题 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 （25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ）小试牛刀1 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 （25-26高一下·陕西西安·期中）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ）小试牛刀2 A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 （25-26高一下·山东济宁·期中）已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【题型5：正余弦定理求周长】 【练方法】 方法技巧 1基础解法：求出三边直接相加 2定角定对边：余弦定理建立关系式，结合完全平方求，加定值边 3面积条件：由得，联立余弦定理求 4外接圆条件：正弦定理全化为角，化简边长和 5含中点、角平分线图形，先求两条未知边长再计算周长 公式结论 1周长定义 2恒等变形 3联立方程组 4正弦转化 （2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，．经典例题1例题 (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题2例题 (1)求A． (2)若，，求的周长． （2022·北京·高考真题）在中，．小试牛刀1 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， 小试牛刀2 (1)求角 ； (2)若，求 的周长． （2026高二下·浙江·学业考试）在中，角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)若，且的面积等于，求的周长． 【题型6：正余弦定理求面积】 【练方法】 方法技巧 1通用公式：找到两边及夹角，代入 2仅知三边无角度，选用海伦公式 3已知三边与外接圆半径，使用 4含中线、角平分线图形，分割为两个小三角形面积相加 5已知底边与对应高，使用底乘高公式 6向量题型借助数量积求，换算后求面积 公式结论 1核心面积公式 2外接圆面积式 3海伦公式 （2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．经典例题1例题 (1)求； (2)若，求面积． （2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.经典例题2例题 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 在中，已知，，，求的面积．小试牛刀1 （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，求b． （2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．小试牛刀3 (1)求的值； (2)若，求的面积． 【题型7：正余弦定理在几何图形的计算】 【练方法】 方法技巧 1内外双三角形、多边形，锁定公共边，两次列余弦定理联立求解 2线段等分、延长线：向量线性分解，向量平方转化数量积结合余弦定理 3等腰图形替换等边长；邻补角满足余弦互为相反数代换 4平行四边形、梯形拆分为两个三角形分步计算 5复合图形拆分单个独立三角形，依次求解边角再整合结论 6出现中线、角平分线直接套用专用长度公式简化运算 公式结论 1互补角余弦 2中线向量 3向量平方 4平行四边形对角线平方和 5公共边联立：对同一条边两次使用余弦定理构建等式 （2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，．经典例题1例题 (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． （2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知.经典例题2例题 (1)求； (2)点满足，且，求. （2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀1 (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． （2025·福建泉州·一模）四边形中，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求四边形的面积． （2021·福建泉州·二模）中，，点在边上，平分．小试牛刀3 (1)若，求； (2)若，且的面积为，求． 【题型8：求周长的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1定角定对边模型：余弦定理搭配基本不等式求最小值，得到周长最小值 2正弦转化法：全部化为三角函数，利用有界性求区间 3锐角三角形增加三边平方约束，缩小变量取值范围 4底层约束：三角形三边不等式 5求最大值结合内角范围，分析三角函数峰值对应边长条件 公式结论 1基本不等式，取等号 2正弦边角转化 3周长 4和差化积 （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知，．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． （25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知的内角所对边分别为，，．经典例题2例题 (1)求的外接圆的周长． (2)若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． （25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且．小试牛刀1 (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． （2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． （25-26高一下·四川内江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．小试牛刀3 (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 【题型9：求面积的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1固定内角：余弦定理结合均值不等式得到范围，代入 2正弦转化：边长化为三角函数，由正弦值域求最值 3中线、角平分线定值，借助专用公式建立等量关系求范围 4锐角三角形额外增加三边平方约束 5面积最大值一般在（等腰）时取到，验证等号成立条件 公式结论 1面积核心式 2均值不等式 3三角函数有界 4中线配套 5角平分线配套 （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．经典例题1例题 (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． （25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．经典例题2例题 (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． （25-26高一下·广西崇左·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，.小试牛刀1 (1)求； (2)若为线段上一点，且满足，，求的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. （25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. （25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.小试牛刀3 (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【题型10：求边长或角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1边长最值两条路径 ①代数路径：余弦定理+基本不等式（定角定对边） ②三角路径：正弦定理转三角函数，利用值域求范围 2角度范围：结合内角和、三边不等式、锐角/钝角余弦符号列不等式组 3动态图形含中线、角平分线，变形专用公式搭配不等式约束变量 4多变量问题固定单一变量，单独分析另一变量变化趋势 5边界取值需检验三角形存在性 公式结论 1余弦定理 2三角函数值域 3三边基础约束 4角度约束：锐角；钝角 5正弦转化 （25-26高一下·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.经典例题1例题 (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. （25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，．经典例题2例题 (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． （25-26高一下·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______．小试牛刀1 （25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.小试牛刀2 （25-26高一下·浙江·期中）已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则的最小值为___________．小试牛刀3 【题型11：正余弦定理的实际应用】 【练方法】 方法技巧 1建模：高度、距离、方位、坡度抽象为三角形，标注全部已知边角 2方位角、仰角、俯角转化为三角形内角，区分内角、外角、互补角 3多点观测图形拆分为多个相连三角形，分步计算边角 4含直角测量模型，结合直角边角关系简化运算 5舍去负长度、不符合现实范围的解 公式结论 1基础定理 2直角测量 3面积公式 （25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ）经典例题1例题 A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 （25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·上海·期中）某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里．小试牛刀1 （25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m小试牛刀2 A． B．8 C．12 D． （25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【题型12：射影定理的应用】 【练方法】 方法技巧 1简化线性边长等式，减少余弦定理平方运算量 2边角混合等式消元，将边替换为两边与余弦的线性组合 3配合正弦定理同步边角互化，简化证明类题型 4已知两角一边求边长，直接列式一步计算 5周长、面积综合题简化线性表达式 公式结论 射影定理三式 （25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ）经典例题2例题 A．30° B．90° C．45° D．60° （2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.小试牛刀1 在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为___________.小试牛刀2 （2026·浙江金华·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．小试牛刀3 (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 【题型13：求中线的长度及求最值范围】 【练方法】 方法技巧 1求定长中线：直接代入阿波罗尼斯中线公式计算 2中线定值求边长最值：变形中线公式，结合均值不等式、三角函数值域求范围 3向量辅助：中线向量平方展开，转化数量积搭配余弦定理分析区间 4锐角三角形增加三边平方约束缩小取值范围 5最值等号成立条件，验证内角符合题干限制 公式结论 1阿波罗尼斯中线公式（为中点，为中线） 2中线向量平方 3数量积 4均值不等式 （24-25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，经典例题1例题 (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． （2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，则边AC上的中线BE长为________．小试牛刀1 （2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________．小试牛刀2 （25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在中，角，，所对的边分别是，，，且．小试牛刀3 (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【题型14：求角平分线的长度及最值范围】 【练方法】 方法技巧 1求角平分线定值两种方法 ①面积拆分：列式计算 ②专用角平分线长度公式直接代入 2角平分线定值求边长最值：由长度公式推导关系式，搭配余弦定理、均值不等式 3化简使用二倍角公式约分 4由范围直接代入面积公式求面积区间 5等号成立条件，对应等腰三角形 公式结论 1角平分线长度公式（平分） 2面积拆分恒等式 3二倍角 4均值不等式，取等号 （2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.经典例题1例题 (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. （2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.经典例题2例题 (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. （25-26高一下·广西玉林·期中）已知的内角，，的对边为，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线长的最大值． （25-26高一下·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. （2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义02：解三角形】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正余弦定理求角】 【练方法】 方法技巧 1已知三边、两边夹角，优先使用余弦定理，求出余弦值后结合确定内角 2已知两边一对角、外接圆半径、边角比例式，用正弦定理边角互化，结合大边对大角取舍角度，排除增根 3多内角计算利用恒等代换：， 4锐角三角形约束：；钝角三角形只需最长边对应角 5边角混合齐次式，统一化为边或统一化为角后再求解 6 SSA两解需检验两角之和小于，满足三角形内角限制 公式结论 1余弦求角 2正弦定理 3内角恒等变换 4边角性质 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以 或. （2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________．经典例题2例题 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. （上海市宝山区2025-2026学年高一下学期6月期末教学质量监测数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C. 【详解】在中，设其外接圆半径为，由正弦定理得， 即，，， 则由，可得 ， 由两角和的正弦公式，左边可化简为， 又， 因此等式化为 由于，故， 两边同除以得，又，因此. （25-26高一下·湖北黄冈·阶段检测）在中，分别为角所对的边，若，，，则____________．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． （2026·四川资阳·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．小试牛刀3 【答案】 【详解】由余弦定理，得， 而，所以. 【题型2：正余弦定理求边长】 【练方法】 方法技巧 1已知两边夹角，直接用余弦定理计算第三边 2已知两角一边、外接圆半径，用实现角转边 3边角混合等式，借助正弦定理统一化为边，消去三角函数求解 4图形含中点、角平分线，搭配中线、角平分线专用公式联立方程 5多三角形共边模型，对公共边两次列余弦定理，构建方程组 6结合面积公式求出，配合完全平方推导边长 公式结论 1余弦求边 2正弦边角互化 3完全平方变形 4面积辅助式 （25-26高一下·江苏南京·期末）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】应用二倍角正弦公式化简，再应用余弦定理计算得出边长，代入计算检验即可. 【详解】因为，所以， 则，则，又， 所以，即， 则，则， 解得或， 当时，由余弦定理计算，，进而得， 因，故，与题设矛盾，所以， 故． （25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）中，，，，则边上的高为_________经典例题2例题 【答案】/ 【详解】因为，，， 由余弦定理得， 整理得，解得， 设边上的高为，由等面积可得， 解得. （25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．小试牛刀1 【答案】 【分析】由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解． 【详解】由和余弦定理，可得， 因，则， 又由可得， 因，则 ， 由正弦定理得，，设， 则，解得（负值舍去）， 所以． （25-26高一下·广东深圳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________.小试牛刀2 【答案】4 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. （25-26高一下·江苏镇江·期中）在中，角所对的边分别为，若，则__________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据已知的和计算出的度数，再结合正弦定理求解. 【详解】根据三角形内角和为，则， 由正弦定理，得， 又，，， 则. 【题型3：正余弦定理判断三角形解的个数】 【练方法】 方法技巧 1仅SSA（两边及其中一边对角）存在多解、一解、无解；ASA、AAS、SSS、SAS均唯一解 2分类标准：对比已知角对边与的大小，分锐角、钝角/直角两类讨论 3已知角为钝角、直角时，仅存在一组解，无两解情况 4求出两组角度后，检验两角和小于、三边满足三角形不等式 5可通过作图辅助，观察圆弧与射线交点数量判定解数 公式结论 已知，条件 1为钝角/直角 1解；无解 2为锐角 且2解 1解 无解 1解 （25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】由题意或即可求解. 【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. （25-26高一下·吉林长春·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________．经典例题2例题 【答案】1 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到只有一解，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个. （25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式）小试牛刀1 【答案】 【分析】判断出三角形有两解时分析A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可． 【详解】根据正弦定理，，则. 有两解，则角有两个不同的取值. 因为，所以存在两个不同的对应同一个， 因此，即， 因此的取值范围是. （25-26高一下·北京大兴·期中）在中，，．小试牛刀2 ①若，则=______； ②若满足条件的有两个，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由可得，故， 由于,故， 由余弦定理可得，即，解得（负值舍去）. 若满足条件的有两个，则，即，解得. （25-26高一下·北京朝阳·期中）在中，，．小试牛刀3 （1）若，则________． （2）若有两解，则a的一个值可以为________． 【答案】 5 6（范围内的任意值均可） 【分析】①利用余弦定理计算即可；②利用正弦定理，然后根据条件列出不等式，进而求解即可. 【详解】①根据余弦定理得. 所以. ②根据正弦定理得，. 要使得有两解，需满足：，即， 解得，所以的一个值可以是6. 【题型4：正余弦定理判断三角形的形状】 【练方法】 方法技巧 1边角齐次式统一化为边长，因式分解判定等腰、直角关系 2边角齐次式统一化为内角，三角恒等变换判定直角、等边、钝角 3判定钝角、锐角：计算最长边对应角余弦，钝角，直角，锐角 4同时满足两边相等+直角为等腰直角；三边相等为等边三角形 5锐角三角形充要条件：任意两边平方和大于第三边平方 公式结论 1直角判定 2钝角判定为最长边，为钝角 3锐角三角形充要条件 4等腰判定 5等边判定 （22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 （2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ）经典例题2例题 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. （25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ）小试牛刀1 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以， 由，得，整理得，所以是等边三角形 （25-26高一下·陕西西安·期中）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ）小试牛刀2 A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. （25-26高一下·山东济宁·期中）已知分别为三个内角的对边，且，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】使用正弦定理或余弦定理化简，从而判断三角形的形状. 【详解】方法一： 由于， 根据正弦定理可得，， 即, , 化简，得, 所以，，或,而为三角形内角， 所以，,或 所以，的形状为直角三角形或等腰三角形. 方法二： 根据余弦定理可得， 化简，得 ， 即 所以，,或 所以，的形状为直角三角形或等腰三角形. 【题型5：正余弦定理求周长】 【练方法】 方法技巧 1基础解法：求出三边直接相加 2定角定对边：余弦定理建立关系式，结合完全平方求，加定值边 3面积条件：由得，联立余弦定理求 4外接圆条件：正弦定理全化为角，化简边长和 5含中点、角平分线图形，先求两条未知边长再计算周长 公式结论 1周长定义 2恒等变形 3联立方程组 4正弦转化 （2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，．经典例题1例题 (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题2例题 (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 （2022·北京·高考真题）在中，．小试牛刀1 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， 小试牛刀2 (1)求角 ； (2)若，求 的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出，再根据，即可求解； （2）结合（1）的结果求出，再利用正弦定理求出，即可求得答案. 【详解】（1）由于在中，， 故，结合，得， 而，故， 结合，得. （2）由（1）可知，故， 由正弦定理得，即， 可得， 故 的周长为. （2026高二下·浙江·学业考试）在中，角，，的对边分别为，，，已知．小试牛刀3 (1)求； (2)若，且的面积等于，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以，得，即. （2）因为，所以，所以 由余弦定理得，， 因为，，所以，所以的周长为. 【题型6：正余弦定理求面积】 【练方法】 方法技巧 1通用公式：找到两边及夹角，代入 2仅知三边无角度，选用海伦公式 3已知三边与外接圆半径，使用 4含中线、角平分线图形，分割为两个小三角形面积相加 5已知底边与对应高，使用底乘高公式 6向量题型借助数量积求，换算后求面积 公式结论 1核心面积公式 2外接圆面积式 3海伦公式 （2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．经典例题1例题 (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． （2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.经典例题2例题 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 在中，已知，，，求的面积．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用特殊角三角函数值和同角三角函数关系可求得，利用正弦定理和两角和差正弦公式可求得和，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】，，，，； ，，； 由正弦定理得：， ， . （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. （2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．小试牛刀3 (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 【题型7：正余弦定理在几何图形的计算】 【练方法】 方法技巧 1内外双三角形、多边形，锁定公共边，两次列余弦定理联立求解 2线段等分、延长线：向量线性分解，向量平方转化数量积结合余弦定理 3等腰图形替换等边长；邻补角满足余弦互为相反数代换 4平行四边形、梯形拆分为两个三角形分步计算 5复合图形拆分单个独立三角形，依次求解边角再整合结论 6出现中线、角平分线直接套用专用长度公式简化运算 公式结论 1互补角余弦 2中线向量 3向量平方 4平行四边形对角线平方和 5公共边联立：对同一条边两次使用余弦定理构建等式 （2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，．经典例题1例题 (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. （2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知.经典例题2例题 (1)求； (2)点满足，且，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. （2）因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. （2025·福建泉州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀1 (1)求； (2)如图所示，为外一点，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和与差的正弦公式即可求解； （2）令，，在和中分别利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）， 在中，由正弦定理得，， 由， ， 即， ，，， 即，             又， ，即. （2）因为，令，， 在中，由正弦定理得， ，， 在中，由正弦定理得，， 因为，， ，            ， 解得，即． （2025·福建泉州·一模）四边形中，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． （2021·福建泉州·二模）中，，点在边上，平分．小试牛刀3 (1)若，求； (2)若，且的面积为，求． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系，求出，的正余弦值，再由互补关系求出； （2）由和的面积为，分别求出和，再根据余弦定理求出的值. 【详解】（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞B， 又∵，∴， ∵， ∵AB＝2AC，∴C＞B，即大边对大角，， 又∵，∴， ∵， ∴ 或， （2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t， ∵，∴， ∴， ∵为三角形的内角，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴， 在△ABC中，运用余弦定理可得， ， ∴． 【题型8：求周长的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1定角定对边模型：余弦定理搭配基本不等式求最小值，得到周长最小值 2正弦转化法：全部化为三角函数，利用有界性求区间 3锐角三角形增加三边平方约束，缩小变量取值范围 4底层约束：三角形三边不等式 5求最大值结合内角范围，分析三角函数峰值对应边长条件 公式结论 1基本不等式，取等号 2正弦边角转化 3周长 4和差化积 （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知，．经典例题1例题 (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角； （2）直接代入面积公式求解参数； （3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 化简得. 因为，则，故有. 又由余弦定理， 又，得. （2）由可得， 又，联立解得. （3）由正弦定理得，故. 因，易得，又，则， 则， 因，故，得. 因此周长. （25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知的内角所对边分别为，，．经典例题2例题 (1)求的外接圆的周长． (2)若为锐角三角形，求ΔABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角关系化简已知等式，结合正弦定理求角，再利用正弦定理求外接圆周长； （2）利用正弦定理列出周长表达式，利用三角形是锐角三角形求出的取值范围，进而求出周长的取值范围． 【详解】（1）由，得，， 故，， 可化为， 由正弦定理，则， 在中，，则，由二倍角公式得， ，则，， ，则，． 由正弦定理，故， 外接圆周长． （2）的周长，由，结合正弦定理得， ， ,则 ， 是锐角三角形，则三个内角均小于， ，解得， ，， 故， ． （25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且．小试牛刀1 (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． （2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. （25-26高一下·四川内江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且．小试牛刀3 (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解； （2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到 求解； （3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解. 【详解】（1）由，可得， 化简得， ， ，又， 所以，即； （2）因为为锐角三角形，， 所以，即，解得 由正弦定理可知，即， 所以 ， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为； （3）由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得， 解得. 【题型9：求面积的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1固定内角：余弦定理结合均值不等式得到范围，代入 2正弦转化：边长化为三角函数，由正弦值域求最值 3中线、角平分线定值，借助专用公式建立等量关系求范围 4锐角三角形额外增加三边平方约束 5面积最大值一般在（等腰）时取到，验证等号成立条件 公式结论 1面积核心式 2均值不等式 3三角函数有界 4中线配套 5角平分线配套 （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．经典例题1例题 (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. （25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为．经典例题2例题 (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． （25-26高一下·广西崇左·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，.小试牛刀1 (1)求； (2)若为线段上一点，且满足，，求的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦边角关系求角的大小； （2）首先得到为等边三角形，设并应用余弦定理列方程求参数值，即可得； （3）由（1）及正弦定理，应用三角恒等变换得，再应用三角形面积公式得到，结合求范围. 【详解】（1）由题可得， 所以； （2）为线段上一点，且满足，， 为等边三角形，而， ，且，设， 在中， 即， 整理得，解得或（舍），即 （3）在中，由正弦定理得： ， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得，所以面积的取值范围是. （25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. （25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.小试牛刀3 (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，由边化角，再根据余弦定理，直接求出角C即可； （2）根据三角形中线的性质，求出向量关系，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值即可. 【详解】（1）由，可得， 化简得，则，解得. （2）由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 【题型10：求边长或角的最值与范围】 【练方法】 方法技巧 1边长最值两条路径 ①代数路径：余弦定理+基本不等式（定角定对边） ②三角路径：正弦定理转三角函数，利用值域求范围 2角度范围：结合内角和、三边不等式、锐角/钝角余弦符号列不等式组 3动态图形含中线、角平分线，变形专用公式搭配不等式约束变量 4多变量问题固定单一变量，单独分析另一变量变化趋势 5边界取值需检验三角形存在性 公式结论 1余弦定理 2三角函数值域 3三边基础约束 4角度约束：锐角；钝角 5正弦转化 （25-26高一下·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且.经典例题1例题 (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. （25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，．经典例题2例题 (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. （25-26高一下·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______．小试牛刀1 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以 在上为增函数， 所以． （25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. （25-26高一下·浙江·期中）已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则的最小值为___________．小试牛刀3 【答案】2 【分析】利用正弦定理整理原式可得，结合三角形面积公式和倍角公式建立关于和的等式，再根据三角函数的值域求解的最小值. 【详解】， 由得 当，时，分母取最大值， 此时取最小值，即，的最小值为2． 【题型11：正余弦定理的实际应用】 【练方法】 方法技巧 1建模：高度、距离、方位、坡度抽象为三角形，标注全部已知边角 2方位角、仰角、俯角转化为三角形内角，区分内角、外角、互补角 3多点观测图形拆分为多个相连三角形，分步计算边角 4含直角测量模型，结合直角边角关系简化运算 5舍去负长度、不符合现实范围的解 公式结论 1基础定理 2直角测量 3面积公式 （25-26高一下·广东·期末）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ）经典例题1例题 A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． （25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面，平面，平面，，； 由在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，得，. ，在中，； 在中，. ， 在中，由余弦定理得； . （25-26高一下·上海·期中）某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里．小试牛刀1 【答案】 【详解】 由题意得，海里，，从B处观测S为北偏东， 因此. 根据三角形内角和为，则. 在中，由正弦定理可得， 将，，代入得， 解得，即此时货轮到灯塔S的距离为海里. （25-26高一下·山西晋中·阶段检测）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m小试牛刀2 A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【详解】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得 . 在中，，，， 由余弦定理，得 ， 所以. （25-26高一下·福建厦门·期中）（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ）小试牛刀3 A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 【题型12：射影定理的应用】 【练方法】 方法技巧 1简化线性边长等式，减少余弦定理平方运算量 2边角混合等式消元，将边替换为两边与余弦的线性组合 3配合正弦定理同步边角互化，简化证明类题型 4已知两角一边求边长，直接列式一步计算 5周长、面积综合题简化线性表达式 公式结论 射影定理三式 （25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得， 三角形面积，则， 即， ， ， ， ． （21-22高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ）经典例题2例题 A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B （2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.小试牛刀1 【答案】/0.75 【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 故答案为： 在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为___________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得. 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. （2026·浙江金华·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．小试牛刀3 (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法1：由正弦定理结合恒等变形化简得，再求角即可；方法2：由射影定理得，进而得到，再求角即可； （2）由三角形面积公式可得，再根据余弦定理可得，然后根据向量法求中线长即可． 【详解】（1）解：方法1：∵， ∴， ∵， ∴＞0，∴，∴，； 方法2：由射影定理，对任意，有， 代入题干条件得，因为b＞0，所以， 又，故． （2）解：由三角形面积公式：代入， 解得． 由余弦定理，代得：， 因为D为中点，由向量中线公式：， 两边平方得：， 因此． 【题型13：求中线的长度及求最值范围】 【练方法】 方法技巧 1求定长中线：直接代入阿波罗尼斯中线公式计算 2中线定值求边长最值：变形中线公式，结合均值不等式、三角函数值域求范围 3向量辅助：中线向量平方展开，转化数量积搭配余弦定理分析区间 4锐角三角形增加三边平方约束缩小取值范围 5最值等号成立条件，验证内角符合题干限制 公式结论 1阿波罗尼斯中线公式（为中点，为中线） 2中线向量平方 3数量积 4均值不等式 （24-25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，经典例题1例题 (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． （2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. （25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，则边AC上的中线BE长为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】在中，由，得， 则，而，解得，，即， 而，因此， 所以边AC上的中线BE长为. （2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值. 【详解】因为，，，所以在中， 由正弦定理可得：， 所以． 因为在中，由余弦定理，， 可得：，即：， 所以解得：或（舍去）， 所以,由余弦定理可得：, . 故答案为：①;②． （25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在中，角，，所对的边分别是，，，且．小试牛刀3 (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 【题型14：求角平分线的长度及最值范围】 【练方法】 方法技巧 1求角平分线定值两种方法 ①面积拆分：列式计算 ②专用角平分线长度公式直接代入 2角平分线定值求边长最值：由长度公式推导关系式，搭配余弦定理、均值不等式 3化简使用二倍角公式约分 4由范围直接代入面积公式求面积区间 5等号成立条件，对应等腰三角形 公式结论 1角平分线长度公式（平分） 2面积拆分恒等式 3二倍角 4均值不等式，取等号 （2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.经典例题1例题 (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得边的关系，根据余弦定理得的大小； （2）根据余弦定理和中线向量可求，再根据面积关系可求的长. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）由（1）得，即.① 因为，所以， 即，所以.② 由①②得， 所以，所以. 因为，且， 所以，即， 所以. （2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且.经典例题2例题 (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. （25-26高一下·广西玉林·期中）已知的内角，，的对边为，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出角即可得解； （2）利用三角形面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. （2）因为为角的角平分线，所以， 由于，所以， 所以，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （25-26高一下·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出. （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，进而求出. （3）若AD为角平分线，则，再利用正弦定理，结合三角恒等变换化简，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 因此，由，得，则， 即，由，得，所以. （2）由，得， 由（1）知，，则 ，整理得， 又，则，由余弦定理得， 所以. （3）由AD为角平分线，得， 在中，由正弦定理，得， 即，则，， 因此 ，由，得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $