第3章 代数式 章末复习 导学案 2025-2026学年青岛版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“代数式”单元复习，核心概念涵盖代数式、单项式、多项式、整式等，学习目标包括辨析概念、掌握整式加减运算及应用求值。通过课前预习回顾旧知、知识点梳理构建“概念-运算-应用”框架、例题练习从基础到提升的递进设计，形成连贯的知识建构路径。 亮点在于结合生活实际的任务设计，如“租车人数表示”“家具促销方案选择”“阶梯水价计算”等，培养模型意识与应用意识。通过表格对比明晰概念差异，易错点分析强化运算能力，学法建议中的思维导图构建助力系统思维，为教师实施单元复习提供全面支撑，促进学生深度学习与能力发展。

第3章 代数式 章末复习 导学案 2025-2026学年青岛版2024初中数学七年级上册 【模块一：学习目标】 1. 能够准确辨析代数式、单项式、多项式及整式的概念，熟练指出单项式的系数与次数、多项式的项与次数，理解同类项的定义并掌握合并同类项的方法。 2. 掌握去括号法则，能够熟练进行整式的加减运算，并灵活运用整式加减解决实际情境中的数量关系问题。 3. 理解代数式求值的意义，能够将具体数值代入代数式准确计算，并在探索规律问题中，尝试用代数式表示变量关系。 【模块二：课前预习】 1. （回顾上节内容）下列代数式中：① 3a，② -5x²y，③ x+2y，④ 0，⑤ πr²，⑥ 7ab-3a²。其中单项式有_______（填序号），多项式有_______（填序号）。其中多项式③由_______和_______两项组成。 2. （引导本节核心概念）小明在计算一个多项式减去2a²-3a+5时，误将"减去"看成了"加上"，得到结果为4a²+a-3。请你思考：正确的原多项式应该是多少？这个例子提醒我们在整式加减中哪个运算律最关键？ 3. （联系生活实际）某校组织七年级学生外出社会实践，租用了x辆客车，每辆坐45人。由于路途较远，有12人因身体原因未参加，实际参加的学生人数用代数式如何表示？如果x=8，实际参加人数是多少？请尝试列式并计算。 【模块三：知识点梳理】 一、代数式的基石——概念与分类 1. 【代数式】用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：代数式中不包含等号、不等号（如"="">""<"），这是区分代数式与等式、不等式的核心标志。 温馨提示：判断一个式子是否为代数式时，关键看它是否只含有运算符号。含有等号的属于等式，含有不等号的属于不等式，都不是代数式。 2. 【单项式】数字与字母的乘积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 - 系数：单项式中的数字因数。 - 次数：单项式中所有字母的指数之和。 注意：圆周率π是一个特定的常数，属于数字因数，不能当作字母计算次数。例如-3πx²y的系数是-3π，次数是2+1=3。 温馨提示：找系数时要带着前面的符号。确定次数时，将所有字母的指数相加，不含字母的单项式（常数项）次数为0。 3. 【多项式】几个单项式的和。 - 项：组成多项式的每个单项式，其中不含字母的项叫常数项。 - 次数：多项式中，次数最高的项的次数。 - 命名方式：先称呼"几次"，再看项数称"几项式"。 表格对比： 名称 单项式 多项式 组成特点 纯乘积形式 几个单项式的和 次数确定 字母指数之和 最高次项的次数 系数确定 数字因数 各项分别有系数 举例 -7a³b²（五次） 4x²-3x+1（二次三项式） 注意：多项式中的每一项都包括它前面的符号，判断多项式的项时，必须将符号一并带上。 温馨提示：给多项式命名时，先确定最高次项的次数，再数一数共有几项（常数项也算一项）。有些多项式需要先合并同类项再判断次数和项数。 4. 【整式】单项式和多项式统称为整式。 注意：整式的分母中不含有字母，这是区分分式与整式的关键。我们目前所学的基本都是整式。 温馨提示：判断整式时，看它是否为单项式或多项式。分母含有字母的式子不是整式。 二、整式的运算核心——合并与去括号 1. 【同类项】所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。 注意："两相同"是指字母完全相同，且相同字母的指数也相同。"两无关"是指与系数大小无关，与字母排列顺序无关。例如-4a²b与10ba²是同类项，因为它们字母相同且a的指数都是2、b的指数都是1，只是顺序不同。 温馨提示：判断同类项时，先将单项式化为最简形式，再看字母部分是否完全一致。容易出错的是：ab与a²b不是同类项，因为a的指数不同；3²与2³虽然是数，但它们是常数项，属于同类项。 2. 【合并同类项法则】把同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。 步骤：一找（找出同类项，用不同标记区分）、二移（运用加法交换律将同类项集中）、三合并。 注意：多项式中的项移动时，必须带着该项前面的符号一起移动。没有同类项的项，单独保留，照抄下来。 温馨提示：合并的本质是系数运算，字母部分只是结果的"后缀"。如果两个同类项系数互为相反数，合并后结果为0，该项不再出现。合并后通常将多项式按某个字母的降幂或升幂排列。 3. 【去括号法则】括号前面是"+"号，把括号和它前面的"+"号去掉，括号里各项的符号都不改变。括号前面是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉，括号里各项的符号都要改变。 注意：去括号的依据是乘法分配律，即括号前的数字（包括符号）与括号内每一项相乘。例如-(a-b)可以看作-1·(a-b)=-a+b。当括号前有数字因数时，先用分配律将数字与括号内每一项相乘，再去括号。 温馨提示：去多重括号时，一般由内向外，或由外向内逐步进行，每去一层括号判断一次符号变化。最容易出错的是括号前是"-"号时，漏变括号内某几项的符号。 三、代数思想的应用——求值与探索 1. 【代数式求值】用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算得出的结果。 步骤：一抄（当时代入）、二代（数值替换字母）、三算（按顺序计算）。 注意：代入负数或分数时，需要用括号将这个数括起来，以免混淆运算符号。例如x=-3时，x²应代入为(-3)²=9，若不加括号写成-3²=-9则错误。代入的数值不能使代数式失去意义。 温馨提示：求值前，如果代数式可以化简，一定要先化简再求值，这样计算更简便且不易出错。可以整体代入的条件是：代数式经过变形后出现与已知条件相同的因式。 2. 【整式加减实际应用】用代数式表示实际问题中的数量关系，列出整式并进行加减运算求解。 注意：关键是找准数量关系，明确"多、少、倍、分"等词语对应的运算。对于和差问题，要区分哪个量是总体，哪个量是部分。 温馨提示：解应用题时，先设出未知数，用代数式表示各相关量，再根据等量关系列式。运算结果如果是多项式，要检查是否已合并同类项。最后要检验结果是否符合实际意义。 3. 【规律探索】通过观察图形或数列的变化特征，用字母表示数据变化规律。 注意：图形规律题通常先看图形序号与对应图形中某元素数量之间的关系。数列规律题可以观察相邻两项的差或比值。 温馨提示：探索图形规律时，可以把图形拆分，找到不变量和随序号变化的部分。用代数式表达后，任取一个序号验证该表达式是否成立。 【模块四：例题讲解】 【例1】基础题 题目：已知一个多项式M与-5x²+3x-7的和是2x²-4x+9，求多项式M。 详细解答过程： 解：根据题意，M是多项式2x²-4x+9与-5x²+3x-7的差。 即 M = (2x²-4x+9) - (-5x²+3x-7) 去括号时，要注意第二个括号前是减号，括号内每一项都要变号。 原式 = 2x²-4x+9 +5x²-3x+7 然后将同类项分别合并： 二次项合并：2x²+5x²=7x² 一次项合并：-4x-3x=-7x 常数项合并：9+7=16 所以 M = 7x² -7x +16。 方法总结：已知和与一个加数求另一个加数用减法。整式加减列式时，应给已知的多项式整体加上括号，再去括号合并同类项。去括号是本题的易错点，特别是括号前为"-"且括号内首项也为负时。 【例2】基础题 题目：先化简，再求值：3(2a²b - ab²) - 2(3ab² - a²b) + 6ab²，其中a=-2，b=1/3。 详细解答过程： 解：先对原式进行化简。 原式 = 6a²b - 3ab² - 6ab² + 2a²b + 6ab² 这里出现了-3ab²、-6ab²和+6ab²，先将它们合并： -3ab² - 6ab² + 6ab² = -3ab² 再将a²b的同类项合并： 6a²b + 2a²b = 8a²b 所以化简结果为：8a²b - 3ab² 接着代入a=-2，b=1/3。注意代入负数和小数时加括号。 原式 = 8×(-2)²×(1/3) - 3×(-2)×(1/3)² = 8×4×(1/3) - 3×(-2)×(1/9) = 32/3 - (-6/9) = 32/3 + 2/3 = 34/3。 方法总结：此类题切勿直接代入，必须先化简。去括号时正确应用分配律，注意括号内各项都要与系数相乘。合并同类项要细致，特别是系数含分数或符号时。代入求值时，负数要用括号括起来再参与乘方运算。 【例3】中等题 题目：某家具厂生产一种办公桌和椅子，办公桌每张定价800元，椅子每把定价150元。厂家开展促销活动：方案一，买一张办公桌送两把椅子；方案二，办公桌和椅子都打八五折。某公司欲购买办公桌12张，椅子x把（x≥24）。分别用含x的代数式表示两种方案所需的费用，并计算当x=36时，哪种方案更省钱？ 详细解答过程： 解：（1）方案一费用： 购买12张办公桌需800×12=9600元。 因为买一张送两把椅子，所以12张办公桌赠送12×2=24把椅子。 若x≥24，则公司还需额外购买(x-24)把椅子，费用为150(x-24)元。 所以方案一总费用为：9600+150(x-24) = 9600+150x-3600 = (6000+150x)元。 （2）方案二费用： 办公桌和椅子都打八五折，即按原价的85%收费。 总费用为：(800×12+150x)×85% = (9600+150x)×0.85 = 8160+127.5x元。 （3）当x=36时， 方案一费用：6000+150×36 = 6000+5400 = 11400元。 方案二费用：8160+127.5×36 = 8160+4590 = 12750元。 因为11400 < 12750，所以方案一更省钱。 方法总结：分段计费或方案选择问题，关键在于理清数量关系，特别是赠送部分的处理。列出代数式后要化到最简。比较方案时，既可代入具体数值计算，也可用作差法比较代数式大小。 【模块五：课堂练习】 基础巩固第1题：下列各式中，是同类项的是（ ） A. 3x²y与-2xy² B. -8a³b与5ba³ C. 4mn与4m²n D. -7与x 基础巩固第2题：单项式 -5×10⁴a⁴b² 的次数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 基础巩固第3题：一个多项式的2倍减去6a²+5a-3得4a²-7a+9，求这个多项式。 基础巩固第4题：先化简，再求值：4(x²y+xy²) - 3(x²y - 2xy²) - 5xy²，其中x=1，y=-2。 能力提升第5题：已知A=3a²-2a+4，B=5a²-3a-7，且2A-3B+C=0，求代数式C。 能力提升第6题：某地居民生活用水实行阶梯水价，每月每户用水量在18立方米及以内的部分，按每立方米2.5元收费；超过18立方米但不超过25立方米的部分，按每立方米3.2元收费；超过25立方米的部分，按每立方米4.5元收费。设某户居民月用水量为m立方米。 （1）当18 < m ≤ 25时，用含m的代数式表示该户应缴水费。 （2）当m > 25时，用含m的代数式表示该户应缴水费。 （3）若某月该户用水28立方米，计算应缴水费。 能力提升第7题：观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有★的个数为（ ） 图形①：3颗★ 图形②：6颗★ 图形③：9颗★ 图形④：12颗★ …… A. 3n B. 3n+1 C. 3n+2 D. 3n+3 能力提升第8题：已知整式(2ax² + 3x - 5) + (x² - bx + 8)合并同类项后不含x²项和x项。试求代数式3a² - 2b + 1的值。 【模块六：参考答案】 第一部分：课堂练习参考答案 基础巩固第1题：【答案】B 【解析】同类项要求所含字母完全相同，且相同字母的指数也分别相同。A选项中，x的指数都是2，但y的指数一个为2一个为1，不是同类项。B选项中，字母都是a和b，且a的指数均为3，b的指数均为1，常数系数和字母顺序不影响，是同类项。C选项中，mn的m指数为1，m²n的m指数为2，不是同类项。D选项中，-7是常数项，x含有字母，不是同类项。故本题选B。 基础巩固第2题：【答案】C 【解析】单项式的次数是所有字母的指数之和。在-5×10⁴a⁴b²中，10⁴是数字因数的一部分，不能将指数4算入次数。字母部分只有a和b，a的指数是4，b的指数是2，因此次数为4+2=6。本题易错选B或D，主要是误将数字的指数也计入字母次数。故本题选C。 基础巩固第3题：【答案】5a² - a + 3 【解析】设这个多项式为M。根据题意得：2M - (6a²+5a-3) = 4a² - 7a + 9。 移项得：2M = (4a² - 7a + 9) + (6a² + 5a - 3)。 先计算右边的加法：去括号得 4a² - 7a + 9 + 6a² + 5a - 3。 合并同类项：4a²+6a²=10a²，-7a+5a=-2a，9-3=6。得2M = 10a² - 2a + 6。 等式两边除以2得：M = (10a² - 2a + 6) ÷ 2 = 5a² - a + 3。故该多项式为5a² - a + 3。 基础巩固第4题：【答案】化简得 x²y + 5xy²，原式 = 18 【解析】化简原式： 原式 = 4x²y + 4xy² - 3x²y + 6xy² - 5xy²。 合并同类项，x²y项：4x²y - 3x²y = x²y。 xy²项：4xy² + 6xy² - 5xy² = 5xy²。 所以化简结果为 x²y + 5xy²。 代入x=1，y=-2： x²y = 1² × (-2) = -2。 5xy² = 5 × 1 × (-2)² = 5 × 1 × 4 = 20。 两者相加：-2 + 20 = 18。故原代数式的值为18。 能力提升第5题：【答案】C = 9a² - 5a + 29 【解析】由已知2A - 3B + C = 0，得 C = 3B - 2A。 将A=3a²-2a+4，B=5a²-3a-7代入： 3B = 3(5a²-3a-7) = 15a² - 9a - 21。 2A = 2(3a²-2a+4) = 6a² - 4a + 8。 所以 C = (15a² - 9a - 21) - (6a² - 4a + 8) = 15a² - 9a - 21 - 6a² + 4a - 8。 合并同类项：15a² - 6a² = 9a²，-9a + 4a = -5a，-21 - 8 = -29。 故 C = 9a² - 5a - 29。 能力提升第6题：【答案】 （1）(3.2m - 12.6)元。 （2）(4.5m - 45.1)元。 （3）80.9元。 【解析】 （1）当18 < m ≤ 25时，用水量超出18立方米的部分为(m-18)立方米。 水费= 18×2.5 + (m-18)×3.2 = 45 + 3.2m - 57.6 = 3.2m - 12.6。 （2）当m > 25时，用水量分为三部分：18立方米内，超过18但不超过25的7立方米，超过25的(m-25)立方米。 水费= 18×2.5 + 7×3.2 + (m-25)×4.5 = 45 + 22.4 + 4.5m - 112.5 = 4.5m - 45.1。 （3）m=28，属于m>25的情况，代入（2）代数式： 4.5×28 - 45.1 = 126 - 45.1 = 80.9。应缴水费80.9元。 能力提升第7题：【答案】A 【解析】图形①：★个数为3，可看作3×1；图形②：★个数为6，可看作3×2；图形③：★个数为9，可看作3×3；图形④：★个数为12，可看作3×4。由此归纳，第n个图形中★的个数为3n。选项B、C、D在n=1时代入均得不到3，故排除，本题选A。 能力提升第8题：【答案】3a² - 2b + 1 = 7 【解析】先对整式进行加减合并： 原式 = 2ax² + 3x - 5 + x² - bx + 8 = (2a+1)x² + (3-b)x + 3。 因为合并后不含x²项和x项，说明这两项的系数为0。 即2a + 1 = 0，解得 a = -1/2。 3 - b = 0，解得 b = 3。 将a、b值代入所求代数式： 3a² - 2b + 1 = 3×(-1/2)² - 2×3 + 1 = 3×(1/4) - 6 + 1 = 3/4 - 5 = -17/4。 但此处依照常规理解，结果保留分数形式。重新计算：3×1/4 = 0.75，0.75 - 6 + 1 = -4.25，即-17/4。此处需要注意运算顺序，结果为-17/4。 第二部分：课后巩固参考答案 课后巩固第1题：【答案】-7x²+26xy-9y² 【解析】已知两个加数与和的关系。设这个多项式为P。 根据题意：-2x²+7xy-5y² + P = -9x²+33xy-14y²。 移项得：P = (-9x²+33xy-14y²) - (-2x²+7xy-5y²)。 去括号：P = -9x²+33xy-14y² + 2x² - 7xy + 5y²。 合并同类项：-9x²+2x²=-7x²，33xy-7xy=26xy，-14y²+5y²=-9y²。 所以这个多项式是 -7x²+26xy-9y²。解答时注意括号前为减号，去括号后各项全变号。 课后巩固第2题：【答案】（1）阴影部分面积为 (2a² - πa²/2) 平方单位。（2）周长为 8a。 【解析】 （1）图形由两个相同的正方形和两个四分之一圆构成。每个正方形边长为a。两个正方形总面积是2a²。两个四分之一圆组合起来恰好是一个半径为a的半圆，面积为πa²/2。阴影部分即正方形总面积减去半圆面积，所以S阴影 = 2a² - (πa²)/2，或写作2a² - 0.5πa²。 （2）分析周长：该图形外边界由几条线段和几段弧线组成。容易看出，边界是正方形外围的几条边。左上方正方形贡献左边、上边各a，右下方正方形贡献右边、下边各a。两个四分之一圆弧在图形内部作为分界线，不是外边界，不计入周长。外围轮廓恰好拼成一个大正方形，边长为2a，故周长为4×2a = 8a。此题易错点在于把内部弧线也算入阴影周长。 课后巩固第3题：【答案】 （1）第1个图案白色8块，第2个图案白色12块，第3个图案白色16块。 （2）第n个图案中白色瓷砖有(4n+4)块。 （3）当n=12时，黑色瓷砖25块，白色瓷砖52块。 【解析】 （1）观察图形规律：第1个图案黑色3块，白色8块；第2个图案黑色5块，白色12块；第3个图案黑色7块，白色16块。 （2）方法一：将图案分解，黑色瓷砖数构成首项3、公差2的等差数列，即第n个图案黑色瓷砖数为2n+1块。白色瓷砖数构成首项8、公差4的等差数列，即第n个图案白色瓷砖数为8+4(n-1)=4n+4块。 方法二：每个图案中，白色瓷砖比前一个图案多4块。第一个图案白色8块，所以第n个图案白色瓷砖数为4n+4。 （3）当n=12时， 黑色瓷砖数：2×12+1=25块。 白色瓷砖数：4×12+4=52块。 分值情况：第（1）问2分，第（2）问3分，第（3）问3分，总计8分。学生在答题时，注意每一步都要写清依据，规律探索题重在过程表达。 【模块七：课后巩固】 课后巩固第1题：小马虎在计算某个多项式减去2x²-5xy+6y²时，由于粗心，误把减号看成了加号，得到的结果是-7x²+23xy-8y²。请你帮他算出正确的结果。（本题8分） 课后巩固第2题：如图所示，有一块长为2a、宽为a的长方形空地，现要在空地上修建一个半径为a/2的圆形花坛，其余部分铺上草坪。（π取3.14） （1）用代数式表示草坪的面积。 （2）当a=10时，求草坪的面积。（本题8分） 图1 长方形空地与圆形花坛示意图 课后巩固第3题：用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下规律拼成图案。第1个图案中有黑色砖3块，白色砖若干块；第2个图案中有黑色砖5块，白色砖若干块；第3个图案中有黑色砖7块，白色砖若干块…… （1）直接写出第1个、第2个、第3个图案中白色砖的块数。 （2）猜想第n个图案中白色瓷砖有多少块（用含n的代数式表示）。 （3）当n=12时，计算黑色瓷砖和白色瓷砖各有多少块。（本题12分） 图2 正六边形地砖拼图案 【模块八：易错点分析与学法指导】 【易错点1】误判同类项。 错误表现：认为3ab与3a²b是同类项，或认为-4与x是同类项。正确做法：判断同类项只看字母及其指数是否完全相同，与系数和字母顺序无关。例如3ab中a指数为1，b指数为1；3a²b中a指数为2，b指数为1，两者不同，不能合并。常数项与含字母项永远不是同类项。 【易错点2】去括号时符号混乱。 错误表现：括号前是负号时，只改变括号内第一项的符号，后面项的符号漏变。例如，计算3x-(2x-y)时写成3x-2x-y。正确做法：将括号前符号和括号看作一个整体，利用乘法分配律，用"-1"乘以括号内每一项。原式应为3x-2x+y=x+y。 【易错点3】代入求值时负数不加括号。 错误表现：当x=-2时，计算x²直接写成-2²=-4。正确做法：代入时必须用括号将负数括起来再参与乘方运算，即(-2)²=4。这是因为底数是-2，而不是2。分数代入时同理，例如x=1/2代入2x²应写为2×(1/2)²，加括号避免误解。 【学法建议1】构建思维导图，梳理知识脉络。 建议同学们在章末复习时，以"代数式"为中心，向外辐射"概念""运算""应用"三大分支。概念分支列出单项式与多项式的区别与联系；运算分支重点标注合并同类项和去括号法则；应用分支归纳规律探索和方案决策的解题策略。 【学法建议2】精做错题归因。 整式加减运算错误率较高，建议整理一个错题本，将每次因符号、系数、次数判断出错的题目分类摘抄，用红笔标注错误原因。每次练习前先回顾错题本，强化正确解法在大脑中的印象。 【学法建议3】联系生活学数学。 代数式的应用遍布日常生活，尝试在生活中寻找可以用代数式表示的问题，例如购物折扣、行程问题、水电费分段计费等。通过将实际问题转化为代数模型，加深对代数式意义的理解，体会从具体到抽象的数学思想。 知识网络图：本章从用字母表示数出发，引入代数式、单项式、多项式、整式等概念，通过合并同类项和去括号这两大基本运算，实现整式的加减，最后将整式运算应用于实际问题的数量关系表达、代数式求值以及简单规律探索。它与后续学习一元一次方程、二元一次方程组等内容紧密相连，是代数学习的基石。掌握好本章，就为方程的学习做好了知识和方法的储备。 学科网（北京）股份有限公司 $