精品解析：上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷

2024学年第二学期期末练习七年级数学试卷 （考试时间90分钟，总分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 2. 如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 腰和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等 C. 全等三角形对应边上的中线相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、三个角对应相等的两个三角形全等． 全等三角形的判定方法中没有“角角角（）”，三个角相等不能保证全等．例如，两个大小不同的等边三角形三个角都相等，但显然不全等．故原命题为假命题，故此选项符合题意． B、腰和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等． 等腰三角形的腰相等，顶角对应相等则底角也相等．根据“边角边（）”，两腰及其夹角（顶角）对应相等，可判定全等．是真命题，故此选项不符合题意． C、全等三角形对应边上的中线相等． 全等三角形的对应边、对应角均相等，对应边上的中线、高、对应角的角平分线也相等．是真命题，故此选项不符合题意． D、全等三角形的面积相等． 全等三角形形状和大小完全相同，全等三角形的对应边、对应边上的中线、高、对应角的角平分线也相等，所以等三角形形面积相等．是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ） A. 25 B. 33 C. 42 D. 33或42 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 5. 如图，要使得与互补，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定以及补角，将选项作为条件代入，证明与互补即可得到答案． 详解】当时 直线和直线平行 与互补 故选：D． 6. 如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “与的积不小于4”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据与的积即为，不小于即为，列不等式即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 8. 解不等式得到的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 9. “和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据锐角、钝角的概念判断即可． 【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 10. 已知命题：全等三角形的对应边相等，这个命题的逆命题是：_________________ ． 【答案】对应边相等的两个三角形是全等三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“全等三角形的对应边相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应边相等”，故其逆命题是对应边相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应边相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】本题主要考查了逆命题，掌握交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题是解答本题的关键． 11. 若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 12 如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80． 13. 如图，已知，且，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行线的内错角相等性质来求解． 过点作平行于、的直线，将分成与、相等的角，进而得出与的关系． 【详解】如图： 过点作， ， ， ， ， 。 故答案为：130． 14. 如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________的长可以表示点到直线的距离． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为________（用含有a、b的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，连接，证明得出，再由四边形的内角和求出，最后由面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17. 关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解． 【详解】如图所示， （1）的外心为满足条件的一个点， （2）以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， （3）分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为4． 故答案为：4． 三、简答题（本大题共4题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题7分，满分25分） 19. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，解题的关键是依据不等式的基本性质逐步化简求解． 先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1来求解不等式． 【详解】解： ∴原不等式的解集为． 20. 解不等式组，在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，解题的关键是分别求解不等式组中两个不等式，再取它们的公共部分． 分别求解不等式组里的两个不等式，然后确定公共解集，最后在数轴上表示． 【详解】解： 由①得 由②得 所以原不等式组解集为 在数轴上表示如下： 21. （1）如图，在正方形网格中，任意两个正方形的公共顶点称为“格点”．若点A、B、C都是格点，且为等腰三角形，请利用图中的网格画出点C一个可能的位置． （2）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形（保留作图痕迹，写出结论） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、轴对称的概念等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等腰三角形的定义结合网格特点作图即可； （2）分别以点、为圆心，以、的长为半径画弧，两弧在边的另一侧交于点，连接、，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图，点即为所作， ； （2）如图，分别以点、为圆心，以、的长为半径画弧，两弧在边的另一侧交于点，连接、，则点即为所求， ， 由作图可得：，， ∵， ∴， 由轴对称图形的定义可得，四边形为轴对称图形． 22. 已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等边对等角） ∴，即平分． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等边对等角． 四、解答题（本大题共3题，每小题7分，满分21分） 23. 如图，已知中，，D为的中点，，，垂足分别是点E、F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接AD， ∵，D为的中点， ∴平分， 又∵，， ∴． 24. 已知：如图，在中，于交线段BC点于点D，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角．在上取点E，使，得到垂直平分，推出，再三角形的外角性质即可证明结论成立． 【详解】证明：在上取点E，使， ∵，且，∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 25. 已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质． 由的垂直平分线交于点D，可得，又由等边对等角，可求得的度数，继而求得的度数，则可判定是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 五、综合题（本大题共2题，每小题9分，满分18分） 26. 如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于． 【详解】步骤一、假设，则（等边对等角） ∵， ∴ ∴， 这与直线交的延长线于点M矛盾， 即不等于． 步骤二、 假设，则， ∵， ∴ ∵， ∴ 与矛盾 即不小于． 综上所述，． 27. 费马是17世纪法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 【答案】（1）点D不是的费马点，理由见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）作于点E，连接，由等腰三角形的性质可知，结合可知E、D不重合．再根据在三角形中大角对大边，即得出，即，从而得出点D不是的费马点； （2）①由等边三角形的性质易证，即得出； ②连接．由①知，，结合三角形外角的性质即得出，从而可求．易证为等边三角形，得出，，即可证，从而可证，得出，即点P是的费马点． 【小问1详解】 结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； 【小问2详解】 ①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，理解“费马点”的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期末练习七年级数学试卷 （考试时间90分钟，总分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 腰和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等 C. 全等三角形对应边上的中线相等 D. 全等三角形的面积相等 4. 等腰三角形两边分别是8、17，则它的周长是（ ） A. 25 B. 33 C. 42 D. 33或42 5. 如图，要使得与互补，可以添加条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “与积不小于4”用不等式表示为________． 8. 解不等式得到的解集是______． 9. “和为钝角的两个角都是锐角”是_________（填写“真”或“假”）命题． 10. 已知命题：全等三角形的对应边相等，这个命题的逆命题是：_________________ ． 11. 若线段是等边的中线，则的度数是________． 12. 如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度． 13. 如图，已知，且，则________度． 14. 如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 15. 如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段___________长可以表示点到直线的距离． 16. 如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为________（用含有a、b的代数式表示）． 17. 关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 18. 如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是_________． 三、简答题（本大题共4题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题7分，满分25分） 19. 解不等式： 20. 解不等式组，在数轴上表示出解集． 21. （1）如图，在正方形网格中，任意两个正方形的公共顶点称为“格点”．若点A、B、C都是格点，且为等腰三角形，请利用图中的网格画出点C一个可能的位置． （2）如图，已知锐角，用直尺和圆规完成作图：在恰当的位置作一个与全等的三角形，并使它与拼成一个轴对称四边形（保留作图痕迹，写出结论） 22. 已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 四、解答题（本大题共3题，每小题7分，满分21分） 23. 如图，已知中，，D为的中点，，，垂足分别是点E、F，求证：． 24. 已知：如图，中，于交线段BC点于点D，，求证：． 25. 已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 五、综合题（本大题共2题，每小题9分，满分18分） 26. 如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：． 步骤一、 假设，则______（______） ∵， ∴________ ∴________________ 这与________矛盾， 即不等于． 步骤二、（请自己写出后面的证明过程） 27. 费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$