7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 要点整合夯基础 课堂达标练经典 课时作业 典例讲解破题型 温 示 提 馨 自我检测：请完成课时作业14 PPT文稿 （点击进入） [课标解读]1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用.2.在实际问题中感受人类理性思维的作用以及数与现实的联系.3.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． [素养目标] 水平一：1.能从教材实例中了解引进虚数单位i的必要性以及数集扩充的过程．(数学抽象)2.能从教材中理解由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念．(数学抽象) 水平二：能够掌握复数代数形式的表示方法以及理解两复数相等的充要条件．(逻辑推理) a＋bi(a，b∈R) 知识点一　复数的概念 [填一填] 1．复数与复数集 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ， 所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝ ，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的 ． 虚数单位 全体复数 实部与虚部 [答一答] 1．如何理解虚数单位i? 提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立． 2．复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？ 提示：不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni. 2．复数相等 a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当 . a＝c且b＝d [答一答] 3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0时为虚数，这种说法正确吗？ (2)形如bi的数一定是纯虚数吗？ 提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z＝0是实数，而不是虚数． (2)不一定，在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数，当b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b∉R时，也不是纯虚数． 4．两个复数能否比较大小？ 提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可能． 类型一　复数的概念 [例1]　分别指出下列复数的实部和虚部． 3＋2i，eq \r(2)－i，－3i＋5，eq \f(\r(3),2)，－5i，i2,0. [分析]　先把复数写成a＋bi(a，b∈R)的形式，然后根据实部和虚部的定义解题． [解]　3＋2i的实部是3，虚部是2. eq \r(2)－i＝eq \r(2)＋(－1)i，故eq \r(2)－i的实部是eq \r(2)，虚部是－1. －3i＋5＝5－3i，故－3i＋5的实部是5，虚部是－3. eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)＋0i，故eq \f(\r(3),2)的实部是eq \f(\r(3),2)，虚部是0. －5i＝0－5i，故－5i的实部是0，虚部是－5. i2＝－1＝－1＋0i，故i2的实部是－1，虚部是0. 0＝0＋0i，故0的实部和虚部都是0. 1．复数的实部与虚部的确定方法 首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 2．判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． [提醒]　解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质． [变式训练1]　(1)复数－2i的实部与虚部分别是(　　) A．0,2　　　　　　　　　 B．0,0 C．0，－2 D．－2,0 C 解析：－2i的实部为0，虚部为－2. (2)给出下列几个命题： ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ⑥两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为 . 2 解析：因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i，故④错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑤错；⑥正确． 类型二　　复数的分类 [例2]　已知复数z＝eq \f(a2－7a＋6,a2－1)＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [分析]　根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解． [解]　(1)当z为实数时， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－5a－6＝0，,a2－1≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1或a＝6，,a≠±1，)) ∴当a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0，,a2－1≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≠－1且a≠6，,a≠±1.)) ∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0，,a2－1≠0，,a2－7a＋6＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≠－1且a≠6，,a≠±1，,a＝6或a＝1.)) ∴无解，∴不存在实数a使z为纯虚数． 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解； 2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解； 3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0. [变式训练2]　已知m∈R，复数z＝eq \f(mm＋2,m＋1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数． 解：(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且eq \f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m＝－3； (2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且eq \f(mm＋2,m－1)有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3； (3)要使z为纯虚数，需满足eq \f(mm＋2,m－1)＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. 类型三　　复数相等 [例3]　已知eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0，求实数x的值． [分析]　先利用复数相等的定义列出关于x的实数方程组，然后解方程组求x的值． [解]　∵x∈R，∴由复数相等的定义得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3或x＝－2且x≠－1，,x＝3或x＝－1.)) ∴x＝3. 1．解决复数相等问题的基本步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式； (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． 2．复数比较大小问题的求解方法 一般地，两个复数是不一定能够比较大小的，若给出的两个复数有大小关系，则说明这两个复数首先已经是实数，然后才有相应的大小关系．例如：如果a，b，c，d∈R，且a＋bi>c＋di，那么必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝0，,d＝0，,a>c.)) [变式训练3]　求解下列各题； (1)若(4x－2y)i＝x＋1，求实数x，y的值； (2)若不等式m2－(m2－2m)i<9＋eq \f(m－2,m)i成立，求实数m的值． 解：(1)由两个复数相等的充要条件可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝x＋1，,4x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)) 即实数x，y的值分别为－1，－2. (2)依题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,\f(m－2,m)＝0，,m2<9，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0或2，,m＝2，m≠0，,－3<m<3，))解得m＝2， 即实数m的值等于2. 1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D 解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3， 所以a＋b＝4. 2．若x，y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B 解析：当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数． 3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 C 解析：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A，B，D. 4．以3i－eq \r(2)的虚部为实部，以3i2＋eq \r(2)i的实部为虚部的复数是 . 3－3i 解析：3i－eq \r(2)的虚部为3,3i2＋eq \r(2)i＝－3＋eq \r(2)i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i. 5．实数m分别为何值时，复数z＝eq \f(2m2＋m－3,m＋3)＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0. 故若使z为实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m－18＝0，,m＋3≠0，)) 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数． (2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0. 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z为纯虚数， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m2＋m－3＝0，,m＋3≠0，,m2－3m－18≠0，)) 解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1. 所以当m＝－eq \f(3,2)或m＝1时，z为纯虚数． ——本课须掌握的三大问题 1．数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系． 2．虚数单位i性质的两个关注点 (1)i2＝－1的理解：并没有规定i＝±eq \r(－1)还是i＝eq \r(－1)或i＝－eq \r(－1)，在今后的学习中，我们将知道eq \r(－1)＝±i，但不能说i＝±eq \r(－1). (2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致． 3．实部与虚部的要求 若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部． $