精品解析：上海市上海市虹口区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025学年度第二学期期末考试七年级数学学科试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知在 中，，， 是 的角平分线，那么 的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 B. 过直线外一点作这条直线的垂线，所得的垂线段就是点到直线的距离 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高三线合一 D. 以一条线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点为顶点的三角形是等边三角形 5. 如图，已知在 中，，，，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题： ①腰和腰上的中线对应相等的两个等腰三角形全等； ②底边和底边上的中线对应相等的两个等腰三角形全等． 那么下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 不等式的解集是______． 8. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围为________． 9. 一个等腰三角形，有两边长分别为 和，则其周长为_____ ． 10. 如图，已知 ，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在① ，②，③ ，④，这四个关系中可以选择的是______．（填写序号） 11. 为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板 与水平线夹角为，要使，需将电池板 逆时针旋转度，则α为 _____． 12. 如图，已知 是等边三角形，，垂足为点，点 在边 上，，那么的度数是____________度． 13. 如图，在 中， 的垂直平分线分别交线段 ， 于点 ， ， 的垂直平分线分别交线段 ， 于点 ，，，的周长为16，则 的长度为_____． 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 15. 如图，已知在的方格中，点、、、、 均在格点上，那么____________度． 16. 如图，在等腰 中，，D为 延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则 的面积为__________． 17. 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第 跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留 ） 18. 如图，现有一个 和一个长方形，已知 ，，，．现将边 和边叠合在一起，使得点与点重合，点 与点 重合，拼成一个新的四边形 ．已知点 在边 上，点 在四边形 内，连接、 、，那么的最小值为____________． 三、解答题（本大题共9题，19~21每题6分，22~25每题7分，26~27每题9分，共64分） 19. 解不等式：． 20. 解不等式组： 21. 如图，点、、、在一条直线上， 与交于点 ，，，求证： 22. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点 、 ，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 （1）证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点 ， 所以____________（ ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． （2）证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点 作直线，则． 因为， 所以（ ）， 因为， 所以_________________（ ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 23. 如图，已知为线段上一点，在 中，，在中 ，且，连接 、 ， 分别交 、 于点 、 ， 交 于点 ． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 24. 如图，已知线段 和射线 ． （1）在图1中，在射线 上求作一点，使； （2）在图2中，在射线 上求作一点 ，使． 25. 如图，已知：在 中，，、 是边 上的两个三等分点．求证：． 26. “十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站 ． （1）若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站 应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． （2）已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 27. 如图， 为直角三角形， ，，点D为 上一点，将沿 翻折后得到 ． （1）如图1，当点E落在 上时，求的度数； （2）如图2，当点E落在 下方时，与 相交于点F，且，试说明：； （3）如图3，当点E落在 下方时，与 相交于点F，连结 ，的平分线 交 的延长线于点G，交 于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期期末考试七年级数学学科试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分） 1. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 2. 如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴，故不一定成立，故B错误； ，故不一定成立，故A错误； ，故C正确； ，不一定成立，故D错误． 3. 如图，已知在 中，，，是 的角平分线，那么 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得 的度数． 【详解】解：，是 的角平分线， ， 又， ． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 B. 过直线外一点作这条直线的垂线，所得的垂线段就是点到直线的距离 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高三线合一 D. 以一条线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点为顶点的三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线性质，点到直线的距离定义，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，逐一判断各命题正误即可得到答案． 【详解】对选项A：∵两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，和为 ， ∴一组同旁内角的平分线分得的两个角的和为， ∴两条平分线的夹角为 ，即互相垂直，A命题正确； 对选项B：∵点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴B命题错误； 对选项C：∵等腰三角形只有顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高三线合一，并非所有的角平分线、中线和高都满足三线合一， ∴C命题错误； 对选项D：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只能得到该三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴D命题错误． 5. 如图，已知在 中，，， ，，那么 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，再利用对应角相等及角度之间的等量代换求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ． 6. 已知命题： ①腰和腰上的中线对应相等的两个等腰三角形全等； ②底边和底边上的中线对应相等的两个等腰三角形全等． 那么下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形判定定理逐一判断两个命题的真假即可； 【详解】解：对于命题①：设两个等腰三角形分别为 和，，，已知腰长，上的中线 与上的中线相等， ∴，， ∵ 为中点，为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴，故命题①是真命题； 对于命题②： 设两个等腰三角形分别为 和，，，已知底边，底边上的中线， ∵等腰三角形三线合一， 是底边上的中线， ∴ ，， 同理可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， 在 和中， ， ∴，故命题②是真命题； 综上，①和②都是真命题． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法，通过移项，合并同类项，系数化为1，即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 8. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，据此得到关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴ 解得． 9. 一个等腰三角形，有两边长分别为 和，则其周长为_____ ． 【答案】12 【解析】 【分析】本题分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算得到符合条件的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长分别为，， ， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得，不满足三边关系，不能构成三角形，该情况舍去； 当腰长为 时，三角形三边长分别为 ， ，， 根据三角形三边关系，可得，，满足三边关系，可以构成三角形， 此时周长为． 10. 如图，已知 ，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在① ，②，③ ，④，这四个关系中可以选择的是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理依次判定即可． 【详解】∵ ， ∴，即 ① ，可以用SAS判定，①正确； ②，SSA不可能判定，②错误； ③ ，可以用ASA判定，③正确； ④，可以用AAS判定，④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，准确掌握定理，清楚SSA不能判定三角形全等是本题的关键． 11. 为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，如图，电池板 与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转度，则α为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】求出的度数，根据平行线的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：依题意，取经过水平线与交点的光线，则即， 又由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵要使，需将电池板逆时针旋转， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 12. 如图，已知 是等边三角形，，垂足为点 ，点在边上，，那么的度数是____________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据“三线合一”的性质求出的度数，根据，结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 13. 如图，在 中， 的垂直平分线分别交线段 ，于点 ， ， 的垂直平分线分别交线段 ，于点，，，的周长为16，则 的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出 的长度． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分 ， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【答案】## 度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为， ∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况： ①锐角三角形： 由图可知，此时不满足题意，故舍去； ②钝角三角形： 由图可得：，， ∴， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，已知在的方格中，点 、 、、 、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【解析】 【分析】取格点F，连接 ，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接 ，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在等腰 中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则 的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 的面积为； 故答案为：64． 17. 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，每条径赛跑道的起跑线是不同的，径赛规则规定，第 跑道的弯道半径长=弯道最内侧半径跑道宽度测量规定．其中第1跑道的测量规定为，其余各条跑道的测量规定为．如图，已知米，每条跑道宽米，共有8条跑道，那么第4跑道的起跑线与第1跑道的起跑线相差____________米．（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，跑道周长由两条直道和两个半圆弯道组成，直道长度相等，故起跑线的差值等于弯道周长之差；两个半圆弯道合起来即为一个圆，根据题目给出的第 跑道弯道半径计算公式，分别表示出第 跑道和第 跑道的弯道半径，求出半径之差，再利用圆周长公式计算即可； 【详解】解：根据题意，（米）， 第 跑道的弯道半径为：（米）， 第 跑道的弯道半径为： （米）， ∵直道长度相等， ∴第 跑道与第 跑道的起跑线差值等于两跑道弯道周长之差， 差值． 18. 如图，现有一个 和一个长方形，已知 ，，，．现将边 和边叠合在一起，使得点 与点重合，点 与点重合，拼成一个新的四边形．已知点在边上，点 在四边形内，连接、 、，那么的最小值为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在 上方作，连接 ， ，，得到，当点F，H，P，E四点共线时，且时，取得最小值，即 的长，设与 交于点G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图，在 上方作，连接 ， ，， ∴，， ∴和是等边三角形 ∴ ∴ ∴当点F，H，P，E四点共线时，且时，取得最小值，即 的长，如图，设与 交于点G， ∵ ，， ∴， ∵ ∴ ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∵四边形是长方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 根据题意得，四边形是长方形 ∴ ∴ ∴的最小值为5． 三、解答题（本大题共9题，19~21每题6分，22~25每题7分，26~27每题9分，共64分） 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，需要注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变． 【详解】解：， ， ． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得： ， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，点 、 、、 在一条直线上， 与交于点，，，求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论. 【详解】∵， ∴， ∴. ∵CE//DF， ∴. ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键. 22. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点 、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 （1）证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点 ， 所以____________（ ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． （2）证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点 作直线，则． 因为， 所以（ ）， 因为， 所以_________________（ ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 【答案】（1）；三角形内角和等于； ； （2）两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等 【解析】 【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知 为线段上一点，在 中，，在中 ，且，连接 、 ， 分别交 、 于点、， 交于点 ． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，已知线段 和射线 ． （1）在图1中，在射线 上求作一点 ，使； （2）在图2中，在射线 上求作一点，使． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）以点A、点B为圆心，以大于为半径在线段 的上侧和下侧分别画弧，交于点F、G，连接交 于点D，连接，则，则点D即为所求点； （2）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交 ，于点I，H，以点B为圆心，以的长度为半径画弧，交 于点J，以点J为圆心，以的长度为半径画弧，交上一条弧于点K，连接射线交射线 于点E，此时；由可得，由作图可得，此时即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，已知：在 中，， 、是边上的两个三等分点．求证：． 【答案】证明：如图，延长 至点F，使，连接， ∵， ∴， ∵ 、是边上的两个三等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】延长 至点F，使，连接，先根据等边对等角得，再证得，得，，然后，根据“大边对大角”得，证得，即，可得，即． 【详解】略 26. “十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站 ． （1）若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站 应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． （2）已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1） 如图所示，点 位置即为驿站 （2）当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元 【解析】 【分析】(1)作点A关于道路(直线)的对称点，连接交道路(直线)于点P，连接即可； (2)设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架，根据题意列出关于x的不等式组，得到x可以取得的值，再逐次计算总费用即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据作图痕迹可知点A关于道路(直线)的对称点为， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知即为所求，此时点 即为驿站 ； 【小问2详解】 解：设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架， 根据题意，得， 解得， ∵x为自然数， ∴x可以取得的值为， 当甲型无人机购买0架，乙型无人机购买20架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买1架，乙型无人机购买19架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买2架，乙型无人机购买18架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买3架，乙型无人机购买17架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买4架，乙型无人机购买16架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买5架，乙型无人机购买15架时，总费用为万(元)； 当甲型无人机购买6架，乙型无人机购买14架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用为(万元)； 综上，当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元． 27. 如图， 为直角三角形， ，，点D为 上一点，将沿 翻折后得到 ． （1）如图1，当点E落在上时，求的度数； （2）如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：； （3）如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结 ，的平分线 交 的延长线于点G，交 于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由折叠的性质得，根据直角三角形的性质求得，再根据平行线的判定即可得证； （3）设，由平行线的性质得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，进而求得即可． 【小问1详解】 解：，， ． ∵将沿 翻折后得到 ， ． ． 【小问2详解】 解：根据翻折可得， ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：，理由如下： 设， ， ． 平分， ． ． ， ． ， ， ， ． ． ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $