精品解析：2026年黑龙江绥化市望奎县五中联考中考模拟预测数学试题

2026年九年级中考数学模拟试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数的倒数是（ ）． A. B. C. D. 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知线段 的两个端点坐标分别为，，以原点 为位似中心在第一象限内画线段．若，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 为实现我国 年前碳达峰，太阳能发电、光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．截至年月底，全国太阳能发电装机容量累计约为亿千瓦，数据亿用科学记数法表示为______． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 13. 分解因式： ______． 14. 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为__________． 15. 色光三原色（ ）是指红、绿、蓝三色，将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘从色光三原色中随机选择一种色光，小李从剩下的两种色光中再随机选择一种，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为______． 16. 化简： ______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 18. 如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点 重合），且，则的最小值为_________． 19. 在 中，，，，则的长度为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径均为2的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为，，，…，且它们到x轴的距离均为1，则点的坐标为______． 三、解答题（本题共7道大题，共60分） 21. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 22. 为了养成学生勤俭节约的习惯，某中学发起了“节约用电从随手关灯开始”的倡议．现随机选取若干名学生进行跟踪调查，对他们在倡议发起前和发起后的用电习惯分别进行了统计（．没有随手关灯的习惯；．开始注意随手关灯；．保持每次都随手关灯； ．其它），并制作了如下不完整的统计表和统计图： 倡议发起前用电习惯频数分布表 用电习惯 频数（人） 百分比 倡议发起后用电习惯人数条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）请补全条形统计图； （3）请你结合倡议发起前后用电习惯的人数变化情况，分析这次倡议活动是否取得效果； （4）若该校共有 名学生，请你估计倡议发起后用电习惯为“”的学生人数． 23. 某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 24. 如图， 是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留 和根号） 25. 某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）求“全速模式”下乙的速度； （2）求图中m的值以及线段所在直线和线段 所在直线的解析式； （3）两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 26. 【问题背景】 已知，在正方形中，为正方形的对角线， 为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线 作垂线，垂足分别为点，连接． 【猜想感知】 （1）如图①，当点在线段上时，判断 的形状，并说明理由； 【类比探讨】 （2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系； 【问题解决】 （3）若，求线段的长． 27. 已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 轴于点 M，若满足 （a为常数）的点有且只有三个，求的值； （3）若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考数学模拟试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数的倒数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数、实数运算的性质分析，即可得到答案． 【详解】 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数、实数的知识；解题的关键是熟练掌握倒数、实数运算的性质，从而完成求解． 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义（一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法的法则，逐一计算验证各选项即可． 【详解】解：A．，故该选项计算正确，符合题意， B．和不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．原式存在除法，当 ，，若 ，无意义，等式不成立，故该选项计算不一定正确，不符合题意． 4. 三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义和空间想象，得出图形即可． 【详解】解：俯视图从左到右分别是，1，个正方形，如图所示： ． 故选C． 【点睛】此题考查了简单组合体的俯视图，关键是对几何体的三种视图的空间想象能力． 5. 某校开展以“发现生活中的数学美”为主题的摄影比赛，共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛．小云同学想知道自己的成绩能否进入复赛，只需要知道这83名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解题的关键．根据中位数的意义进行排除选项即可． 【详解】解：本次比赛共83名同学参加初赛，取前42名进入复赛， 成绩不低于中位数即可参加复赛， 只需要知道这83名同学成绩的中位数即可， 故选：D． 6. 如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三角板定义得出两个特殊角 的度数，根据平行性质求出，根据外角定义求出，最后根据 互余求出． 【详解】解：如图所示，标出各个角 由两个直角三角板的角度可知 ， 两个三角板两条斜边互相平行， ， ， ， ∵ ， ． 7. 如图，已知线段 的两个端点坐标分别为，，以原点 为位似中心在第一象限内画线段．若，则点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 以原点 为位似中心， 线段 在第一象限内的位似图形为线段， 线段 和线段的位似比为 ， 点 的坐标为，即． 8. 一项工程若由甲队单独去做，刚好能如期完成；若由乙队单独做，要比规定时间多用5天才完成；若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独去做，也正好如期完成．设这项工程预期x天完成，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，首先规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天．根据题意可得等量关系：甲干4天的工作量乙干x天的工作量 ，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：规定的工期是x天，则甲队完成这项工程要x天，乙队完成这项工程要天． 由题意可列方程：， 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当P、Q分别在上运动时，；当P、Q分别在上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：当、分别在 、上运动时， 是菱形，，则 、 为边长为2的等边三角形， 过点作 于点，    ， 函数最大值为，符合条件的A、B、C、D； 当、分别在、上运动时，过点作 于点， 则， 即，时，， 符合条件的有A． 10. 如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴ ，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时， ，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 为实现我国 年前碳达峰，太阳能发电、光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．截至年月底，全国太阳能发电装机容量累计约为亿千瓦，数据亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数先将亿转换为 ，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】解：亿． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为零，二次根式被开方数为非负数，列不等式组求解即可． 【详解】解：要使式子有意义， 需满足 ，，， 解不等式 ，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得， 取三个不等式解集的公共部分，得． 13. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图的半径为R，圆锥底面圆的半径为r，由弧长公式求得扇形半径，进而求得底面圆的半径为，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的半径为R，圆锥底面圆的半径为r， 由题意得：， ， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长， ， ∴底面圆的半径为， ． 15. 色光三原色（ ）是指红、绿、蓝三色，将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘从色光三原色中随机选择一种色光，小李从剩下的两种色光中再随机选择一种，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意画树状图如解图， 由树状图可得，共有6种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， ∴． 16. 化简： ______． 【答案】 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，再计算分式除法即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，在x轴的正半轴上，，均为等腰直角三角形，且直角顶点，在反比例函数的图象上，若点，的纵坐标之和为，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过作轴， 轴，设 ，则 ，进而得到，再代入反比例函数求的值即可． 【详解】解：过作轴， 轴，设 ，则 ， 又，均为等腰直角三角形， 所以 ， ， ， ，即， 解得，即 ． 18. 如图，在矩形中，分别是上的点（点 分别不与点 重合），且，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交 于点G，根据相似三角形的判定和性质求出为定值，证明 ，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形三边关系求出的最小值为，即可求解． 【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交 于点G， ， 四边形是矩形， ， 矩形中，， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键． 19. 在 中，，，，则 的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点A作 ，交 所在直线于D，利用勾股定理求出 的长度，再由勾股定理求出，分垂足D在线段 上和垂足D在 延长线上，两种情况计算． 【详解】解：过点 作 ，交 所在直线于点 ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， 在 中， ， 当点 在线段 上时，如图， ； 当点 在线段 的延长线上时，如图， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径均为2的半圆，，，…，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有两个点，从左向右分别记为，，，…，且它们到x轴的距离均为1，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作 轴， 轴，利用勾股定理得到，，，， ，再根据其变化规律得到点的坐标． 【详解】解：过分别作 轴， 轴， 则 ， ，， ，，，， ， ∴的横坐标，当为奇数时，横坐标为， 则的横坐标为， 对于，其纵坐标的变化规律是每4个一组循环， ∴的纵坐标为1， ∴． 三、解答题（本题共7道大题，共60分） 21. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，正切值，然后进行加减运算即可； （2）先利用完全平方公式化简，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ， 解得：， ． 22. 为了养成学生勤俭节约的习惯，某中学发起了“节约用电从随手关灯开始”的倡议．现随机选取若干名学生进行跟踪调查，对他们在倡议发起前和发起后的用电习惯分别进行了统计（．没有随手关灯的习惯；．开始注意随手关灯；．保持每次都随手关灯； ．其它），并制作了如下不完整的统计表和统计图： 倡议发起前用电习惯频数分布表 用电习惯 频数（人） 百分比 倡议发起后用电习惯人数条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______； （2）请补全条形统计图； （3）请你结合倡议发起前后用电习惯的人数变化情况，分析这次倡议活动是否取得效果； （4）若该校共有 名学生，请你估计倡议发起后用电习惯为“”的学生人数． 【答案】（1） ， （2） （3）倡议发起前用电习惯为“．没有随手关灯的习惯”的人数为人，倡议发起后该组人数为 人，人数明显减少，说明学校发起的“节约用电从随手关灯开始”的倡议效果显著（答案不唯一，合理即可） （4） 人 【解析】 【分析】（1）用组人数除以其百分比求出总人数，进而即可求解； （2）求出条形统计图中组人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据倡议发起前后同一组人数的变化分析判断即可； （4）利用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：调查总人数 （人）， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：组人数为 （人）， 补全条形统计图略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： （人）， 答：估计倡议发起后用电习惯为“”的学生人数有 人． 23. 某校为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【答案】（1）每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元 （2） 方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【解析】 【分析】（1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需要资金1440元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个甲种书柜，则购买个乙种书柜，根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能提供资金4320元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 依题意得：， 解得：． 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元． 【小问2详解】 解：设购买个甲种书柜，则购买个乙种书柜， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以取8，9，10， 该校共有3种购买方案， 方案1：购买8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购买9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购买10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 24. 如图， 是的内接三角形，，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留 和根号） 【答案】（1） 证明：如答图1，连接 ， ， ， ， ， 在 中，， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接 ，证明即可得证； （2）过点O作，垂足为点E，求出，，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为点E， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积为． 25. 某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）求“全速模式”下乙的速度； （2）求图中m的值以及线段 所在直线和线段 所在直线的解析式； （3）两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 【答案】（1）60米/分钟 （2）； ； （3）两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米 【解析】 【分析】（1）根据“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）分三种情况，即乙在 段，乙在段，乙在段，分别计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵“基础模式”下乙机器人运动1分钟的距离为20米， ∴“基础模式”下乙机器人的速度为20米/分钟， ∵“全速模式”下乙机器人的速度是“基础模式”下乙机器人的速度的3倍， ∴“全速模式”下乙的速度为（米/分钟）； 【小问2详解】 解：∵乙机器人5分钟运动的距离为 （米）， ∴； 设线段 所在直线的解析式为 ，将代入得，解得 ， ∴线段 所在直线的解析式为 ； 由（1）知， ∴点， 设线段 所在直线的解析式为，将点，点代入， 得， 解得， ∴线段 所在直线的解析式为 ； 【小问3详解】 解：设线段所在直线的解析式为，将代入得， ∴线段所在直线的解析式为， 当时，由题意得 ，解得（舍）， 当时，由题意得 ，解得， 当时，由题意得 ， 解得或， 综上，两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米． 26. 【问题背景】 已知，在正方形中，为正方形的对角线， 为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线 作垂线，垂足分别为点，连接． 【猜想感知】 （1）如图①，当点在线段上时，判断 的形状，并说明理由； 【类比探讨】 （2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系； 【问题解决】 （3）若，求线段的长． 【答案】（1） 是等腰直角三角形，理由见解析（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）延长 交于点 ，先证明，得到，再证明，得到，进而推出，三线合一结合斜边上的中线，即可得出结论； （2）延长 交的延长线于点 ，先证明，得到，再证明，推出 为等腰直角三角形，三线合一结合斜边上的中线，推出 为等腰直角三角形，根据线段的和差关系，勾股定理即可得出结论； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1） 是等腰直角三角形，理由如下： 延长 交于点 ，如图： ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵ 为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形； （2）如图2，延长 交的延长线于点 ， ∵， ∴，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，即：， ∴ 为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）当点在线段上时，由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，由（2）可知：， ∴， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 27. 已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 轴于点 M，若满足 （a为常数）的点有且只有三个，求的值； （3）若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线 与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）①②是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由满足 的点有且只有三个，则的值为抛物线顶点到x轴的距离；进而得到的顶点坐标为，即； （3）①先求得；如图：过点 P作轴于点H，再证明，进而得到；设，则解得，再根据，解得 ，即点P的坐标为 ；②先运用待定系数法可得，进而可得；再求得直线 的解析式为，联立解得或 ，进而得到点D 的横坐标为，纵坐标为 ，然后求得 ，最后代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过两点， ，解得： ∴抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵满足 的点有且只有三个， ∴的值为抛物线顶点到x轴的距离， 由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴． 【小问3详解】 解：①由（1）知 将 代入 中，得： 解得： ∵点A在点B的左侧， ∴． 如图：过点 P作轴于点H， ， ， ∵轴，， ∴， ， ， ∵点P在第四象限的抛物线 上， ∴设 且均不为0， 化简可得 ∵P为第四象限内抛物线上一点， ∴，且， ∴，解得： ∵点 P在第四象限， ， 此时 ∴点P的坐标为 ②是定值． 设直线的解析式为， 将代入 中， 可得 ，解得： ∴直线的解析式为， 将 代入中，得， ∴． 设直线 的解析式为， 将代入 中， 可得 ，解得 ∴直线 的解析式为 联立 ，解得：或 ∴点D 的横坐标为，纵坐标为 ． ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识并掌握数形结合思想成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $