精品解析：上海市竹园中学（五四制）2023-2024学年八年级上学期第四次练习数学试题

初二数学练习 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】A. ，故不是最简二次根式，故A不符合题意； B. ，故不是最简二次根式，故B不符合题意； C. 是最简二次根式，故C符合题意； D. ，故不是最简二次根式，故D不符合题意. 故选C. 【点睛】此题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键. 2. 一元二次方程中，若与 异号，根的情况是（ ） A. 有两个不同的实数根 B. 有两个相同的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与△的关系判断即可. 【详解】解：∵一元二次方程中，若与 异号， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴此一元二次方程有两个不同的实数根. 故选A. 【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的个数，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键. 3. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出各选项的逆命题，再结合初中几何知识判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：A、原命题为等腰三角形的底角相等，逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，根据等腰三角形判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意； B、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，对应角相等的两个三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，此逆命题是假命题，符合题意； C、原命题为面积相等的两个三角形一定是全等三角形，逆命题为“全等的两个三角形面积一定相等”，此逆命题是真命题，不符合题意； D、原命题为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，根据线段垂直平分线的判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意． 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 5. 如图，等腰三角形的周长为21，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质可得，最后由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，底边，周长为21， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴的周长为13． 6. 在等边 所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A. 3 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． ①如图所示，当点P在三角形的内部时，点P到 的三个顶点的距离相等；②如图所示，当P在 的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可． 【详解】解：①当点P在三角形的内部时，点P是边、 、的垂直平分线的交点，如图点． ②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有3个，如图，点，共9个． 综上，具有这样性质的点P共有10个． 故选：D． 二、填空题 7. 当 _____时，在实数范围内有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，据此列出一元一次不等式，求解不等式即可得到 的取值范围. 【详解】解：由题意得， 解得. 8. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 的倒数是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据倒数的定义写出所求表达式，再利用平方差公式进行分母有理化化简即可得到结果． 【详解】解：的倒数是： ． 10. 一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到 的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 11. 在实数范围内分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】可将x2-2x先配成一个完全平方式，再应用平方差公式进行分解即可. 【详解】原式= 故填： 【点睛】本题考查配方法的应用，用平方差公式因式分解.能想到分组因式分解是解决此题的关键. 12. 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【解析】 【分析】设该小组共有 人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有 人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 13. 底边为已知线段 的等腰三角形的顶点A的轨迹是_____． 【答案】底边 的垂直平分线（除底边中点外） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键． 由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案． 【详解】在已知线段 的等腰三角形中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边 的垂直平分线上． 故答案为：底边 的垂直平分线（除底边中点外）． 14. 如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于__________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE=BE． ∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18． 又∵BC=8， ∴AC=10（cm）． 故答案为10． 15. 如图，中，，， 是的角平分线，于点 ，若，则的面积为__________． 【答案】36 【解析】 【分析】如图（见解析），由角平分线的性质可得，再根据即可得． 【详解】如图，过点D作 由题意得， 是的角平分线 故答案为：36． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题关键． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_____． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出∠ABE，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=（180°-∠A）=×（180°-36°）=72°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=36°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°． 【点睛】考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质． 17. 如图， 的外角和的平分线相交于点 ，于点 ，且，若 的周长为，，则 的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点 作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点 作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点 ， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵ 的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴ 的面积为， 故答案为：6． 18. 在 中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理计算求解. 【详解】解：分两种情况讨论： 如图1： 边的垂直平分线交于 ，边的垂直平分线交于 ， ，， ，， ， ， 又在 中， 将代入得 解得 如图2： 同理可得，，即， 此时，即 又 将代入得 解得，即； 综上，的度数为或. 三、简答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，结合分母有理化性质化简，再运用加减，即可作答． 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解： 解得： 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键. 21. 在实数范围内分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】首先将原式等于，解关于 的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解令， ， ， 解得，， ． 22. 先化简：，再求当，时的值． 【答案】原式，当，时，原式 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式． 四、解答题 23. 如图，四边形中，， 边的垂直平分线经过点 ，求证：点 在 的垂直平分线上． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】连接AC，根据垂直平分线的性质求得AB＝AC，进而求得AC＝AD，根据垂直平分线性质定理的逆定理即可证得结论． 【详解】连接， ∵垂直平分 ，∴ ． ∵，∴．∴点 在 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，作出辅助线构建等腰三角形是本题的关键． 24. 如图，已知∠AOB与点M、N求作一点P，使点P到边OA、OB的距离相等，且PM=PN（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，它们的交点即是要求作的点P. 【详解】解：①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P． 点P即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作法，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作图步骤是解答本题的关键. 25. 如图，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】证明：如解图，连接， 在和中，， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 五、综合题 26. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点B作交y轴于点E． （1）如图1，若点C的坐标为，试求点E的坐标； （2）如图2，若点C在x轴正半轴上运动，当时，求证：； （3）若点C在x轴上运动，且不与点B点O重合，能否求出的度数，能的话直接写出其度数，不能的话请写不能即可． 【答案】（1） （2）证明：过点O作，在 上截取一点G，使得，如图所示： 由（1）可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴点O在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）能求出的度数，或 【解析】 【分析】（1）由，，得，根据同角的余角相等得，可证明，得，则问题可求解； （2）过点O作，在 上截取一点G，使得，由（1）可得，，，，则有，然后可得，则可证，进而可得，最后根据线段的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当点C在x轴的正半轴上，且时，②当点C在x轴的正半轴上，且时，③当点C在x轴的负半轴上，且，④当点C在x轴的负半轴上，且，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可分： ①当点C在x轴的正半轴上，且时，如图，过点O作， 由（1）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点O在的角平分线上， ∴； ②当点C在x轴的正半轴上，且时，如图，过点O作， 同理可得：，点O在的角平分线上， ∴； ③当点C在x轴的负半轴上，且，如图， 同理可得； ④当点C在x轴的负半轴上，且，如图， 同理可得：， ∴． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程中，若与异号，根的情况是（ ） A. 有两个不同的实数根 B. 有两个相同的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角相等； B. 全等三角形的对应角相等； C. 面积相等的两个三角形一定是全等三角形； D. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，等腰三角形的周长为21，底边， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A. 3 B. 7 C. 8 D. 10 二、填空题 7. 当 _____时，在实数范围内有意义． 8. 化简：_____． 9. 的倒数是_____． 10. 一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 11. 在实数范围内分解因式：______. 12. 某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 13. 底边为已知线段 的等腰三角形的顶点A的轨迹是_____． 14. 如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于__________ 15. 如图，中，，，是的角平分线，于点 ，若，则的面积为__________． 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为_____． 17. 如图，的外角和的平分线相交于点 ，于点 ，且，若的周长为，，则的面积为______． 18. 在中，边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，连接，，则的度数为_____． 三、简答题 19. 计算： 20. 解方程： 21. 在实数范围内分解因式：． 22. 先化简：，再求当，时的值． 四、解答题 23. 如图，四边形中，， 边的垂直平分线经过点，求证：点在的垂直平分线上． 24. 如图，已知∠AOB与点M、N求作一点P，使点P到边OA、OB的距离相等，且PM=PN（保留作图痕迹，不写作法） 25. 如图，于点E，于点F，求证：． 五、综合题 26. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点B作交y轴于点E． （1）如图1，若点C的坐标为，试求点E的坐标； （2）如图2，若点C在x轴正半轴上运动，当时，求证：； （3）若点C在x轴上运动，且不与点B点O重合，能否求出的度数，能的话直接写出其度数，不能的话请写不能即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $