7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的概念，涵盖数系扩充、复数定义、分类及相等条件等核心知识点。课堂导入通过“x²+1=0在实数集无解”的问题情境，类比数系扩充过程引入虚数单位i，搭建从实数系到复数系的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以数学抽象素养为导向，通过课堂合作探究中的典例分析（如参数讨论复数的实虚、纯虚情况）和定向训练，结合思维导图梳理知识结构。例如典例2通过方程组解决复数分类问题，培养逻辑推理能力，复数相等应用体现数学语言表达。学生能深化概念理解，教师可借助系统教学流程提升效率。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 第七章　复数 7.1　复数的概念 7.1.1　 数系的扩充和复数的概念 素养目标 思维导图 1.在问题情境中了解数系的扩充过,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、求根)在数系扩充过中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(数学抽象) 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.(数学抽象) ‹#› 课前自主学习 问题1.我们知道,x2+1=0在实数集中无解.那能否类比从自然数集到实数集的扩充过,通过引进新数而使实数集得到扩充,从而使这个有解吗? 提示:为了解决x2+1=0这样的在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是x2+1=0的解,即使得i2=-1. 问题2.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零? 提示:当且仅当a=b=0时表示零. (2)实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R⫋C. 用图形语言描述: ‹#› 问题3.由3>2能否推出3+i>2+i?两个实数能比较大小,那么两个复数一定能比较大 小吗? 提示:由3>2不能推出3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数 不是实数时,不能比较大小. 【核心概念】 1.数系的扩充与复数的概念 (1)复数的定义 形如_____________的数叫做复数,其中i叫做__________,满足i2 = ____,体复数所 构成的集合C叫做________. 虚数单位 -1 复数集 a+bi(a,b∈R) ‹#› (2)复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=_____________,这一表示形式叫做复数的__________, a与b分别叫做复数z的______与______. (3)复数相等 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔__________. 2.复数的分类与数系表 a+bi(a,b∈R) 代数形式 实部 虚部 a=c且b=d ‹#› 课堂合作探究 探究点一　复数的有关概念与表示 【典例1】(1)下列四种说法正确的是(　　) A.如果实数a=b,那么a-b+(a+b)i是纯虚数 B.实数是复数 C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数 D.任何数的偶数次幂都不小于零 【思维导引】根据复数的概念及分类,逐项判定,即可求解. 【解析】选B.对A,当a=b=0时,则a-b+(a+b)i是实数,故A错误; 对B,根据复数定义可知,故B正确; 对C,如果a=b=0,那么z=a+bi是实数,故C错误;对D,虚数i2=-1,故D错误. √ ‹#› (2)复数z=(2-)i的虚部为(　　) A.2 B.-　 C.2- D.(2-)i 【思维导引】根据复数虚部的知识求得正确答案. 【解析】选C.依题意,复数z=(2-)i的虚部为2-. √ ‹#› 【类题通法】 判断与复数有关的命题是否正确的策 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. ‹#› 【定向训练】 1.下列复数中,满足x2+2=0的是(　　) A.±1 B.±i C.±i D.±2i 【解析】选C.因为x2=-2=2i2,所以x=±i. 2.设i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,则实数a= (　　) A.5 B.-5 C.3 D.-3 【解析】选A.因为复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,所以3+2a=-(2-3a),解得a=5. √ √ ‹#› 探究点二　复数的分类与参数问题 【典例2】(一题多问) 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),解决下列问题. (1)若复数z是实数,求实数a的值; (2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围; (3)是否存在实数a使复数z是纯虚数?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由; (4)是否存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0?若存在,求出实数a的值或范围;若不存在,请说明理由. ‹#› 【问题解读】(1)由复数的分类可得 ; (2)由复数的分类可得; (3)根据纯虚数的概念即得; (4)复数不能比较大小,能比较大小的是实数. ‹#› 【解析】(1)若复数z是实数, 则 即所以a=6; (2)若复数z是虚数, 则即 所以实数a的取值范围为{a|a≠±1,a≠6}; ‹#› (3)不存在实数a使z是纯虚数.理由如下: 若复数z是纯虚数,则即此时无解, 故复数z不是纯虚数. (4)因为虚数不能比较大小,能比较大小的是实数. 故若存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0,则得复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R)为实数,由问题(1)知a=6时z为实数,而当a=6时,z为0,不符合z>0,所以不存在实数a满足题意. ‹#› 【题后反思】只有实数才能比较大小,若一复数能比较大小,则该复数必为实数. 【类题通法】 解决复数分类问题的法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的(不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. ‹#› 【定向训练】 1.已知a,b∈R,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.充分性:当b≠0时,显然a+bi为虚数,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充分条件;必要性:复数a+bi为虚数,则必定b≠0,则“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的必要条件,综上所述,“b≠0”是“复数a+bi为虚数”的充要条件. √ ‹#› 2.(2025·扬州高一检测)已知复数z=(m2-m-6)+(m2-4)i.(其中i为虚数单位,m为实数) (1)若z为纯虚数,求m的值; (2)若z<0,求m的值. 【解析】(1)若z为纯虚数,则m2-m-6=0且m2-4≠0,所以m=3. (2)若z<0,则m2-m-6<0且m2-4=0,所以m=2. ‹#› 探究点三　复数相等及其应用 【典例3】(1)(2022·国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 (2)①已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求x,y的值; ②若z1=3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数n,m的值分别为多少? 【思维导引】(1)根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值. (2)利用复数相等直接列式计算作答. √ ‹#› 【解析】(1)选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1. (2)①因为x,y∈R,2x-1+(y+1)i=x-y+ (-x-y)i,所以 解得所以 ②由已知得 解得或 ‹#› 【类题通法】 复数相等问题的解题技巧 (1)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. (2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个复数不能比较大小. ‹#› 【定向训练】 1.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i,则z=　　　　　.  【解析】由题知,复数z=x+yi(x,y∈R),且2x+y+i·log2x-8=(1-log2y)i, 因为2x+y+i·log2x-8=2x+y-8+log2x·i=(1-log2y)i, 所以,即, 解得或,所以z=1+2i或z=2+i. 答案:1+2i或2+i ‹#› 2.求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R. 【解析】由复数相等的充要条件可知, 解得 ‹#› 课堂学业达标 1.已知复数z=-i,则z的虚部为(　　) A.1 B.i C.-1 D.-i 【解析】选C.复数z=-i的虚部为-1. √ ‹#› 2.给出下列命题: ①若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=±1; ②1+i2是虚数; ③复数m+ni的实部一定是m. 其中真命题的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选A.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以①错误;1+i2=1-1=0是实数,所以②错误;复数中m,n未指明是实数,故③错误. √ ‹#› 3.已知x是x2=-1的解,则1+x= (　　) A.1+i B.1-i C.1±i D.0 【解析】选C.由x2=-1,可知x=±i, 所以1+x=1±i. √ ‹#› 4.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当实数m为何值时, (1)z是实数? (2)z是纯虚数? 【解析】(1)由题意可得m2-m-2=0, 解得m=-1或2. (2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-2≠0, 所以m=2或-3,且m≠-1且m≠2, 所以m=-3. ‹#› $