第一讲 因式分解的拓展（一）-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第一讲 因式分解的拓展（一）（解析版） 【知识点透析】 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 【方法精讲】 一．提公因式法 提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来． 符号语言： 【例1】 因式分解． 【解析】提取公因式，原式=． 【变式】 因式分解． 【解析】提取公因式，原式=． 【例2】 计算． 【解析】原式=． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）已知，，则________． 【答案】 【解析】∵m+n=4，mn=-5， ∴m2n+mn2=mn（m+n）=-5×4=-20． 故答案为：-20． 【变式2】（2025·湖南娄底·七年级期中）因式分解：； 【答案】 【解析】：； 二．公式法 公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下： （1）a2－b2=__；（平方差公式） （2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数）） （3）a3±b3=__； （立方和差公式） （4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式） （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数）） 【例3】 因式分解 ． 【解析】法一：原式= 法二：原式=． 【变式】（2025·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解； （2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可 （1）解： =； （2）解： ； 【例4】．（2025·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下： 立方和公式： 立方差公式： 如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式. 根据以上材料，请完成下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）已知：的值 【答案】（1）（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）；（2）（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）．（3）322 【详解】 （1）因式分解：a9＋b9 ＝（a3）3＋（b3）3 ＝（a3＋b3）（a6−a3b3＋b6） ＝（a＋b）（a2−ab＋b2）（a6−a3b3＋b6）； （2）因式分解：a6−b6 ＝（a2）3−（b2）3 ＝（a2−b2）（a4＋a2b2＋b4） ＝（a−b）（a＋b）（a4＋a2b2＋b4）； （3）∵a＋b＝3，ab＝1， ∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝7， ∴a6＋b6= （a2＋b2）（a4−a2b2＋b4） ＝[（a＋b）2−2ab][（a2＋b2）2−2a2b2−a2b2] ＝7×（49−3×1）＝322． 【变式1】 因式分解 ． 【答案】原式=． 【解析】原式= 【变式2】分解下列因式 (1) (2) 【解析】：(1) (1) 【变式3】分解因式：(1) (2) 【解析】：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或． (1) (2) 【变式4】已知，求：（1）；（2）． 【解析】，所以（1）． 高阶思维：因式分解与整式乘法是互逆的. 变形思考一 变形思考二 （1） a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=(a+b)[(a+b)²-3ab]. （2）a³+b³=(a+b)³ -3ab(a+b) 【例1】(1)化简：(x²+2xy+y²)(x²-xy+y²)²; (2)已知x=2, 求(x+1)(x²-x+1)(x⁶-x³+1)(x⁹-1)-2¹⁸ 的值. 分析 直接展开化简显然太麻烦，观察能否用乘法公式解决.第(1)问中x²-xy+y²与x+y 相乘就是立方和公式；同样，第(2)问中x²-x+1与x+1 搭配得到x³+1, 再顺势与x⁶-x³+1 结合. 解(1)原式=[(x+y)(x²-xy+y²)]²=(x³+y³)²=x⁶+y⁶+2x³y³ . (2)原式=(x³+1)(x⁶-x³+1)(x⁹-1)-2¹8 =(x⁹+1)(x⁹-1)-2¹8 =x¹⁸-1-2¹8. ∵x=2, ∴原式= - 1 . 【变式1】已知，，求的值． 【解析】 【变式2】设θ为任意的锐角，(1)求证：sin²θ+cos²θ=1. (2)设sinθ+cosθ=t,①求 sin θcosθ,sin³θ+cos³θ,sin⁴θ+cos⁴θ的值； 【例题2】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式： ； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 【答案】（1）；（2）①；②1或9；（3） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得，，再结合，可求出k的值． 【详解】解：（1）大正方形面积，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：， ∴． 故答案为：； （2）①根据上面的等式，如果将看成， 则， ②由题意得：， ∵n26， ∴， ∴或2， ∴或9； （3）∵，， ∴运用公式可得：，， ∴， ∴等号两边同时乘2得：， 与相加得：， 即， 又∵， ∴， 解得： ． 三．十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【答案】(1)(x-y)(x+6y) (2)(x-3a)(x-a-2) (3)(x+a-3b)(x-a-2b) (4)(20182x2+1)(x-1) 【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可； （2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可； （3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可； （4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可； (1) 解：原式= =(x-y)(x+6y)； (2) 解：原式= =(x-3a)(x-a-2)； (3) 解：原式= = = =(x+a-3b)(x-a-2b)； (4) 解：原式= = = =(20182x+1)(x-1) ． 【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】 八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：． 【方法探究】 对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数． 所以 例如，分解因式： 它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5． 所以）． 类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解． 例如，分解因式：． 分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以． 【方法归纳】 一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即． 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 【方法应用】 利用上面的方法将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)（x－2）（x－3） (2)（2x＋3）（5x－7） (3)（x－1）（x－3） 【解析】(1)=（x－2）（x－3）． (2)=（2x＋3）（5x－7）． (3) = =（x－1）（x－3）． 【变式1】 将下列各式分解因式 （1） ；（2）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=． 【变式2】（1）；（2）． 【答案】（1）原式=； （2）原式=． 【变式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【解析】：(1) ． (2) 【例7】（提高型）：分解因式. 【解析】设=， ∵=， ∴=， 对比左右两边相同项的系数可得，解得. ∴原式=. 【变式】（1）； （2）. 解：原式= 原式= 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第一讲 因式分解的拓展（一）（原卷版） 【知识点透析】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法 是互逆的. 除了初中学习的提公因式法、公式法之外，还应掌握以下方法： (1)十字相乘法；(2)分组分解法；(3)添项与拆项；(4)因式定理法；(5)待定系数法. 无特别说明，一般只要求在有理数范围内分解到不能再分解为止.例如，x⁴-4 在实数的范围分解的 结果是(x²+2)(x+/2)(x-/2), 在有理数的范围内分解的结果是(x²+2)(x²-2). 【方法精讲】 一．提公因式法 提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来． 符号语言： 【例1】 因式分解． 【变式】 因式分解． 【例2】 计算． 【变式1】（2025·广东汕头·一模）已知，，则________． 【变式2】（2025·湖南娄底·七年级期中）因式分解：； 二．公式法 公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下： （1）a2－b2=__；（平方差公式） （2）a2±2ab+b2=__；（完全平方公式（两个数）） （3）a3±b3=__； （立方和差公式） （4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；（完全立方公式） （5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；（完全平方公式（三个数）） 【例3】 因式分解 ． 【变式】（2025·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解： (1)； (2)． 【例4】．（2025·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下： 立方和公式： 立方差公式： 如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式. 根据以上材料，请完成下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）已知：的值 【变式1】 因式分解 ． 【变式2】分解下列因式 (1) (2) 【变式3】分解因式：(1) (2) 【变式4】已知，求：（1）；（2）． 高阶思维：因式分解与整式乘法是互逆的. 变形思考一 变形思考二 （1） a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=(a+b)[(a+b)²-3ab]. （2）a³+b³=(a+b)³ -3ab(a+b) 【例1】(1)化简：(x²+2xy+y²)(x²-xy+y²)²; (2) 已知x=2, 求(x+1)(x²-x+1)(x⁶-x³+1)(x⁹-1)-2¹⁸ 的值. 【变式1】已知，，求的值． 【变式2】设θ为任意的锐角， (1)求证：sin²θ+cos²θ=1. (2)设sinθ+cosθ=t求 sin θcosθ,sin³θ+cos³θ,sin⁴θ+cos⁴θ的值； 【例题2】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式： ； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 三．十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【例5】（2024·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解： (1)__________． (2)__________． (3)__________． (4)__________． 【例6】．（2025·山东济宁·八年级期末）【知识背景】 八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：． 【方法探究】 对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数． 所以 例如，分解因式： 它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5． 所以）． 类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解． 例如，分解因式：． 分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以． 【方法归纳】 一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即． 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 【方法应用】 利用上面的方法将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【变式1】 将下列各式分解因式 （1） ；（2）． 【变式2】（1）；（2）． 【变式3】把下列各式因式分解： (1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式. 【变式】（1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $