第四讲 分式类问题的延伸-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第四讲 分式类问题的延伸（原卷版） 【知识点透析】 【知识点一】 分式的相关知识 1．分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：； ． 2．繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【知识点精讲】 一、分式的化简与求值 【例题1】若，求常数的值． 【变式1】（2024·四川·九年级专题检测）已知实数x、y满足，求代数式的值． 【例题2】（2024·山东·济宁市第十五中学八年级）阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：知，所以，即．所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 2、 裂项相消 【例题3】（2024·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式： ①；        ②； ③；        ④… （1）请用以上规律计算：__________； （2）若，求的值． 【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 【例题4】（2024·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①；②；③； 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第个不等式：___________； （2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较和的大小． 【变式2】（2024·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①，②，③，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下： 由①得：，解是x=1或x=2;由②得：，解是x=2或x=3; 由③得：，解是x=3或x=4. 请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题： （1）第④个方程是 ，解是： ； （2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ； （3）若n为正整数，求关于x的方程的解． 三、 分式方程的解法 【例题5】解方程 ． 【例题6】解方程 【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程． 归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 【变式】．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 拓展： 两个比例性质 先介绍两个比例，你可以自行证明它们的正确性. 1. 等比性质:; 2. 合比性质：. 注意两个性质的区别：合(分)比性质是在等号两边做相同的“操作”,等号两边的比值都变化了，但 保持相等；等比性质是分子之和与分母之和的比还等于原来的比，但要注意新产生的分母不能为0. 比例性质可灵活使用，由可得推(新产生的分母不为0). 比例性质对化简有什么好处呢?现举一例： 【例题1】 已知 求 ab的值. 分析 将比例式的分子相加，分母相加，两个值相比，结果为常数，于是试试等比性质. 点评 使用等比性质时务必要注意新产生的分母不能为0. 若用等比性质，则,化简得 所以ab=4. 【例题2】已知a,b,c 均为非零常数，且满 求p 的值. 【变式】①若 , 且b+d+f=2, 则 a+c+e= ; ②若 且 3a+2b-c≠0, 则 ③, 则k= ; 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第四讲 分式类问题的延伸（解析版） 【知识点一】 分式的相关知识 1．分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： ； ． 2．繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 【知识点精讲】 一、分式的化简与求值 【例1】若，求常数的值． 【解析】： ∵， 　　 ∴ 解得 ． 【变式1】（2022·四川·九年级专题检测）已知实数x、y满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 【例2】（2024·山东·济宁市第十五中学八年级）阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】由同时取倒数，可得，方程左侧分子、分母同时除以，可得，取倒数后分子、分母同时除以可得，化为完全平方公式的形式得，将的值代入即可求解． 【详解】解：由知， ∴，即， ∴． ∴． 2、 裂项相消 【例3】（2024·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式： ①；        ②； ③；        ④… （1）请用以上规律计算：__________； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）2019． 【分析】（1）将化解为题目中的规律的形式，根据规律计算即可； （2）根据题意规律计算即可求m得值． 【详解】解：（1）， ， ， ，； 故答案为：； （2）由规律可得 即 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． ∴的值为2019． 【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 【解析】（1）证明：∵， ∴（其中n是正整数）成立． （2）解：由（1）可知 ＝． （3）证明：∵＝＝， 又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数，∴＜． 【例4】（2024·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①；②；③； 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第个不等式：___________； （2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较和的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式； (2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答； (3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小． 【详解】(1)①， ②， ③， ， 则第5个不等式为：， 故答案为：； (2)第n个不等式为：， 故答案为：； (3)， 其理由是： 由(2)得：，即， ∴， ∴，则． 【变式2】（2025·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①，②，③，…，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下： 由①得：，解是x=1或x=2; 由②得：，解是x=2或x=3; 由③得：，解是x=3或x=4. 请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题： （1）第④个方程是 ，解是： ； （2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ； （3）若n为正整数，求关于x的方程的解． 【答案】（1）；或；（2）；或；（3）方程的解是x=n+3或x=n+4． 【分析】（1）根据已知方程的规律即可写出结论； （2）根据已知方程的规律即可写出结论； （3）将方程两边同时减去3，类比已知方程规律可得或，从而得出结论． 【详解】解：（1）解是：或 经检验：或是原方程的解 故答案为：； 或； （2）解是：或 经检验：或是原方程的解 故答案为：；或； （3） 则或 解得：x=n+3或x=n+4, 经检验，x=n+3或x=n+4是原方程的解． 所以，方程的解是x=n+3或x=n+4． 三、 分式方程的解法 【例题5】解方程 ． 【分析】：去分母，转化为整式方程． 【解析】：原方程可化为： 方程两边各项都乘以得， 即， 整理得：，解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根． 所以，原方程的解是． 归纳总结：(1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验． 【例题6】解方程 【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程． 【解析】：设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想 【变式】．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 答案： 拓展： 两个比例性质 先介绍两个比例，你可以自行证明它们的正确性. 1. 等比性质:; 2. 合比性质：. 注意两个性质的区别：合(分)比性质是在等号两边做相同的“操作”,等号两边的比值都变化了，但 保持相等；等比性质是分子之和与分母之和的比还等于原来的比，但要注意新产生的分母不能为0. 比例性质可灵活使用，由可得推(新产生的分母不为0). 比例性质对化简有什么好处呢?现举一例： 【例题1】 已知 求 ab的值. 若用等比性质，则,化简得 所以ab=4. 【例题2】已知a,b,c 均为非零常数，且满 求p 的值. 【分析】将比例式的分子相加，分母相加，两个值相比，结果为常数，于是试试等比性质. 【解析】 若a+b+c≠0, 则由等比性质，得 化简，得p=1. 若a+b+c=0, 则 a+b=-c.从而 综上，p=1 或 - 2 . 点评 使用等比性质时务必要注意新产生的分母不能为0. 【变式】①若 , 且b+d+f=2, 则 a+c+e= ; ②若 且 3a+2b-c≠0, 则 ③, 则k= ; 学科网（北京）股份有限公司 $