精品解析：山东省日照实验高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

实验高中高二6月月考卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题 ： ， ，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设函数则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数单调递增，且，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数， ，若曲线 在点 处的切线是曲线 的所有切线中斜率最小的，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知 ，，当 时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前n项和为，设，其中，令，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. D. 数列为等差数列 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_______． 13. 已知数列满足，则数列前项和为_______． 14. 设，，，…，，其中，则的零点个数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围； （2）当a <0时，解关于x的不等式． 16. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围． 18. 已知数列的前项和为，（为常数）对于任意的恒成立． （1）若 ，求的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，关于 的不等式有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1） ，求； （2）对于集合，若对任意 都有 ，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若 ，．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验高中高二6月月考卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题 ： ， ，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则进行求解. 【详解】原命题 为 ， ， 因此其否定 为 ， . 2. 设函数则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出和的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】，，故， 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 4. 若为等差数列，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 函数单调递增，且，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分段函数的单调性求 的范围，然后在解抽象不等式. 【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增， 于是 单调递增时只需，则 ； 又因为在上单调递增， 且，则，即 于是. 故选：C 6. 已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若函数 的图象关于点对称，则对定义域内任意满足 ，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则 ，即 ，解得 ，故函数定义域为 . 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证 的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足 ，故函数 的图象的对称中心为 . 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质 代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 7. 已知函数， ，若曲线 在点 处的切线是曲线 的所有切线中斜率最小的，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 的所有切线的斜率即为（ ）的值域，由题意知当时取得最小值，由基本不等式可知，当且仅当即时取得最小值，可得 【详解】因为，定义域为， 所以， 由导数的几何意义可知：当时取得最小值， 因为 ， ，所以， 当且仅当即时取得最小值， 又因为时取得最小值，所以， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当时取得最小值，再利用基本不等式求取得最小值时满足即，即可求出 的值. 8. 已知 ，，当 时，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并确定其单调性，利用两个函数有相同零点列式，再利用导数求出最大值即可. 【详解】令函数， 而 ，函数在 上都单调递增，则函数 在 上单调递增， 当从大于0的方向趋近于0时， ；当时，，则函数 有唯一零点， 函数在 上单调递增，当时，恒成立， 当时，，不符合题意，因此，函数有唯一零点， 函数中，依题意，，则 ，， 由当 时，恒成立，得函数与函数 有相同零点， 则，即，于是， 令函数，求导得，当且仅当 时取等号， 函数在 上单调递增，， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选:D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，利用函数的单调性可得A正确；再利用函数的运算性质得B正确；利用不等式放缩可得C正确，D正确. 【详解】由得, 对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确 对于选项B：，故B错误 对于选项C:因为，，所以，由B得 ，即， 故C正确 对于选项D：由B得 ，所以， 即，故D正确 故选：ACD 11. 已知数列的前n项和为，设，其中，令，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. D. 数列为等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】由求判断A，根据新定义及二进制判断BC，根据二进制意义及等差数列的定义判断D. 【详解】对于A，当 时，，当时，，所以，故A错误； 对于B，，其中， 则表示二进制中1的个数，，则，故B正确； 对于C，设 的二进制为，则 的二进制为后加3个0（左移3位）， 的二进制为后接101（因），原末3位若为000，现变为101， 新增2个1，故； 的二进制为B后加2个0（左移2位），的二进制为B后接11（因​），原末2位若为00，现变为11，新增2个1，故，两者相等，故C正确； 对于D，因为，所以，， 所以， 因为.的二进制表示为，所以， 则，因为， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故D正确． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】通过赋值求得的值. 【详解】令，则. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则数列前项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求解新数列的前项和. 【详解】已知①. 当 时，代入①式得 . 当时，有②. ①-②得： ∵ ，∴ 两边同除以得 （），且 时也满足该式，故对任意， . ∴ . 设数列的前项和为，则 【点睛】方法归纳：对于形如的递推式，常通过作差法消去前项求通项；裂项相消法适用于通项可拆为两项差的数列求和，相消后剩余首尾对称的项. 14. 设，，，…，，其中，则的零点个数为_____． 【答案】2027 【解析】 【分析】分析 的表达式规律，通过递推归纳出 的分段形式与零点、分段区间的规律，再结合函数的单调性、值域来确定交点数量. 【详解】∵ ，， ∴ 归纳可得 的性质： 1. 基本属性 ∵ 所有迭代均为绝对值变换，∴ 定义域为 ，值域为，图像连续无间断. ∵ 关于直线对称，迭代操作不改变对称轴，∴ 关于直线对称. 2. 零点分布 令，得，逐层递推得， ∴ 零点为，即，共个零点，相邻零点间距为，均关于对称. 3. 分段表达式与图像形态 ① 当时，迭代后绝对值均可直接展开，，为斜率为的射线，过点向右上方无限延伸； ② 当时，迭代后绝对值均直接展开，，为斜率为 的射线，过点向左上方无限延伸； ③ 当时，任意相邻零点构成区间（ 为偶数），区间内为开口向下的V形折线，顶点为区间中点 ，纵坐标恒为. 4. 整数点函数值 当为整数时，若为偶数，则；若为奇数，则. 要求的零点个数，即求与的交点个数，其中，对数底数为，分区间讨论： ① 当时， ∵ ，单调递减，值域为 ， 在内单调，值域为， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. ② 当时， ∵ ，单调递增，值域为 ， 在内为分段线性函数，值域为 ，每一段斜率交替为，与单调递增的对数函数共有个交点. ③ 当时， ∵ ，单调递增，斜率为， ，单调递增，且导数为 ， 当时， ， 当足够大时，线性函数增长速度远快于对数函数，故 ， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. 综上，交点总个数为 ，即的零点个数为. 【点睛】方法归纳：本题属于迭代函数与对数函数的零点交点问题，核心解题思路是先归纳迭代函数的周期性、值域、单调性特征，再结合另一函数的单调性与增长速度，分区间逐一判断交点个数，利用归纳推理简化复杂迭代的分析过程. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围； （2）当a <0时，解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当 时，； 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为对任意的恒成立，再对 进行分类讨论； （2），求出方程的两根为，再比较两根的大小，进行不等式求解. 【详解】（1）对任意的恒成立， 当时，对任意的恒成立，所以成立； 当； 综上所述：. （2）不等式， 方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即 时，不等式的解集为； 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题及一元二次含参不等式的求解，考查分类讨论和数形结合思想，求解过程中注意分类讨论的标准为比较两根的大小. 16. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可； 利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由有：, 所以数列是以2为公比，首项为 的等比数列， 所以，即 因为，当 时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 【小问2详解】 由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间和极值； （2）若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值 ，极小值； （2） 【解析】 【分析】 将代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可； 问题等价于存在，，设，利用导数求函数在上的最大值，进而可得出答案． 【小问1详解】 若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值 ，当时取得极小值； 【小问2详解】 因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为 ，所以存在，， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， 故a的取值范围为 18. 已知数列的前项和为，（为常数）对于任意的恒成立． （1）若 ，求的值； （2）证明：数列是等差数列； （3）若，关于 的不等式有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围． 【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）将 代入已知等式即可求得结果； （2）利用可得到递推关系，将换成后两式作差可得到，从而证得结论； （3）将不等式化为，令，则不等式的正整数解只有两个，通过分析可知除 以外只能有个 符合要求；当 时，通过导数可求得，分别讨论、和时 的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果. 【详解】（1）当 时，，，解得：； （2）由（1）知：， ，， ，则， ，又，，， ∴对任意，成立，数列是等差数列； （3）由（2）可知：，即， 即，， 令，题目条件转化为满足不等式的正整数解只有两个， 若符合，则，即 ；若符合，则，； 若 符合，则为任意实数，即除 以外只能有个 符合要求. 当 ，时，，解得：， 令，则， 令，则， 当 时，恒成立，在上单调递增， ，， 当时，至少存在、、满足不等式，不符合要求； 当时，对于任意 ，都不满足不等式，也不满足， 此时只有、满足； 当时，只有 符合； 故，即，解得：或； 的取值范围是. 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题. 19. 已知函数的定义域是．对于，定义集合． （1） ，求； （2）对于集合，若对任意 都有 ，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若 ，．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有． 【答案】（1） （2）因为函数是偶函数，所以对任意 ， ， 对任意 ，若，即 ，则 ， 所以，所以对任意 ，是对称集，必要性成立， 若对任意 ，是对称集，因为对任意 ，， 所以，即 ①，又，所以， 即 ②，由①②可得，对任意 ， ， 所以函数是偶函数，充分性成立，综上所述， 函数是偶函数的充要条件是对任意 ，是对称集，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解. （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性. （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 由定义可得： ， 因为 是定义域上的减函数，所以 ， 又因为 ，所以  . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意 ，都有，所以若， 则，对任意 ，因为 ，所以， 又因为，所以，即若 ， 则 ，所以 ， 所以 在 上单调不减，所以对任意 ， 恒成立， 当 时， ，对任意成立， 当 时，恒成立，令，， 令 ，则，所以 在 单调递减， 上单调递增， 在处取得最小值 ，所以 ， 当 时，恒成立，若 ，不等式恒成立， 若 ，当时， ， ， 不满足条件， 综上所述： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $