精品解析：吉林省松原市滨江中学2025-2026学年九年级中考前模拟预测数学试题

九年级第五次模拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意，支出元可记为，获得 元收入可记为 ， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 2. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交， ，那么的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可得到答案. 【详解】解：∵， ， ∴. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的减法、除法，及完全平方公式和幂的乘方公式分别计算并判断即可得到答案． 【详解】解：A.，故该项错误； B.，故该项错误； C.，故该项正确； D.，故该项错误． 5. 如图，将 沿方向平移 得到，连接．如果四边形的周长为，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的性质可知， ，，再结合四边形的周长求出 ，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知， ，， 四边形的周长为 ， ， ， ，即 的周长为 ． 6. 如图， 为 的弦，分别以点A，B为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交优弧于点C，连接 ， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图得出是 的垂直平分线，因此， 为等腰三角形；利用 ，算出；根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得；结合等腰三角形性质，算出底角． 【详解】解：连接 ， 由尺规作图可知，直线是线段 的垂直平分线 经过圆心，且点在直线上 ，即 为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ， ， 是圆周角，是圆心角，它们都对应弧 ， ， 在 中，，且 ， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 8. 不等式组的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键． 【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为， 故答案为：． 9. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点 、点 分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点 的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 是解题的关键． 【详解】解：∵两个气球恰好是位似图形，位似中心为点，位似比是，， 则点 的对应点 的坐标为，即． 10. 如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点 ，点在 轴正半轴上，连接 ．若点是 的中点， 的面积为8，则 的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求得，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵轴，点是 的中点， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第三象限， ∴ ． 11. 如图，已知正方形 的边长为4，为边的中点，以 为圆心， 长为半径作圆心角为的扇形，以 长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】用扇形 的面积减去的面积和半圆 的面积即可． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵为边的中点， ∴ ， ∴ ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到最简结果，然后把m的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 13. 如图，从昆明市到大理市有、、三条路线，其中路线的路程最短；从大理市到丽江市有、两条路线，其中路线的路程最短． （1）任选一条路线从昆明市到大理市，选到路线的概率是__________； （2）从昆明市经过大理市到达丽江市，请用列表或画树状图的方法求所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可； 【小问1详解】 解：由题意，选到路线的概率是； 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的结果只有1种， ∴. 14. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． 【答案】 甲种汴绣工艺品每件售价为200元，乙种汴绣工艺品每件售价为500元. 【解析】 【分析】先设出甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价，再根据题干给出的两种营收条件列出方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：设甲种汴绣工艺品每件的售价为 元，乙种汴绣工艺品每件的售价为元， 根据题意得 解得 答：甲种汴绣工艺品每件售价为200元，乙种汴绣工艺品每件售价为500元． 15. 如图， 与相交于点， ， ，求证：． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在 和中， ， ∴． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、 、均在格点上，点 在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中找一格点，使 是直角三角形； （2）在图②中找一格点 ，使是等腰三角形； （3）在图③中找一点，使点到 和 的距离相等． 【答案】（1）如图 即为所求；（答案不唯一） （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，作 ，即可； （2）根据网格特点，作点 关于过点的竖直格线的对称点即为点 ，连接 即可； （3）在 上取点，使 ，连接，取的中点，连接，三线合一得到平分 ，进而得到点到 和 的距离相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）50，84 （2） （3）162人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，从频数分布表和扇形统计图获得信息是解题的关键． （1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量，再根据平均数的定义计算B组平均数即可； （2）根据中位数的定义得到该中位数位于B组第13、14个成绩，据此解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩80分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为： ， 组15个成绩的平均数为分； 【小问2详解】 解：由（1）知，本次样本容量为50， 则A组人数为：人，B组人数15人， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是第25个、26个， 则中位数位于B组第13、14个成绩， 因此，本次被抽取的所有成绩的中位数为：分； 【小问3详解】 解：人， 答：估计本次竞赛的获奖人数为162人． 18. 2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿 直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身 垂直于大腿 ，即 于点 ，， 于点． 是机器人小腿上踢后与大腿 在同一直线的瞬间．（这里的小腿， 都包括脚面部分，上身 包括头部部分）．已知 ， ， ，求： （1） ______； （2）点 距离地面的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ．） 【答案】（1） （2）点 距离地面的高度约为 【解析】 【分析】（1）过点作 ，可得 ，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）过点 作 交 的延长线于 ，可得 ，解直角三角形可得 ，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作 ， ， ， ， ， ， ∵ ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点 作 交 的延长线于 ， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为 ． 19. 如图，在 中，，，， 为的中点，点 从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点 运动，点 从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线 向终点运动， 、 两点同时出发，当点 停止运动时，点 也随之停止运动，设点 的运动时间为 秒． （1） ______； （2）当 时，求 的值； （3）过点 作 于点，以、 为邻边作矩形 ，设矩形 与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与 之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3）当时， ；当 时， ；当时，；当 时， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理算出， （2）根据点 从点出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度向终点 运动，点 从点出发以每秒个单位长度的速度运动，得出 ，又因为 ，故 ，则，即可作答． （3）要结合题意，进行逐个情况作图，运用数形结合思想以及面积计算方式进行列式，即可作答． 【小问1详解】 解：在 中，，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵点Q从点C出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴ ， ， 当 时， 则 ∴ ， ∴， ， ∴ 【小问3详解】 解：由（2）得，当 时， ， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形 ． ∵在 中，，，， ∴， 则， ∴ ， 则 ． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线 向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止运动时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴ ， ②当 时，如图2， ， 则 ∴ ； 当 时， 则 ， 则； ③当时，如图3，重叠部分是五边形 ． 则 ， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为 的中点，点Q从点C出发，沿 方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④当 时，如图4， 则 20. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻 （单位： ）与温度 （单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表： 10 15 20 25 ．．． 8 9.5 11 12.5 ．．． （1）求 关于 的函数表达式； （2）当温度为时，求该导体的电阻． 【答案】（1） （2）当温度为时，该导体的电阻为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，正确求出一次函数的解析式是解决此题的关键． （1）设 关于 的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设 关于 的函数表达式为， 将和分别代入 关于 的函数表达式得 解得， 关于 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 答：当温度为时，该导体的电阻为． 21. 如图在四边形 中，点E是直线 上一点，将射线绕点A逆时针旋转 交直线于点F． （1）如图①．若四边形 为菱形， ，则与 之间的数量关系是________； （2）如图②，若四边形 为正方形，，连接，当点E在 的延长线上时，试猜想线段 与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形 为正方形，，连接，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解： ，证明如下： 如图：在 上取点，使得 ，连接， ∵四边形 是正方形， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴ ． 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ，即 ． （3）或10 【解析】 【分析】（1）如图，连接 ，根据菱形的性质得出 是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在 上取点，使得 ，连接，根据条件证明 ，得出 ，再证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当点E在线段 上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ， ∵四边形 为正方形，， ， 又 ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在 延长线上时，取的中点G，连接， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中，由勾股定理得，即， 解得∶ ． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为．点 为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； （3）当轴时，求点 到直线 的距离； （4）当时，设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ， ，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，得出二次函数的对称轴为直线 ，二次函数的开口向下，从而可得点关于对称轴对称的点为，再结合题意即可得解； （3）由轴，得出点 、 关于直线 对称，从而得出，，由勾股定理可得，设点 到直线 的距离为 ，再由等面积法计算即可得解； （4）过点 作轴交抛物线于点，此时点与点 关于直线 对称，则，分三种情况：当时，最高点为点 ，最低点为点 ，则， ；当时，最高点为顶点，最低点为点 ，则， ；当时，最高点为点，最低点为点 ，则，；分别结合计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线 ，二次函数的开口向下，顶点为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵点，均在抛物线上，且， ∴的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵轴， ∴点 、 关于直线 对称， ∵， ∴，， ∴， 设点 到直线 的距离为 ， ∵， ∴， 即点 到直线 的距离为； 【小问4详解】 解：如图，过点 作轴交抛物线于点，此时点与点 关于直线 对称， ， 则， 当时，最高点为点 ，最低点为点 ， ∵设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最高点为顶点，最低点为点 ， ∵设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ， ， ∴， ， ∵， ∴符合题意； 当时，最高点为点，最低点为点 ， ∵设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ， ， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性质，将二次函数的解析式化为顶点式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第五次模拟测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交， ，那么的度数为（ ）. A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将 沿方向平移 得到，连接．如果四边形的周长为，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为 的弦，分别以点A，B为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交优弧于点C，连接， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 8. 不等式组的解集为______． 9. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点 、点 分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点 ，位似比是，则的对应点 的坐标是__________． 10. 如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点 ，点在 轴正半轴上，连接．若点 是 的中点， 的面积为8，则 的值为________． 11. 如图，已知正方形的边长为4，为边的中点，以 为圆心， 长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 13. 如图，从昆明市到大理市有、、三条路线，其中路线的路程最短；从大理市到丽江市有、两条路线，其中路线的路程最短． （1）任选一条路线从昆明市到大理市，选到路线的概率是__________； （2）从昆明市经过大理市到达丽江市，请用列表或画树状图的方法求所走的两段路线恰好都是路程最短的路线的概率． 14. 汴绣是国家级非物质文化遗产之一，某特产专卖店售卖甲、乙两种汴绣工艺品，已知售出2件甲种汴绣工艺品和1件乙种汴绣工艺品共营收900元，售出1件甲种汴绣工艺品和2件乙种汴绣工艺品共营收1200元．求甲、乙两种汴绣工艺品每件的售价． 15. 如图，与相交于点 ， ， ，求证：． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、 、均在格点上，点在格线上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中找一格点，使 是直角三角形； （2）在图②中找一格点 ，使是等腰三角形； （3）在图③中找一点，使点到 和 的距离相等． 17. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 18. 2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身 垂直于大腿，即 于点 ，， 于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身 包括头部部分）．已知 ， ， ，求： （1） ______； （2）点 距离地面的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ．） 19. 如图，在 中，，，， 为的中点，点 从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点 运动，点 从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线 向终点运动， 、 两点同时出发，当点 停止运动时，点 也随之停止运动，设点 的运动时间为 秒． （1） ______； （2）当 时，求 的值； （3）过点 作 于点，以、 为邻边作矩形 ，设矩形 与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与 之间的函数关系式． 20. 在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻 （单位： ）与温度 （单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表： 10 15 20 25 ．．． 8 9.5 11 12.5 ．．． （1）求 关于 的函数表达式； （2）当温度为时，求该导体的电阻． 21. 如图在四边形中，点E是直线 上一点，将射线绕点A逆时针旋转 交直线于点F． （1）如图①．若四边形为菱形， ，则与 之间的数量关系是________； （2）如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在 的延长线上时，试猜想线段 与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，连接，当 时，请直接写出的长． 22. 如图在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为．点 为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，均在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； （3）当轴时，求点 到直线 的距离； （4）当时，设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ， ，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $