精品解析：山东济南西城实验中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性学情检测数学试题

济南西城实验中学 高二阶段性学情检测数学试题 2026.06 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 函数在上的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析导数的符号变化，由此可得出结论. 【详解】对于函数，， 因为，当时， ，当时， . 因此，函数在上的极大值点为. 故选：B. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由以及可得， 由于，故，， 故选：D 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为 在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则 在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 4. 英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取 ，则，此时称该式为函数在处的n阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将， ，， ，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ） A. 0.83 B. 0.46 C. 1.54 D. 2.54 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用，即可求解. 【详解】， 因为， 所以，近似值为 ， 所以的近似值为 . 故选：C 5. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.68 C. 2.78 D. 2.88 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、代入线性回归方程求出，得到线性回归方程可得答案. 【详解】由题意，得，， 则，则， 则当广告投入为10万元时，收益的预测值为万元． 故选：B 6. 已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ） A. 58 B. 71 C. 85 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，都比大，所以可能取或，分 ，和三类进行讨论. 【详解】根据题意，都比大，所以可能取或， 当 时，有种选法，剩余数字中最大， 有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，有种选法，剩余数字中最大， 而，有种选法，共有种， 当时，，，有种选法， 剩余数字，只有1种，共有 种， 则满足要求的排列的个数为种. 故选：B 7. 若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于  服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量 ，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A：相关系数的取值范围为，其绝对值越接近1，表示两个变量的线性相关程度越强； 越接近0，线性相关程度越弱，这是统计学中的基本结论，因此A正确； 对于B：已知，则均值， 由正态分布的对称性，得：，又已知， 所以因此B正确； 对于C：上四分位数的位置为， 故上四分位数为第8个数，因此C错误； 对于D：经验回归方程为，样本中心点为， 回归直线必过样本中心点，代入得， 解得，因此D错误. 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得，令可得，由结合已知条 件即可求值，可判断选项A；根据可判断选项B；由 结合的值可判断选项C；对已知条件求导再令可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：令，可得 ，① 令，得.② 因为的展开式中的系数为，所以 .③ 由①，②，③，得. 因为， 所以，得，故选项A正确.； 对于选项B：因为，所以选项B错误； 对于选项C：因为所有项系数和为，故选项C正确. 对于选项D： 因为， 两边求导可得： 令，则，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且 ，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时， ，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中的常数项为______（用数字作答）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以二项式展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 若曲线在点 处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为 ； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】 ①. 24 ②. 112 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可． 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法， 第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法， 第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法， 由分乘法原理可知共有种不同的选法； 先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5， 所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大， 所以选中方格中的4个数之和的最大值为. 故答案为：24；112． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）8 （2）－2 （3）－64 【解析】 【小问1详解】 令，则，则原式转化为， 则，所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得，所以＝－2； 【小问3详解】 由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 16. 某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下： （1）估计生产线生产的零件的平均尺寸； （2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润. 【答案】（1） （2）100元 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可求解； （2）次品的尺寸范围可得生产线生产的产品次品率，设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，由可得期望，从而得到销售生产线上的一箱零件获利. 【小问1详解】 生产线生产的产品平均尺寸为： ； 【小问2详解】 次品的尺寸范围，即， 即，故生产线生产的产品次品率为：， 设生产线上的一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为， 故 设销售生产线上的一箱零件获利为元， 则（元）， 所以这箱零件销售后的期望利润为100元. 17. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中 为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出，，，，从而可求解； （2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，， ，， . ， 故经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联. 则. 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关. 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）求证： 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入参数 ，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程. （2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定函数单调区间. （3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明. 【小问1详解】 当时， ，又 ，故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为 当，即 时，，函数在单调递减 当，即 时， 若 ，令，得， 于是函数在和单调递减，在单调递增； 若，令，得（舍）. 函数在上单调递增，在单调递减. 综上，当 时，在上单调递减 当 时，在和上单调递减， 在上单调递增. 当时，在上单调递增，在单调递减． 【小问3详解】 （3）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 所以当时， 即，所以 将代入上式， 可得，即 分别取， 于是． 将上述个式子左右分别相加， 可得 . 19. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得. 【小问2详解】 记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对， 所以，，，，， 由全概率公式可得. 所以，该学生能猜对的概率为. 【小问3详解】 由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为， 记得分为的概率为，且，， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 . 因此，丁组获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高二阶段性学情检测数学试题 2026.06 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 函数在上的极大值点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 英国数学家布鲁克·泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取 ，则，此时称该式为函数在处的n阶泰勒公式（其中，）.计算器正是利用这一公式将， ，， ，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ） A. 0.83 B. 0.46 C. 1.54 D. 2.54 5. 为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.68 C. 2.78 D. 2.88 6. 已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ） A. 58 B. 71 C. 85 D. 96 7. 若函数既有极大值也有极小值，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量 ，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数 的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量 服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为11 D. 对具有线性相关关系的变量 ，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且 ，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中的常数项为______（用数字作答）． 13. 若曲线在点 处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 16. 某厂生产的某种零件的尺寸大致服从正态分布，且规定尺寸为次品，其余的为正品.生产线上的打包机自动把每5件零件打包成1箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利50元，每销售一件次品亏损100元.现从生产线生产的零件中抽样20箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下： （1）估计生产线生产的零件的平均尺寸； （2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润. 17. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据 （万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与 之间具有相关关系，求 关于的经验回归方程； （2）为了检验 ， 两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在 ， 两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用 设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用 ， 两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中 为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）求证： 19. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组 人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下:比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有 个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛，第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙 个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为、、. （1）现从乙组中任选一名学生进行歌曲试猜，记 首歌曲中猜对的歌曲数为 ，求随机变量 的数学期望； （2）若从甲、乙、丙 个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有 个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球.若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自丁组，试估计丁组获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $