2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（十八）（人教B版选择性必修第三册第六章 导数）

**基本信息** 聚焦导数及其应用，通过单选、多选、填空、解答题系统覆盖导数计算、极值最值、切线斜率等核心考点，强化知识逻辑与解题能力，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|考查函数最值、导数计算、导数定义、瞬时速度|从导数概念到几何意义，构建“定义-计算-应用”逻辑链| |多选题|2题|分析函数极值点、对称中心、零点及导函数图像与单调性关系|结合函数性质深化导数应用，体现数形结合思想| |填空题|2题|求解区间最值、切线斜率|强化导数在几何与代数中的直接应用| |解答题|2题|极值求解及不等式恒成立/存在性问题|综合运用导数研究函数性质，提升数学表达与问题解决能力|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十八） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第六章 导数及其应用。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数在区间上的最大值和最小值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 3.设是可导函数，且，则(    ) A. B. C. D. 4.若一质点的位移单位：关于时间单位：的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点 6.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则(    ) A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.函数在区间上的最大值为          ． 8.已知函数，且函数在点处的切线的斜率是，则           四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题5分 已知函数． 求的极值 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 10.本小题5分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十八） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数在区间上的最大值和最小值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 本题考点是导数法求函数最值，属于基础题． 求导，用导数研究函数在闭区间上的单调性，利用单调性求函数的最值． 【解答】 解：令，， 故函数在上是增函数，在上是减函数， 又，，． 故最大值、最小值分别为，； 故选：． 2.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，故，解得，故，， 故，故选：． 3.设是可导函数，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为是可导函数，且， 则，故． 故选：． 4.若一质点的位移单位：关于时间单位：的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设，则，导数为， ， ，则， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数，则(    ) A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而可判断选项A，，，结合函数对称性的定义可判断选项C． 【解答】 解：对于选项：易知的定义域为， 可得，故选项A正确； 对于选项：当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，在取得极大值， 此时，， 所以只有一个零点，故选项B正确，选项D错误； 对于选项：因为， 所以关于对称，故选项C正确． 故选：． 6.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则(    ) A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC  【解析】解：由图可知，当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 在、处取得极大值，在取得极小值 故A错误，B正确，C正确，D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.函数在区间上的最大值为          ． 【答案】  【解析】解： ， 当 或 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， 所以 在区间 上的最大值为 ． 故答案为： ． 8.已知函数，且函数在点处的切线的斜率是，则           【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题根据导数的几何意义求解即可． 【解答】 解：由题意，， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求的极值 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：由函数，可得 ， 令，即，解得 令，即，解得， 故  在 上单调递增，在上单调递减， 所以当  时，  取极小值  ，无极大值； 由  得   ，故  ， 构造函数  则  ， 令  ，则  ， 故当  时，  ，  单调递增，   时，  单调递减， 故当  取极小值也是最小值，  ， 所以  ，即 ， 故的取值范围为 【解析】本题主要考查利用导数求函数的极值以及利用导数研究函数的恒成立问题，属于基础题． 根据已知，先进行求导，根据导数求解单调性，即可求解极值； 将恒成立问题参数分离，构造函数  即可求导求解最值求解． 10.本小题5分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】解：由题得：， 结合题意可得 解得，经检验符合题意， 故， ． 令，解得或， 令，解得， 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值为， 的极小值为； 由可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，所以， 所以要使不等式能成立，则． 所以， 故取值范围是．   【解析】本题考查导数在求极值和最值问题中的综合应用，属于基础题． 利用题中条件解出的值，进而求出极值点即可； 利用导数求出函数在上的最小值即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第五章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，且，，则首项等于(    ) A. B. C. D. 2.记为等差数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”秤锤与“衡”秤杆配合使用，用于测量物体的重量古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套如图所示已知十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是 6.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等差数列前项和为，，，          ． 8.已知等差数列中，，，则的值等于          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 10.本小题分 在数列中，，． 由递推公式求，，的值，并猜想的通项公式； 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $