第三章 整式的乘除 期末复习卷 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以“运算法则-公式应用-几何直观-规律探究”为主线，系统整合整式乘除核心方法，通过典例提炼换元法、面积验证等解题技巧，培养运算能力与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本运算|选择1-4、填空11、解答17|积的乘方/多项式乘除法则直接应用|从同底数幂运算到整式乘除，构建基础运算体系| |公式应用|选择2、7、8、填空14、解答18-19|完全平方/平方差公式变形、整体代入|法则推导公式，公式解决系数求解、代数式求值问题| |几何与代数综合|选择5、10、填空15-16、解答21-22|图形面积表示、卡片拼图验证公式|代数公式与几何图形结合，体现数形结合思想| |规律探究|选择9、23、填空12|数式规律归纳、公式拓展应用|从特殊到一般，培养推理意识与创新意识|

2025学年七年级数学下学期期末复习卷 第三章 整式的乘除 （提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 3．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D． 6．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 8．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．计算：________． 12．已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6，则k的值是________． 13．若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 14．已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 15．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张． 16．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．计算： (1)； (2) 18．先化简，再求值：，其中与互为相反数． 19．如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 20．【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 21．为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 22．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长； (2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 23．教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________； (3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项． (4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B D D C D C 1．B 利用积的乘方的法则进行运算即可． 解： 2．C 解：∵ ∴， 3．B 根据三角形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可． 解：三角形的面积是． 4．B 本题考查了合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式． 根据合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式的运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确即可． 解：，故A选项错误． ，故B选项正确． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：B． 5．B 本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 解：如图， ∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， 设，，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 6．D 本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 7．D 本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 8．C 本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 9．D 根据规律，将原式变形后计算即可． 本题考查数式规律问题，平方差公式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 解： ． 10．C 本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 11． 本题考查了单项式乘单项式，正确计算是解题的关键．先根据积的乘方法则计算乘方项，再根据单项式乘单项式法则与同底数幂的乘法法则计算，得到最终结果． 解： ． 12．5 设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n，，，分别令和，得到，，根据题意，由列出方程求解即可． 解：设多项式除以所得的商为A，余数为m，该多项式除以所得的商为B，余数为n， 则，， 当时，，即， 当时，，即， ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少6， ∴，则， 解得． 13． 先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可． 解： 由①②得； 将代入，得； ， ， 则， ． 14．49 本题利用完全平方公式的变形，先结合已知条件求出的值，再对平方变形，代入已知条件即可求出目标代数式的值． 解：根据完全平方公式，可得 ． 将，代入上式，得 ， 整理得， 解得． 对平方，得 ， 整理得． 将，，代入上式，得 ， 即， 移项计算得． 15．15 先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片． 解：大长方形的面积， ∵C类卡片的面积是， ∴， ∴小明需要准备C类卡片15张． 16． 观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 17．(1) (2) （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项． （1）解： ． （2）解： ． 18．，1 先根据多项式乘多项式法则将所求式子展开，然后合并同类项，再根据相反数的定义得，然后根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组，再代值计算即可． 解： ， ∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴原式 ． ． 19．(1)B (2)36 (3) （1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）根据平方差公式求出，即可求解； （3）将式子中的4化为，运用平方差计算即可． （1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解： ． 20．(1) (2) 本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． （1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 21．(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． （1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 22．(1)， (2)100张 本题考查了完全平方公式的几何意义及应用，解题的关键是将卡片面积之和转化为完全平方式，从而确定大正方形的边长及所需卡片数量； （1）通过将卡片面积和表示为完全平方式，求出的值及大正方形边长； （2）通过设大正方形边长为（p，q为正整数），结合卡片数量限制，找到使面积最大的p，q组合，进而求出卡片总数． （1）解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为， ∵大正方形面积为完全平方式，且， ∴，此时大正方形边长为， 答：的值为，大正方形的边长为． （2）解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 由题意，，，，且， 要使面积最大，需最大，结合，优先增大， 时，，由得，取， 此时，，满足条件， 此时卡片总数为， 答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张． 23．(1) (2) (3) (4) （1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答； （4）根据（3）中规律作答即可． （1）解：由题意可知，； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； （3）解：，共有项， 共有项， 可知展开后合并同类项共项， ∴展开后合并同类项共项； （4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项． 学科网（北京）股份有限公司 $