精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第十一教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2. 2026年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数据“2631.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. 2.6315×1010 C. 2.6315×1011 D. 3. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺（分别含 和角）按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中，的平分线交 于点，交 的延长线于点．若， ，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 鲁班锁是中国古代益智玩具，常见种类有鲁班球、好汉锁、梅花锁等．正面分别印有“鲁班球”“好汉锁”“梅花锁”图案的三张卡片如图所示，它们除正面外其他完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形 中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在 边上，且 ．若 ，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 某同学用如图1所示的电路来测量小灯泡的电功率．他闭合开关，将滑动变阻器滑片从最右端向左滑动，电流逐渐变大，直到灯泡两端电压达到额定值，根据记录的数据在同一平面直角坐标系中分别绘制了灯泡L和滑动变阻器的图象（如图2）．已知电源电压恒定不变（电源电压=灯泡L两端的电压+滑动变阻器两端的电压），则下列说法错误的是（ ） A. 电源电压为 B. 随着电流的增大，小灯泡L两端的电压逐渐变大 C. 当电流为 时，滑动变阻器．两端的电压大于小灯泡L两端的电压 D. 当电流为 时，小灯泡L两端的电压为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ___0．（填“”“”或“”） 12. 小成参加了“古韵今传，最美河南”的主题演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每项满分为10分．已知小成的“演讲内容”“语言表达”“演讲效果”三项得分分别是9分，9分，8分，则小成的最终得分为______分． 13. 已知关于x的不等式组的解集为，则a的值可以是____．（写出一个即可） 14. 如图，为的弦，为的切线，连接 交于点D，交于点E．若，的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 在中， ， ， ，以为边在右侧作 ，使 ．若 是等腰三角形且与 不平行，则线段 的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）+； （2） ． 17. 为促进教育与科技的深度融合，某校计划开展“人工智能进校园”活动，准备从两款机器人中选择一款用于教学和社团活动．为此，该校对这两款机器人的使用满意度（满分 分）以问卷的方式进行了市场调研．现从问卷中各随机抽取 份，对评分结果（单位：分）进行整理、描述和分析如下． 得分统计表 平均数 众数 中位数 方差 款机器人 款机器人 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _______， _______； （2）结合上述数据进行分析，你认为该校会选择哪款机器人？请说明理由． 18. 如图，在中， ，D是边上一点． （1）尺规作图：作 ，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 ，若，求 的长． 19. 定义：如图，在平面直角坐标系中， 为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴， 轴，垂足分别为．若四边形 的周长与其面积相等，则称点 为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点” 在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为 上一点，以为边作正方形 ，若点在反比例函数 的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 20. 为助力乡村振兴发展特色农产品产业，某合作社购进我省伏牛山区出产的甲、乙两种干货作为特产礼盒销售，已知购进2盒甲种特产和1盒乙种特产共需125元；购进5盒甲种特产和3盒乙种特产共需335元． （1）求甲、乙两种特产每盒的进价； （2）该合作社计划购进甲、乙两种特产共200盒，计划购进这批特产的总费用不超过8600元，且甲种特产的售价定为50元/盒，乙种特产的售价定为65元/盒．已知所进特产能全部售完，问如何进货才能使该合作社获利最大？并求出最大利润． 21. 数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一 如图1，小组成员在河边斜坡 上的点 处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡 的坡比为， ，，图中所有点均在同一竖直平面内，点 ，在同一水平线上． 方案二 如图2，小组成员将无人机从点 处竖直向上飞行至点 处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点 的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点 ，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度 ．（结果保留整数．参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ） 22. 如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 （1）根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ （2）求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 （3）若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为 的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 23. 在中， ， D为平面内一点，且与点B位于异侧，连接 ． （1）【特例感知】 如图1，若点D在线段的垂直平分线上，则的度数为_______． （2）【类比探究】 如图2，当点D不在线段的垂直平分线上时，的度数是否会改变？若不变，请给出证明过程；若变化，请说明理由． （3）【拓展应用】 若 ，将绕点C旋转得到，当所在直线经过点A时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负实数的绝对值越大，自身越小进行解答即可． 【详解】解：∵， ， 四个数中最小的数是． 2. 2026年河南外贸开局良好，一季度我省进出口额2631.5亿元，同比增长28.7%，继续稳居全国第一方阵．数据“2631.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. 2.6315×1010 C. 2.6315×1011 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：2631.5亿． 3. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形，只有A选项符合题意． 4. 将一副三角尺（分别含 和角）按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，标记点，， ． 由题意，知 ， ， ． 5. 化简的结果是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式的减法法则求解即可． 【详解】解： ． 6. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵ ，解得； B、 ，解得 ； C、 ，解得，； D、 ， ，故方程无实数根． 7. 如图，在平行四边形 中，的平分线交 于点，交 的延长线于点．若， ，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ，证明 求得，进而求得，根据角平分线的定义可得，结合平行线的性质可得 ，根据等角对等边，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ． ， ． ∵， ． 平分， ． ∵ ， ． ． ． 8. 鲁班锁是中国古代益智玩具，常见种类有鲁班球、好汉锁、梅花锁等．正面分别印有“鲁班球”“好汉锁”“梅花锁”图案的三张卡片如图所示，它们除正面外其他完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：将三张卡片从左到右依次记为A，B，C． 画树状图，如下： 由树状图，可知共有9种可能的结果，其中满足题意的结果有3种． P（两次抽取的卡片正面图案相同）． 9. 如图，在菱形 中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在 边上，且 ．若 ，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作，交BC的延长线于点H．设，则 ．先根据含30度的直角三角形性质得到 ， ．再利用线段和差关系得到 ，再利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则 ． 四边形 为菱形， ， ． ． ， ． ， ． ． 由折叠的性质，得 ． 在 中，，即， 解得（ 不合题意，已舍去）． ． 10. 某同学用如图1所示的电路来测量小灯泡的电功率．他闭合开关，将滑动变阻器滑片从最右端向左滑动，电流逐渐变大，直到灯泡两端电压达到额定值，根据记录的数据在同一平面直角坐标系中分别绘制了灯泡L和滑动变阻器的图象（如图2）．已知电源电压恒定不变（电源电压=灯泡L两端的电压+滑动变阻器两端的电压），则下列说法错误的是（ ） A. 电源电压为 B. 随着电流的增大，小灯泡L两端的电压逐渐变大 C. 当电流为 时，滑动变阻器．两端的电压大于小灯泡L两端的电压 D. 当电流为 时，小灯泡L两端的电压为 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题图2，可知当滑动变阻器两端的电压为 时，小灯泡L两端的电压为，故电源电压，故选项A说法正确． 由题图2，可知随着电流I的增大，小灯泡L两端的电压U逐渐变大．故选项B说法正确． 由题图2，可知当电流为 时，滑动变阻器两端的电压小于小灯泡L两端的电压．故选项C说法错误． 由题图2，可知当电流为 时，滑动变阻器两端的电压为，则小灯泡L两端的电压=．故选项D说法正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ___0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴，可知， ．故． 12. 小成参加了“古韵今传，最美河南”的主题演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每项满分为10分．已知小成的“演讲内容”“语言表达”“演讲效果”三项得分分别是9分，9分，8分，则小成的最终得分为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法计算，即可求解． 【详解】解：由题意，得小成的最终得分为 （分）． 13. 已知关于x的不等式组的解集为，则a的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0 【解析】 【详解】解：关于x的不等式组的解集为 ， ∴ a的值可以是0（答案不唯一）． 14. 如图，为的弦，为的切线，连接交于点D，交于点E．若，的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接．先利用切线的性质、等边对等角以及等量代换得到 ；再利用圆的性质以及勾股定理求得 ，进而得到． ，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，连接． 为的切线， ． ． ， ． ． ， ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 15. 在 中， ， ， ，以为边在右侧作 ，使 ．若 是等腰三角形且与 不平行，则线段 的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】先根据已知求得，再分三种情况讨论当时，当时，当 时，分别画出图形，进行计算即可求解． 【详解】解：如解图1，过点作 于点， ， ， ． ， ． ． 分三种情况讨论：①如图1，当时， ， ． ，即， 解得． ②如图2，当时， ． ． 过点 分别作 ，，垂足分别为，，则 ． ， ， 解得． ． ． ． ③如解图3，当 时， ． ． ，不符合题意． 综上所述， 的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）+； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为促进教育与科技的深度融合，某校计划开展“人工智能进校园”活动，准备从两款机器人中选择一款用于教学和社团活动．为此，该校对这两款机器人的使用满意度（满分 分）以问卷的方式进行了市场调研．现从问卷中各随机抽取 份，对评分结果（单位：分）进行整理、描述和分析如下． 得分统计表 平均数 众数 中位数 方差 款机器人 款机器人 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______， _______； （2）结合上述数据进行分析，你认为该校会选择哪款机器人？请说明理由． 【答案】（1） （2）选择款机器人， 理由：款满意度评分的平均数（ 分）高于款（ 分）， 说明款的平均满意度更高； 同时款评分的方差（ ）小于款（ ）， 说明款的满意度更稳定，因此选择款． 【解析】 【分析】（ ）先统计款机器人各得分的人数，找出出现次数最多的得分得到众数；再统计款机器人各得分的人数，确定排序后第 个数据，计算其平均数得到中位数 ； （）对比两款机器人的平均数、方差，款均值更高、方差更小，综合选定款． 【小问1详解】 解：据统计图，款机器人各得分人数为： 分人、分人、分人、 分人， ∵ 分出现次数最多， ∴众数 ∵一共抽取 份评分， ∴中位数是排序后第 个数据的平均数， ∵款各得分人数为： 分人、分人、分人、 分人， ∴排序后第 个数据是，第 个数据是， ∴中位数 ； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中， ，D是边上一点． （1）尺规作图：作 ，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 ，若，求 的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）作 的垂直平分线，与的交点为点，再以 的长为半径画圆，与交于点即可； （2）先得到，再通过等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 为的直径， ．直径所对的圆周角为 ， ， ． 为等腰直角三角形． ， ． 19. 定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴， 轴，垂足分别为．若四边形 的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点” 在反比例函数 的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）若为 上一点，以为边作正方形 ，若点在反比例函数 的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】（1） （2）点D的坐标为，点为“等和积点” 【解析】 【分析】（ ）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， 解得 ， ， 点在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 解：设点的纵坐标为 ， 四边形 为正方形， ． 点的横坐标为 ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 20. 为助力乡村振兴发展特色农产品产业，某合作社购进我省伏牛山区出产的甲、乙两种干货作为特产礼盒销售，已知购进2盒甲种特产和1盒乙种特产共需125元；购进5盒甲种特产和3盒乙种特产共需335元． （1）求甲、乙两种特产每盒的进价； （2）该合作社计划购进甲、乙两种特产共200盒，计划购进这批特产的总费用不超过8600元，且甲种特产的售价定为50元/盒，乙种特产的售价定为65元/盒．已知所进特产能全部售完，问如何进货才能使该合作社获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）甲种特产每盒的进价为40元，乙种特产每盒的进价为45元 （2）购进甲种特产80盒，乙种特产120盒时，该合作社获利最大，最大利润为3200元 【解析】 【分析】（1）设甲种特产每盒的进价为x元，乙种特产每盒的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设购进甲种特产a盒，则购进乙种特产盒，根据题意列出不等式，求得的范围，设销售利润为W元，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种特产每盒的进价为x元，乙种特产每盒的进价为y元． 根据题意，得 解得 答：甲种特产每盒的进价为40元，乙种特产每盒的进价为45元． 【小问2详解】 设购进甲种特产a盒，则购进乙种特产盒． 根据题意，得 ， 解得 ． 设销售利润为W元． 则 ． ， W随a的增大而减小． 当a取最小值，即时，W有最大值，最大值为 ． 此时 ． 答：购进甲种特产80盒，乙种特产120盒时，该合作社获利最大，最大利润为3200元． 21. 数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一 如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为， ，，图中所有点均在同一竖直平面内，点 ，在同一水平线上． 方案二 如图2，小组成员将无人机从点 处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点 的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点 ，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度 ．（结果保留整数．参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ） 【答案】选择方案一，河流的宽度 约为 【解析】 【分析】（1）选择方案一：延长交 于点，则．根据斜坡的坡比为，设 ，则 ．根据，求得 ，进而可得的长，在 中，设，则 ，根据 建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作 于点，则四边形 为矩形，依题意， ， ，解 ， 分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交 于点，则． 斜坡的坡比为， 设 ，则 ． ，， 解得 （负值已舍去）． ， ． ． 设，则 ． 在 中， ， ， ， 解得． 答：河流的宽度 约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作 于点，则四边形 为矩形 依题意， ， ． ． 在 中， ． 在 中， ． ． 答：河流的宽度 约为． 22. 如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 （1）根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ （2）求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 （3）若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为 的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】（1）8，1000 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取 ，代入可求；取 ，代入，可求； （2）由（1）知 ，求出，消去即可； （3）把 代入二次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：把 ，代入得 ； 把 ，代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知 ，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． 【小问3详解】 解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当 ，即 ，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是 ． 23. 在 中， ， D为平面内一点，且与点B位于异侧，连接 ． （1）【特例感知】 如图1，若点D在线段的垂直平分线上，则的度数为_______． （2）【类比探究】 如图2，当点D不在线段的垂直平分线上时，的度数是否会改变？若不变，请给出证明过程；若变化，请说明理由． （3）【拓展应用】 若 ，将绕点C旋转得到，当所在直线经过点A时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）的度数不变，如图1，过点B作 ，交DC的延长线于点E． ， ． ， ． ． ， ． ． （3）或 【解析】 【分析】（1）证明垂直平分，得 ，求出 ； （2）过点B作 ，交DC的延长线于点E，根据证明 ，得 ，从而可得 ； （3）分的延长线经过点和的延长线经过点两种情况，画出图形，运用勾股定理可解答． 【小问1详解】 解：∵在 中， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵点D在线段的垂直平分线上，， ∴垂直平分， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ． 由（2），知 ， ∵，， ． 由旋转得： ，， ， 分两种情况： 情形1：如图，的延长线经过点时，过点 作于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 情形2：的延长线经过点时，过点 作于点， 同理得：，， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $