2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（十七）（人教B版选择性必修第三册第五章 数列）

**基本信息** 聚焦数列核心知识，通过基础计算、综合辨析及实际应用题型，系统覆盖等差等比定义、公式及递推关系，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列基础|单选1-2、5-8|基本量计算、前n项和最值分析|从定义到通项及前n项和公式的应用推导| |等差与等比综合|单选3-4、多选6|充要条件判断、实际情境应用|概念间逻辑联系与数学建模| |递推数列应用|解答9-10|递推求通项、数列求和|从具体递推到抽象通项的推理过程|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第五章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，且，，则首项等于(    ) A. B. C. D. 2.记为等差数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”秤锤与“衡”秤杆配合使用，用于测量物体的重量古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套如图所示已知十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是 6.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等差数列前项和为，，，          ． 8.已知等差数列中，，，则的值等于          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 10.本小题分 在数列中，，． 由递推公式求，，的值，并猜想的通项公式； 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册第五章 数列。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，且，，则首项等于(    ) A. B. C. D. 2.记为等差数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”秤锤与“衡”秤杆配合使用，用于测量物体的重量古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套如图所示已知十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是 6.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等差数列前项和为，，，          ． 8.已知等差数列中，，，则的值等于          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 10.本小题分 在数列中，，． 由递推公式求，，的值，并猜想的通项公式； 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十七） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知是等差数列，且，，则首项等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：是等差数列，且，， 则，解得，． 故选：． 2.记为等差数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由已知条件可知，和， 可列出以下方程组：， 解得：， 根据等差数列前项和的公式， 可得． 故选B． 3.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等差数列的判定，充分、必要条件的判断，为基础题． 【解答】 解：由，得，且，则， 所以是公差为的等差数列，反之不成立． 故“”是“是等差数列”的充分不必要条件． 4.权是中国古代度量衡器具之一，“权”秤锤与“衡”秤杆配合使用，用于测量物体的重量古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套如图所示已知十枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为的后项成等比数列，且，， 设其公比为，则，解得，舍去， 所以，， 又因为的前项成等差数列， 所以，解得，所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最大自然数是 【答案】AC  【解析】解：对于选项A，由，故与异号， 又由于，故，，从而，A正确； 对于选项B，，由知，，，从而当时，， 当时，，故当时，取得最大值，B错误，C正确； 对于选项D，由，得到，故，故D错误． 故选：． 6.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查等比数列的前项和公式，属于基础题． 由题设等比数列的公比为，且，进而由题可得到关于，的方程组，解得，的值，即可得出结果． 【解答】 解：由题设等比数列的公比为，且， 则，得，解得，． 故本题选BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.等差数列前项和为，，，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列的性质的简单应用，属于基础试题． 由等差数列的性质可知，，，成等差数列，代入即可求解． 【解答】 解：等差数列中，， 由等差数列的性质可知，，，成等差数列， 所以， 所以． 故答案为： 8.已知等差数列中，，，则的值等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质，属于基础题． 设等差数列的公差为，由已知条件求出的值，又由，计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，设等差数列的公差为， 若，，则有， 解可得：， 则； 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 【答案】解：设等差数列的公差为， 因为， 所以， 又，所以，解得， 所以； ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 10.本小题分 在数列中，，． 由递推公式求，，的值，并猜想的通项公式； 求证：数列是等差数列并求数列的通项公式． 【答案】解：数列中，，． 整理得常数， 解得，，， 故． 证明：由， 整理得当时，． 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． 可得， 所以．  【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 直接利用递推关系求出数列的项； 通过将所给的式子变形得到数列是以为首项，以为公差的等差数列，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $