第二讲 因式分解的拓展（二）-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第二讲 因式分解的拓展（二）（解析版） 4． 分组分解法 整式乘法有(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn, 反过来，自然就有了分解因式的方法： am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) 这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法. 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用 分组分解法来分解因式. 【例8】．（2025·甘肃白银模拟）【阅读学习】 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． 【学以致用】 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【拓展应用】 已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）； 【拓展应用】． 【详解】 （1） （2） 【拓展应用】 ∵，， 代入得：原式=． 将下列各式分解因式 （1）；（2）． 【答案】（1）原式= （2）原式= 【解析】（1）原式= ； （2）原式=． 【例9】分解因式： （1）；（2）． 解：（1） ===． 或＝＝＝ ＝＝． （2） = ==． 或 = ==． 【变式1】（1）；（2）． 【答案】（1）原式= （2）原式=． 【解析】（1）原式= （2）原式= ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西商洛·期末阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 五．换元法 换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化 【例10】．（2025·宁夏固原·八年级期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】(1)（1） (2)(3)见解析 【解析】(1)解：解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； (2)解：设， 则原式 ； (3)解：， 设， 则原式 ， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是非负数． 【变式1】 将下列各式分解因式 （1）； 【答案】原式= （2） 【解析】原式=． ． 【变式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1 【解析】（1）原式=； （2）原式= ． 六．配方法 【例题11】．（2025·四川成都七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请利用“配方法”进行因式分解： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)原式＝＝＝＝； (2) ＝＝． 七．因式分解的应用 【例题12】．（2025·甘肃兰州七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数能表示成（a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇德数”，（）与是的一个平方差分解． (1)判断 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P； (3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)k=-19 【解析】(1) 解∶∵，∴9是“明礼崇德数”； 故答案为：是 (2)解： ； (3)解： ∵是“明礼崇德数”， ∴19+k=0， ∴k=-19． 【例题13】．已知，，求的值． 【答案】 【解析】【分析】 先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】 解：∵， 又，， ∴，， ∴ 【变式1】．（1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】 （1）直接提公因式即可； （2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可． 【详解】 （1）原式= =x+1； （2）原式= ， 当时， 原式=． 【变式2】．（2024·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）． 即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21 仿照上述方法解答下列问题： (1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值； (2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝ ． 【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20 (1)解：（1）设另一个因式为x+m， 则2x2+3x—k＝（2x—1）（ x+m）， 即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m， 比较系数得：， 解得， ∴另一个因式为x+2，k的值为2； (2)解： 设另一个因式为（2x+m），由题意，得： 2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m）， 则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m， ∴， 解得， 故答案为：20． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第二讲 因式分解的拓展（二）（原卷版） 四、分组分解法 整式乘法有(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn, 反过来，自然就有了分解因式的方法： am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) 这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法. 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用 分组分解法来分解因式. 【例8】．（2025·甘肃白银模拟）【阅读学习】 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）；“两两分组” （2）．“三一分组” 【学以致用】 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1） ；（2）． 【拓展应用】已知：，．求：的值． 将下列各式分解因式 （1）；（2）． 【例9】分解因式： （1）；（2）． 【变式1】（1）；（2）． 【变式2】（24-25八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （2） 已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 五．换元法 换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化 【例10】．（2025·宁夏固原·八年级期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：多项式的值一定是非负数． 【变式1】 将下列各式分解因式 （1）；（2） 【变式2】（1）x6－7x3－8（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1 六．配方法 一个代数式不是完全平方式，但它可能有一部分是完全平方式.如下： (1)x²+2x+4=(x²+2x+1)+3=(x+1)²+3, (2)x²+y²+2x+4y+40=(x+1)²+(y+2)²+35. 将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和称为配方法 这里就用到了配方法.我们将多项式a²+ab+b² 看成关于a 的二次式(b 相当于常数),并将其配成 一个完全平方式与一个常量的代数和的形式，以方便发现和研究问题.此方法在研究二次函数的有关问题及高中化简曲线方程的过程中经常用到。 【例题11】．（2025·四川成都七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：＝＝＝＝，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请利用“配方法”进行因式分解： (1)；(2)． 七、添项与拆项 在分解因式时，有时需要对多项式的某些项作一些调整，常用的办法是添项或拆项. a²-b²=a²-ab+ab-b²=(a-b)(a+b) 就是添项，在原式中添加了-ab+ab(=0); x²+2x-3=(x²-x)+(3x-3)=(x-1)(x+3) 就是拆项，将原式中2x 拆为-x+3x. 无论哪种方法都是根据需要操作的，目的是使得新的多项式各个组之间含有公因式.添项时不可无中生有，要做到“有借有还”. 添项或拆项的方法并不是唯一的，比如，分解因式x³+2x²-5x-6. 拆二次项：原式=(x³+x²)+(x²-5x-6)=x²(x+1)+(x+1)(x-6)=(x+1)(x²+x-6)=(x+1) (x-2)(x+3). 拆一次项：原式=(x³+2x²-8x)+(3x-6)=x(x²+2x-8)+3(x-2)=x(x-2)(x+4)+3(x-2)= (x-2)(x²+4x+3)=(x+1)(x-2)(x+3). 拆常数项：原式=(x³+1)+(2x²-5x-7)=(x+1)(x²-x+1)+(x+1)(2x-7)=(x+1)(x²+x- 6)=(x+1)(x-2)(x+3). 拆二次项与一次项：原式=(x³+x²)+(x²+x)-(6x+6)=x²(x+1)+x(x+1)-6(x+1)=(x+1) (x²+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3). 下面用添项的方法对a³-b³ 分解因式： a³-b³=(a³-a²b)+(a²b-ab²)+(ab²-b³) =a²(a-b)+ab(a-b)+b²(a-b)=(a-b)(a²-ab+b²). 从上面想到，对a⁴-b⁴,a⁵-b⁵, … , 均可以用添项的方法分解因式.所以有 a"-b”=(a-b)(a"⁻¹+a"-²b+…+ab"-²+b"-¹),n为正整数. 【例题12】分解因式 【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决． 【解析】 归纳总结：将拆成，将多项式分成两组和 【变式1】．分解因式： （1）x⁴+x²y²+y⁴;(2)x⁴-11x²+1;(3)a⁵-b⁵(n为正整数) 八．因式分解的应用 【例题13】．（2025·甘肃兰州七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数能表示成（a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇德数”，（）与是的一个平方差分解． (1)判断 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）； (2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P； (3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【例题14】．已知，，求的值． 【变式1】．（1）因式分解：． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式2】．（2025·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为x＋n，依题意得x2﹣4x＋m＝（x＋3）（x＋n）． 即x2﹣4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n，比较系数得：，解得． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21 仿照上述方法解答下列问题： (1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值； (2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝ ． 学科网（北京）股份有限公司 $