精品解析：福建泉州市培元中学2025-2026学年高一上学期12月份月考数学试卷

福建泉州培元中学高一年上学期12月份月考数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知函数与的定义域分别为集合 与 ，则的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解对数函数和根式函数的定义域得到集合 、 ，再根据集合的运算性质和包含关系判断选项. 【详解】 ， ， 对于A：但，两集合元素不相等，不成立，A错误； 对于B： 中元素均为 中元素，且 在 中不在 中， 因此不成立，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误. 2. 把表示成的形式，且使，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用终边相同的角的表示方法，即可得解. 【详解】， ， 故选：A. 3. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得 在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据 的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 即，所以. 6. 已知命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数 的取值范围是. 7. 已知，且 为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 为第三象限角，且， 所以是第四象限角，所以. 所以. 8. 已知的最小值为2，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 时，由对勾函数的性质得到的最小值为2，然后 时，由的最小值不小于2求解. 【详解】当 时，， 当且仅当，即 时，等号成立，所以的最小值为2； 当 时，， 令，则， 在上单调递减，所以当 时，取得最小值， 由题意得，解得 ， 所以 的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. ， B. 在 中， C. ， D. “”是“ 是第一象限角”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断AB选项；取特殊值判断C选项；利用三角函数值的符号与象限角的关系以及充分条件、必要条件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，取，可得， 所以，，C对； 对于D选项，若，则或， 由可知 为第一象限角， 由可知 为第四象限角， 所以“”“ 是第一象限角”， 若 为第一象限角，则，所以， 所以“”“ 是第一象限角”， 因此“”是“ 是第一象限角”的必要不充分条件，D对. 10. 若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（ ） A. 扇形的圆心角为2 B. 扇形的弧长为6 C. 扇形的半径为6 D. 扇形圆心角所对弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得. 【详解】对于C，设扇形半径为 ，则弧长，扇形面积， 当且仅当 时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为 ，且满足，当 时，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在 上单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，令，得出，即可排除；对于B，由函数单调性的定义法判断即可；对于C，令 ，可得，再运用递推与累加法即可判断；对于D：先将转化为，再运用函数单调性求解即可. 【详解】对于A：令，得，得，故 不是奇函数，故A错误； 对于B：任取 ，不妨设，由题可知，，即，由 时，可知，， 因此，即，又因为，故在 上单调递增，故B正确； 对于C：令 ，可得，即， 因此有， 累加可得，因此，故C错误； 对于D：，故， 因此解即解， 又由B可知在 上单调递增，因此，解得 ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【详解】原式. 13. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集_____ 【答案】或 【解析】 【分析】先利用分类讨论法来解不等式，再利用奇偶性和单调性解不等式，最后可求解集. 【详解】由偶函数在区间上单调递减，可知在区间上单调递增， 先解不等式 ，因为，所以， 又因为是偶函数，所以，即， 根据在区间上单调递增，可知，解得 或 ， 同理 ，可解得， 不等式或，即解得 或 ， 故答案为：或 14. 已知函数是偶函数，则 ____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由偶函数满足求 ；由恒成立，比较 的系数和常数项求 ；再将化为，换元求的值域． 【详解】因为是偶函数，所以． 又，所以，即． 整理得对任意恒成立，所以． 由，得，． 因为对任意恒成立，所以，，解得 ． 于是，所以． 因此． 令，则，且． 所以． 当时，单调递增，所以． 因此函数的值域为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 以轴为始边作终边落在第二象限的角 ，且 与单位圆交于点． （1）求、的值，并求的值； （2）化简求值：． 【答案】（1） ，， （2） 【解析】 【分析】由单位圆交点的坐标确定正弦、余弦，结合第二象限确定余弦符号；再利用两角和正切公式及诱导公式化简计算． 【小问1详解】 因为角 的终边与单位圆交于点，所以． 由，得． 又角 的终边落在第二象限，所以，即． 所以，． 因此． 【小问2详解】 由诱导公式得，，． 所以原式化为． 将，，代入，得分子为，分母为． 所以原式的值为． 16. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第 个月 1 2 3 4 5 会员人数 （万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：① ， ② ， ③ . （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【答案】（1）最符合实际的函数模型为① ，理由见解析 （2）函数解析式为 ，预测第23个月会员人数超过15.5万 【解析】 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组 代入求出 即可求得解析式，再求出 时的 值即可. 【小问1详解】 由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随 增大而减缓， 对于模型②： ，当 时无意义，不符合题意； 对于模型③： ，会员人数增速随 增大而变快，不符合题意； 对于模型①： ，会员人数增速随 增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型① . 【小问2详解】 由（1）知选择模型①： ， 将数据组代入 ，得，解得 ， 所以 ， 令 时，即 ，解得 ， 所以所求函数模型的解析式为 ，预测第23个月会员人数超过15.5万. 17. 已知函数且． （1）若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数 的值； （2）若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 【答案】（1）或 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）按 与 分类讨论指数函数的单调性，求出最值，利用条件列方程，可得答案； （2）代入点，可得，①利用指数函数的单调性可得答案；②将不等式等价转化，设，判断其在上的单调性，结合，利用函数单调性解不等式. 【小问1详解】 当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得：，解得：； 综上， 的值为或； 【小问2详解】 依题意，由得，即，则. ①因，且在 上是增函数， 所以； ②因，则（其中 ）， 由可得，即， 令，则在上单调递增，且， 所以不等式等价于 ， 故原不等式的解集为. 18. 设函数，其中 且，且. （1）当时，求 的定义域； （2）当时，利用定义法证明： 在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对数函数定义域问题，需要真数位置大于零. （2）定义法证明函数单调性，需讨论底数和1的大小关系. （3）存在问题转化为函数零点问题，需结合零点存在性定理解题. 【小问1详解】 当时，. 根据对数函数的定义可知，即， 故 的定义域为. 【小问2详解】 当时，，设 的定义域为 . 在 上任取，，且，， 当 时，指数函数在上单调递增. 由于，则，. 又 ，故在区间 上单调递增， 所以，即. 故当 时， 在 上单调递增； 当 时，指数函数在上单调递减. 由于，则，. 又 ，故在区间 上单调递减， 所以，即. 即当 时， 在 上单调递增. 综上，当 或 时，对于任意，且，均有， 故 在其定义域内单调递增. 【小问3详解】 令，则，即，即， 故原题等价于关于 的方程在区间上有解. 设. 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减， 又由 在区间上有解及零点存在性定理知， 即，又且，解得. 所以，若存在，使得，则. 19. 利用两角和的正弦公式推导：，可以得到二倍角正弦公式：. （1）已知 为锐角且，求的值； （2）利用两角和的余弦公式等推导如下的二倍角余弦公式：； （3）由二倍角公式可知，可表示为的二次多项式. 一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式. 运用探究切比雪夫多项式的方法证明： ①； ②． 【答案】（1） （2）， 又因为，所以. （3）证明： 第①问： . 由切比雪夫多项式可知，， 即. 令，可知； 第②问： 根据①可知：，可得， . 又，所以， 所以. 令，可知， 展开即可得出， 所以，解方程可得. 因为，所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）运用正弦的二倍角公式求解即可； （2）运用余弦的两角和公式求解即可； （3）①根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得，根据定义即可；②，，平方相加，即可得出，进而求出. 【小问1详解】 因为 为锐角且，所以， . 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建泉州培元中学高一年上学期12月份月考数学试卷 本试卷共19题，满分150分，共4页，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知函数与的定义域分别为集合 与 ，则的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 把表示成的形式，且使，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知，且 为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知的最小值为2，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. ， B. 在 中， C. ， D. “”是“ 是第一象限角”的必要不充分条件 10. 若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（ ） A. 扇形的圆心角为2 B. 扇形的弧长为6 C. 扇形的半径为6 D. 扇形圆心角所对弦长为 11. 已知函数的定义域为 ，且满足，当 时，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在 上单调递增 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______. 13. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集_____ 14. 已知函数是偶函数，则 ____________，函数对于恒有成立，函数，则函数值域是__________________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 以轴为始边作终边落在第二象限的角 ，且 与单位圆交于点． （1）求、的值，并求的值； （2）化简求值：． 16. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第 个月 1 2 3 4 5 会员人数 （万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：① ， ② ， ③ . （1）选出最符合实际的函数模型，并说明理由； （2）选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 17. 已知函数且． （1）若函数在区间上的最大值比最小值大，求实数 的值； （2）若函数的图象过． ①比较与的大小； ②解不等式：． 18. 设函数，其中 且，且. （1）当时，求 的定义域； （2）当时，利用定义法证明： 在定义域内单调递增； （3）若存在，使得，证明：. 19. 利用两角和的正弦公式推导：，可以得到二倍角正弦公式：. （1）已知 为锐角且，求的值； （2）利用两角和的余弦公式等推导如下的二倍角余弦公式：； （3）由二倍角公式可知，可表示为的二次多项式. 一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式. 运用探究切比雪夫多项式的方法证明： ①； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $