精品解析：上海市梅陇中学2025学年第二学期六年级数学第三阶段自适应练习

2025学年第二学期六年级数学第三阶段自适应练习 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列事件中确定事件是（ ） A. 下雨后有彩虹； B. 买一张体育彩票，中大奖； C. 在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球； D. 随意翻开一本书，正好翻到第20页． 2. 在比例尺为的地图上，量得一条大河的长度为厘米，则这条大河的实际长度是（ ）千米 A. B. C. D. 3. 一个圆的周长是20π米，半径增加了2米后，面积增加了（）平方米 A. 44π B. 24π C. 4π D. 40π 4. 若关于， 的方程组与有相同的解．则 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 如图，在矩形 铁皮上剪下 和扇形，将 作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥的侧面，设 的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 请根据如图提供的信息，寻找圆锥底面直径和母线长的变化引起侧面积变化的规律，按此规律．第个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 如果6是2和的比例中项，那么___________． 8. 盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球（它们除颜色外均相同），每次从中任意摸出一个球，第一次摸出一个黑球后不放回，那么第二次摸出______球的可能性更大．（填“红”或“白”或“黑”） 9. 已知，则___________． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为______． 11. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 12. 将一个直径是8厘米、高3分米的圆柱削成最大的圆锥．圆锥的体积是__________．（结果保留） 13. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为__________________． 14. 一个酱油瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面直径是 ，瓶身高度是，瓶内装有 高的酱油，把瓶盖拧紧后倒放，酱油液面高度为 （如图）．这个酱油瓶的容积是__________．（瓶子的厚度忽略不计．结果保留） 15. 若方程组的解是，则方程组的解是__________． 16. 已知关于、 的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解； 当时，； 不论取什么数，的值始终不变； 不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 17. 图中长方形 绕 所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是______． 18. 水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ．用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 ．开始注入__________分钟的水量后，丙的水位比甲高． 三、简答题（本大题共6题，满分32分） 19. 解比例：． 20. 已知，，求最简整数比． 21. 解方程组：． 22. 解方程组：． 23. 24. 下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的； 问：倒入的牛奶有多少毫升？（得数用含有的式子表示） 25. 求阴影部分的周长和面积（正方形 边长为 ，结果保留） 四、解答题（本大题共3题，满分26分） 26. 演出团的李经理前年在银行存了90000元，年利率为，今年满两年时将利息取出． （1）李经理能取出多少元利息？ （2）演出团的演出人员每人需要一顶如图所示的帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是一个圆环，用红布做．黑布300元每平方米，红布400元每平方米．做这样一顶帽子需要布料费多少元？（取3）． （3）在实际购买中，每顶帽子的售价要另收手工费和设备费．其中，设备费14元，手工费比设备费多五成．李经理从银行取回利息后去阳光商场购买帽子，恰好该商场进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过4000元 不优惠 超过4000元且不超过5500元 售价打九折 超过5500元 售价打七五折 按上述优惠条件，李经理为演出人员购买帽子，打折后一次性付款，付款金额正好是（1）问中取回的利息，那么参加演出的人员可能是多少人？ 27. 阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下： 对于二元一次方程组（、不同时为0，、不同时为0）： ①系数行列式：（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：， ③求解：当 时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算 ；②算 ， ；③求，． （1）直接计算行列式的值： __________． （2）利用材料中的行列式方法解方程组：，写出、、及方程组的解． （3）若二元一次方程组，、都等于25且 ，能否求出一组符合题意的，，的值，并根据你求出的三个值解出该方程组． 28. 网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少 ；竹筒空心部分底面直径为 ，竹筒内部总高 ；先装入奶茶，奶茶高度为 ．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高 ，母线长 ． （1）求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； （2）若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； （3）为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是 ，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比 （冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶 冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期六年级数学第三阶段自适应练习 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列事件中确定事件是（ ） A. 下雨后有彩虹； B. 买一张体育彩票，中大奖； C. 在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球； D. 随意翻开一本书，正好翻到第20页． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定事件、不可能事件、随机事件的概念，根据确定事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判断即可，解题的关键是理解确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A.下雨后有彩虹，是随机事件，故本选项不符合题意； B.买一张体育彩票，中大奖，是随机事件，故本选项不符合题意； C.在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球，是不可能事件，是确定事件，故本选项符合题意； D.随意翻开一本书，正好翻到第20页，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在比例尺为的地图上，量得一条大河的长度为厘米，则这条大河的实际长度是（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例尺的应用，根据比例尺的定义，实际距离图上距离比例尺，先计算出实际长度的厘米数，再换算单位为千米，即可得到正确选项． 【详解】解：∵比例尺为 ，图上距离为厘米 ∴实际长度为 厘米 又∵千米 厘米 ∴厘米 千米 故选：D． 3. 一个圆的周长是20π米，半径增加了2米后，面积增加了（）平方米 A. 44π B. 24π C. 4π D. 40π 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知周长求出原圆半径，再分别计算半径增加前后的圆面积，作差即可得到面积增加量． 【详解】解：因为圆的周长公式为 ，原圆周长为米 所以原圆半径米，原圆面积平方米 因为半径增加2米， 所以新半径米，新圆面积平方米 所以增加的面积为平方米． 4. 若关于， 的方程组与有相同的解．则 的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解满足所有方程，先解方程组，再代入含参数的方程组求出，，最后计算的值即可． 【详解】解：， 得 ，解得， 把代入①得： ，解得 ， ∴原方程组的解为， ∴， 得 ，解得 ， 把 代入 得 ，解得， ∴ ． 5. 如图，在矩形 铁皮上剪下 和扇形，将 作为圆锥底面，扇形恰好作为圆锥的侧面，设 的半径为r，扇形的半径为R，则R与r之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， 由题意得：， 整理得：． 故选：C． 6. 请根据如图提供的信息，寻找圆锥底面直径和母线长的变化引起侧面积变化的规律，按此规律．第个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式 （为底面半径，为母线长），分别计算前几个圆锥的侧面积，观察底面直径、母线长与序号的关系，归纳出第个圆锥的参数特征即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为 ； 第2个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为 ； 第3个圆锥：底面直径为，母线长为，侧面积为 ； 第4个圆锥：底面直径为，母线长为 ，侧面积为 ； 第个圆锥的底面直径为 ，母线长为 ， 第个圆锥的底面半径为， 第个圆锥的侧面积为 ． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 如果6是2和的比例中项，那么___________． 【答案】 18 【解析】 【分析】根据比例中项的定义：对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即，那么把b叫做a和c的比例中项；比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，列方程求解即可． 【详解】解：是和的比例中项， ， 解得 ． 8. 盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球（它们除颜色外均相同），每次从中任意摸出一个球，第一次摸出一个黑球后不放回，那么第二次摸出______球的可能性更大．（填“红”或“白”或“黑”） 【答案】黑 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解题的关键是掌握可能性大小的判断方法．根据黑球、红球和白球的个数判断可能性大小，求解即可． 【详解】解：∵盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球，第一次摸出一个黑球后，还剩14个黑球，红球和白球的个数不变， ∴剩余的球中黑球个数最多， ∴第二次摸出黑球的可能性更大． 故答案为：黑． 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式推导得到 与的数量关系，再代入所求分式，约分后得到计算结果. 【详解】解：由交叉相乘得， 移项合并同类项得， 将代入得， . 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 11. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，判断各式即可得出答案． 【详解】解：①是代数式，不是方程，故不是二元一次方程； ②，不是整式方程，故不是二元一次方程； ③，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程． ④,未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程； ⑤，只含有一个未知数，故不是二元一次方程； 故是二元一次方程的是③． 故答案为：③． 12. 将一个直径是8厘米、高3分米的圆柱削成最大的圆锥．圆锥的体积是__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱削成最大的圆锥时，圆锥与原圆柱等底等高，先统一长度单位，再根据圆锥的体积公式代入数据计算即可． 【详解】解：统一单位得 分米厘米， 圆锥底面半径为（厘米）， 则圆锥的体积为． 13. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 14. 一个酱油瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面直径是 ，瓶身高度是，瓶内装有 高的酱油，把瓶盖拧紧后倒放，酱油液面高度为 （如图）．这个酱油瓶的容积是__________．（瓶子的厚度忽略不计．结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中酱油的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替，然后再根据转化关系求解即可． 【详解】解：设瓶的底面积为，则左图，右图， ∵， ∴ ∴这个酱油瓶的容积是． 15. 若方程组的解是，则方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将待求方程组整理变形，使其结构与已知方程组一致，利用换元思想结合已知方程组的解求解． 【详解】解：方程组可转化为， ∵方程组的解是， ∴需满足， 解得， ∴方程组的解是． 16. 已知关于、 的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解； 当时，； 不论取什么数，的值始终不变； 不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求出、 ，分别验算各个结论即可． 【详解】解：方程组 由 得，，解得， 代入 中，解得， ∴方程组的解， 结论当时，方程组的解，代入中， ∴方程组的解也是方程的解 ∴结论正确． 结论 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论 正确． 结论 ， ， ， 随着变化而变化， ∴结论 错误． 结论 若，即， ∴， ∴， ∴不成立， ∴不存在使得成立， 结论 正确． 17. 图中长方形 绕所在直线旋转一周后，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出长方形 绕所在直线旋转一周后的圆柱体体积，再计算乙部分形成的立体图形的体积，两者作差得到甲部分形成的立体图形的体积，从而计算出甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比． 【详解】解：长方形 绕所在直线旋转一周后，得到的是圆柱体，则体积为， 乙部分 绕所在直线旋转一周后，得到的是圆锥体，则体积为， 甲部分形成的立体图形的体积为， 则甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是． 18. 水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ．用两个相同的管子在容器的高度处连通（即管子底离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 ．开始注入__________分钟的水量后，丙的水位比甲高． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆柱的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．先求出注水1分钟，丙的水位上升 ，再分类讨论：①丙容器水位在以下时②丙容器水位在后，丙中水流向乙，当乙、丙容器水位在后，乙、丙中水流向甲，根据两种情况逐个分析求解即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 ， ∴甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为 ， ∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升 ， ∴注水1分钟，丙的水位上升 ， 设注水时间为 分钟， ①丙容器水位在以下时， 根据题意可得 ， 解得； ②丙容器水位在时， 当丙容器水位在时， ， 解得， 此时，乙容器的高度为， 此时，乙容器每注水1分钟，乙的水位上升， 当乙容器到达时，根据题意得， 解得， 此时，甲容器每注水1分钟，甲的水位上升， 根据题意得， 解得． 故答案为：或． 三、简答题（本大题共6题，满分32分） 19. 解比例：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 20. 已知，，求最简整数比． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比的基本性质，解题关键是把两个比中的关键数在比中转化为同一个数字． 题中两个比为与，不难发现关键数是，再通过化简比和求比值的方法将在两个比中的数化为相同数即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 21. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 将①代入②得，解得， 把代入①，得， ． 22. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程组整理为， 由得，解得， 把代入，得，解得， ． 23. 【答案】 【解析】 【分析】把方程 代入其它两个方程，然后解以y、z为未知数的方程组得出y、z的值，然后可得出原方程组的解． 【详解】解：， 把 分别代入方程 得：， 解得， 再将代入①得：，解得， ∴原方程组的解为：． 24. 下面是咖啡店老板制作某种奶咖的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满咖啡，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入牛奶，使奶咖的高度是杯子的； 问：倒入的牛奶有多少毫升？（得数用含有的式子表示） 【答案】毫升 【解析】 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是解题关键．利用圆柱中奶咖的体积减去圆锥中咖啡的体积即可得． 【详解】解：由题意得： （毫升）， 答：倒入的牛奶有毫升． 25. 求阴影部分的周长和面积（正方形 边长为 ，结果保留） 【答案】周长：；面积： 【解析】 【分析】阴影部分周长相当于圆的周长的2倍，面积相当于圆的面积与三角形面积的差的2倍． 【详解】解：连接 ，如图所示， ， ． 四、解答题（本大题共3题，满分26分） 26. 演出团的李经理前年在银行存了90000元，年利率为，今年满两年时将利息取出． （1）李经理能取出多少元利息？ （2）演出团的演出人员每人需要一顶如图所示的帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是一个圆环，用红布做．黑布300元每平方米，红布400元每平方米．做这样一顶帽子需要布料费多少元？（取3）． （3）在实际购买中，每顶帽子的售价要另收手工费和设备费．其中，设备费14元，手工费比设备费多五成．李经理从银行取回利息后去阳光商场购买帽子，恰好该商场进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过4000元 不优惠 超过4000元且不超过5500元 售价打九折 超过5500元 售价打七五折 按上述优惠条件，李经理为演出人员购买帽子，打折后一次性付款，付款金额正好是（1）问中取回的利息，那么参加演出的人员可能是多少人？ 【答案】（1）4500元 （2）90元 （3）参加演出的人员可能是40人或48人． 【解析】 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，圆柱的表面积计算，圆环的面积计算，正确理解题意列出对应的算式是解题的关键： （1）根据利息等于本金乘以年利率再乘以时间求解即可； （2）黑布的面积等于圆柱的侧面积加上上底面圆的面积，红布的面积等于圆环的面积，据此求出黑布和红布的面积，进而求出帽子的材料价即可； （3）根据（2）所求结合（3）的条件求出帽子的售价，再分打折前一次性购物总金额不超过5500元和超过5500元两种情况分别根据折扣求出打折前的售价即可得到答案． 【小问1详解】 解：元， 答：李经理能取出4500元利息； 【小问2详解】 解：， ， 元， 答：做这样一顶帽子需要布料费90元； 【小问3详解】 解：元， 所以一顶帽子的售价为125元， 由（1）可知打折前一次性购物总金额必然超过4000元， 当打折前一次性购物总金额不超过5500元时，则打折前一次性购物总金额为元， 人， 所以此时参加演出的人员是40人； 当打折前一次性购物总金额超过5500元时，则打折前一次性购物总金额为元， 人， 所以此时参加演出的人员是48人； 答：参加演出的人员可能是40人或48人． 27. 阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下： 对于二元一次方程组（、不同时为0，、不同时为0）： ①系数行列式：（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：， ③求解：当 时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算 ；②算 ， ；③求，． （1）直接计算行列式的值： __________． （2）利用材料中的行列式方法解方程组：，写出、、及方程组的解． （3）若二元一次方程组，、都等于25且 ，能否求出一组符合题意的，，的值，并根据你求出的三个值解出该方程组． 【答案】（1） （2） ， ， ， （3）能，， ， ，方程组的解为（答案不唯一，符合条件即可） 【解析】 【分析】（1）直接套用行列式计算规则； （2）按步骤计算行列式再求方程组的解； （3）根据和的值得到参数关系，取一组符合条件的参数再求解方程组即可 【小问1详解】 解：根据题干规则计算得： ； 【小问2详解】 对于方程组  计算系数行列式得：    计算替换行列式：  ，    求解得： ，   即方程组的解为； 【小问3详解】 对于方程组， 根据题意得：  ， ， 解方程 得  令 ，代入 ， 解得   此时 ，符合条件 求解得 ，   即一组符合题意的值为， ， ， 原方程组的解为 28. 网红竹筒冰淇淋是当下旅游打卡的热门美食，采用天然规整竹筒作为容器，竹筒内部可看成空心圆柱体，下部装奶茶，顶部放置同底面圆锥形冰淇淋．已知冰淇淋完全融化后体积减少 ；竹筒空心部分底面直径为 ，竹筒内部总高 ；先装入奶茶，奶茶高度为 ．顶部放置一个和竹筒同底面的圆锥形冰淇淋，圆锥高 ，母线长 ． （1）求竹筒冰淇淋的表面积（含竹筒，结果保留）； （2）若把冰淇淋完全融化倒入竹筒奶茶中，此时液面会不会溢出？请计算说明理由； （3）为推广这款竹筒冰淇淋，商家分装成迷你试吃装．试吃装均使用同款迷你纸杯，杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是 ，试吃分为纯奶茶款和奶茶冰淇淋混合款，奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比 （冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）．已知所有竹筒冰淇淋（奶茶 冰淇淋）全部用完（无剩余），且纯奶茶试吃装的纸杯总数比混合试吃装少12个，求两款试吃纸杯各需要准备多少个？ 【答案】（1）表面积为； （2）液面不会溢出．理由： 奶茶体积：， 圆锥冰淇淋体积：， 融化后冰淇淋体积：， 竹筒总容积：， 融化后总体积： ， 因此液面不会溢出． （3）纯奶茶款需要 个，混合款需要 个． 【解析】 【分析】（1）表面积的组成部分：圆柱侧面积、圆柱下底面积、圆锥侧面积，三者无重叠且题目要求含竹筒，分别计算三部分面积后求和，用到圆柱侧面积公式 、圆的面积公式、圆锥侧面积公式 ． （2）先计算竹筒内奶茶体积，圆锥冰淇淋的体积，融化后体积减少30%，可得融化后的冰淇淋体积；再计算竹筒内总容积，比较奶茶体积加融化后冰淇淋体积和总容积的大小即可判断是否溢出，用到圆锥体积公式 、圆柱体积公式 ． （3）先根据比值求出迷你纸杯的底面半径和高，计算单个迷你纸杯的容积；再计算一个竹筒冰淇淋中奶茶和未融化冰淇淋的总体积；接着设混合试吃装数量为未知数，因为纯奶茶款数量比混合款少12个，所以可表示出纯奶茶款数量，结合两款试吃装的体积占比关系，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵竹筒底面直径为 ， ∴半径 ， ∵竹筒总高 ，圆锥母线长 ， ∴竹筒冰淇淋的表面积为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设混合款需要x个．则纯奶茶款需要个， ∵杯的底面半径与竹筒底面半径和高的比都是 ， ∴试吃装底面半径、高均为原竹筒的​， ∴试吃装底面半径 ，高 ， ∴单个体积． ∵奶茶款装满，混合款奶茶和冰淇淋的体积占比 （冰淇淋不融化，奶茶和冰淇淋体积和等于纸杯体积）， ∴混合款每个含奶茶 、冰淇淋 ，纯奶茶每个含奶茶 ，且所有材料用完， ∴ ，即 ， 解得 ． ∴ ． 答：纯奶茶款需要 个，混合款需要 个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $