第五讲 根式类问题的延伸-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第五讲 根式类问题的延伸（原卷版） 一、基本知识 一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下： (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义 二、拓展知识 2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. 2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 【知识点精讲】 【例1】将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【例2】．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 【变式1】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【变式2】（2025·重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】化简下列各式： (1) (2) 【例3】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ，， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）若，，则 ． 【变式2】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：＝＝＝ 方法二：＝＝＝＝ （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 【变式3】化简：． 【变式4】 （2025·湖南衡阳·九年级）满足不等式的整数m的个数是_____． 【变式5】（2025·江苏·八年级专题练习）观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___． 【例4】（2025全国·九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【变式1】先阅读然后解答问题：化简 解：原式＝ 根据上面所得到的启迪，完成下面的问题： （1）化简：（2）化简：． 【变式2】化简：（1）； （2）． 【例 5】已知，求的值 ． 　 【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第五讲 根式类问题的延伸（解析版） 一、基本知识 一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下： (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义 二、拓展知识 2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. 2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 【知识点精讲】 【例1】将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）． 【解析】： （1）； （2）； （3）． 【例2】．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；有意义， ，，， ， ， ， ，，． 故答案为：2025． 【变式1】．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式的求值等知识，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：由可知，， ∴，∴，∴． 故答案为：5． 【变式2】（2025·重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 解：原式=，∵49<63<64， ∴， ∵， ∴，∴最接近8， ∴最接近8-3即5， 故选：C． 【变式3】化简下列各式： (1) (2) 【解析】：(1) 原式= *(2) 原式= 【例3】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ，， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 【变式1】．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的加减，先根据分母有理化得出，再根据二次根式的加减运算法则计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：＝＝＝ 方法二：＝＝＝＝ （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣； 方法二：原式＝＝﹣； （2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣） ＝（﹣）＝﹣． 【变式3】化简：． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝＝． 【变式4】 （2025·湖南衡阳·九年级）满足不等式的整数m的个数是_____． 【答案】7 解：∵，， ∴ ，， ∵<m<， ∴3.312<m<10.472， ∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个， ∴整数m的个数是7， 故答案为：7． 【变式5】（2025·江苏·八年级专题练习）观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___． 【答案】 解：原式 ， 故答案是：2021． 【例4】（2025全国·九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【变式1】先阅读然后解答问题：化简 解：原式＝ 根据上面所得到的启迪，完成下面的问题： （1）化简：（2）化简：． 【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2； （2）∵（）2， ＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10， ∴＝． 【变式2】化简：（1）； （2）． 【解析】 （1）原式． （2）原式=，∵，∴，所以，原式＝． 【例 8】已知，求的值 ． 　【解析】：　∵， ， 　　　　∴． 【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣． 【解析】解：（2）原式＝•＝，[来源:学科网ZXXK] 当x＝1+，y＝1﹣时， 原式＝＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $