精品解析：上海市嘉定区上海民办华曜嘉定初级中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

华曜初中2025学年第二学期初二年级期中考试 数学试卷 满分：150分，时间：100分钟 一、单选题 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. （其中是常数） B. （其中 、 、是常数） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不含二次项，不是二次函数，不符合题意． 故选C． 2. 在中，， ，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知， ，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 3. 将抛物线向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，得到的抛物线是． 故选：A． 4. 泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的相似 B. 图形的平移 C. 图形的旋转 D. 图形的翻折 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到 ，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似． 故选：A． 5. 如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形 面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵ ，是矩形， ∴， ∵ ，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形 面积的比为， 故选B． 二、填空题 7. 已知，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴对应高线的比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 9. 已知抛物线开口向下，那么a的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ，解得，． 故答案为：． 10. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 11. 已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于____ ． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中 是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为 ， ∴， ∴, 故答案为：  ． 12. 已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 13. 在直角坐标平面内有一点，那么 与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作 轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作 轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 14. 顶角为 的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为 的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 【详解】解：设等腰中，顶角 ， （腰长）， （底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则 ， ， ． ， ， ， ∵和 都是顶角为 的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得 ， 两边同除以， 设 ， 得 ， 解得， ， ． 15. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片 ，将其长边对折（ 为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，理解题意，掌握相似多边形的各边的比是解题的关键． 分别表示出原矩形的长和宽，折叠后的长与宽，结合题意“白银比”进行计算即可求解． 【详解】解：设矩形纸片长为，宽为， ∴折叠后矩形的长为 ，宽为， 根据题意可得，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 16. 如图，在四边形 中，E是上的点，，，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识．先证明都是等腰直角三角形，得到，，则 ，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴ ，， ∴， ∴ ， ∴ 故答案为： 17. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点 对应，点与点 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作 于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得 ，据此求解即可． 【详解】解：作 于点， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ，，， 由题意得， 解得， ∴， ∵， 解得， ∴， 由旋转的性质得， ，则 ， ∴的正切值， 故答案为：． 18. 已知和是矩形 的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形 与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果， ，那么 的正切值是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，， ， ∵四边形 是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 即的正切值是； 如图，交于点O，， ， 同理得， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 即 的正切值是； 综上， 的正切值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20. 已知抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的表达式及其对称轴l； （2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】（1），直线 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可； （2）过点B作，垂足为点H，先求出，继而求出，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴， ． ∵， ∴． ∴． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 【答案】（1）CE=（2）sin∠BDE= 【解析】 【分析】（1)由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB=∠B，由余弦定理求出CE; （2)作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值。 【详解】解：（1)∵ ∠ACB=90°，AC=6， cos A= ∴ ∴AB=10 ∴ 又∵D为AB中点， ∴ AD=BD=CD= AB=5， ∴∠DCB=∠B， ∴cos∠DCB= ∴cos∠B= ∴ ∴CE= （2)作EF⊥AB交AB于F， 由（1)知CE= 则BE=8-= DE= = 设BF=x，则 DF=BD-BF=5-x， 在RtΔDEF中， EF2=DE2-DF2=()2-(5-x) 2 在RtΔBEF中， EF2=BE2-BF2= ∴ 解得x= ∴sin∠BDE= 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键．方程思想是常用的数学思想． 22. 如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段 、 为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2． （1）求屋顶点D到地面的距离： （2）已知在墙 距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙 端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 ），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．） 【答案】（1）屋顶点D到地面的距离米； （2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下： 过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断 ∵阳光与地面的夹角， ∴SQ与水平线的夹角也为 ∴∠ESK=90°－53°=37° ∴∠SEK=90°－∠ESK=53° ∵AE=米，AS=1.1米 ∴SE=AE－AS=米 ∴EK=SE·cos∠SEK≈×=米＜米 即EK＜EF ∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求． 【解析】 【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H，根据矩形的判定定理证出四边形ABCE为矩形，从而求出HG=BC=米，然后根据坡比列出方程即可求出DH，从而求出结论； （2）过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断，在Rt△SEK中，解直角三角形即可求出EK，从而得出结论． 【详解】解：（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H ∵米，AE∥BC ∴四边形ABCE为平行四边形 ∵CB⊥AB ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCE为矩形 ∴CE∥AB，且CE=AB=6 ∵DH⊥EC ∴HG=BC=米 ∵斜坡、的坡比均为1∶2 ∴DH：CH=1∶2，DH：EH=1∶2 设DH=x，则CH=2x，EH=2x ∵CH＋EH=CE ∴2x＋2x=6 解得：x= 即DH=米 ∴屋顶点D到地面的距离DG=DH＋HG=米 答：屋顶点D到地面的距离米． （2）略． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡比的定义是解题关键． 23. 如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明： （2） 证明： ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明 ， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得 ，推导出，由 ， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，和都是直角三角形， ，且与不相似．其中，，，． （1）是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把或其中一个分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似．如果存在； ①请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； ②按照你写出的分割方案，求出的值． （2）分别从和的直角顶点引两条直线，分别将它们分割成两个三角形，交于，交于，当与被分割形成的和 中的一个相似时，直接写出 的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形， （1）①根据锐角三角函数的定义可得，，从而得到，可过点作直线交 于点，使得，即可；②根据相似的性质，求出 的长，利用三角形的面积公式进行计算即可．； （2）根据得到，则可以分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：（1）①过点作直线交 于点，使得，如下图： 证明如下： 根据锐角三角函数的定义可知， ，，，， ∴， ∴， 由题意可得， ，， ∴； ②由可得， 又∵，，， ∴ ，解得， ∴， 即． 【小问2详解】 解：由（1）可得， 则， 可以分为如下三种情况， ①当时，， 过 作，如下图： 由勾股定理可得，， ，解得， 则，， ∴； ②当，或时，与相似， 过点作 ，如下图： 设，由题意可得， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴； ③当，时，与相似， 过点作 ，如下图： 设，由题意可得， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，解得， ; 综上， 的值为或或． 25. 如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作 ，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）5：3 【解析】 【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可； （2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论； （3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解． 【小问1详解】 解：过D作DH⊥AB于H， 在中，，， 设，， ∴， ∵D为AC的中点， ∴AD= AC= ， ∴， ∴， 在Rt△AHD中，， ∴BH=AB－AH= －= ， 在Rt△BHD中，； 【小问2详解】 证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD， ∴△DEB∽△ADB， ∴， ∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A， ∴△DFB∽△ACB， ∴， ∴即； 【小问3详解】 解：由可设，，则DF=4k， ∵ ， ∴cot∠BDE=cot∠A=， ∴， ∴，又∠F=90°， ∴， ， ∵△DEB∽△ADB， ∴即， ∴AB=8k， ∴AE=AB－EB=5k， ∴AE：EB=5k：3k=5：3． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华曜初中2025学年第二学期初二年级期中考试 数学试卷 满分：150分，时间：100分钟 一、单选题 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. （其中 是常数） B. （其中 、 、是常数） C. D. 2. 在中，， ，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的相似 B. 图形的平移 C. 图形的旋转 D. 图形的翻折 5. 如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形 面积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知，那么____． 8. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______． 9. 已知抛物线开口向下，那么a的取值范围是____． 10. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 11. 已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于____． 12. 已知抛物线经过点、，那么_________．（填“”、“”、或“”） 13. 在直角坐标平面内有一点，那么 与x轴正半轴夹角的余弦值是__________． 14. 顶角为 的等腰三角形的腰与底的比值为______． 15. 我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片 ，将其长边对折（ 为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为____． 16. 如图，在四边形 中，E是上的点，，，，那么__________． 17. 如图，在中，，将绕点 旋转到的位置，其中点与点 对应，点与点 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是__________． 18. 已知和是矩形 的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形 与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果， ，那么 的正切值是______． 三、解答题 19. 计算：． 20. 已知抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的表达式及其对称轴l； （2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 22. 如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段 、 为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2． （1）求屋顶点D到地面的距离： （2）已知在墙 距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙 端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 ），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．） 23. 如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点 ． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图，和都是直角三角形， ，且与不相似．其中，，，． （1）是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把或其中一个分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似．如果存在； ①请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； ②按照你写出的分割方案，求出的值． （2）分别从和的直角顶点引两条直线，分别将它们分割成两个三角形，交于，交于，当与被分割形成的和 中的一个相似时，直接写出 的长． 25. 如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作 ，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求的值； （2）求证：； （3）当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $