期末专题复习2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦概率与三角形两大核心专题，以题载法构建“概念-计算-应用”逻辑链，强化数据意识与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率初步|10选择+8填空+4解答|古典概型公式法、频率估计概率、几何概型面积比|从事件分类到概率计算，再到生活应用（如柑橘损坏率）| |三角形及轴对称|10选择+8填空+6解答|全等判定（AAS/SAS）、辅助线构造、角度转化|从轴对称性质到三角形全等，再到综合证明与计算|

期末专题复习：概率初步 时间:90分钟 满分:100分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1下列事件中的必然事件是( ). A.地球绕着太阳转 B.射击运动员射击一次，命中靶心 C.天空出现三个太阳 D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 2布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是( ). A. B. C. D. 3一个不透明的盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1，0，2和3.从中随机摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为( ). A. B. C. D. 4抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1，2，3中的一个数字)，若向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是( ). 5转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是( ). 6在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为( ). A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 7下列说法正确的是( ). A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B.从1,2,3,4,5 中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大 C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 8在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球和若干个红球，且摸到黑球的概率为 ，那么口袋中红球的个数为( ). A.12 B. 8 C. 6 D.3 9如图是由 16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点 P落在阴影部分的概率为( ). A. B. C. D. 10小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是( ). A.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 B.从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率 C.从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球的概率 D.掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是偶数的概率 二、填空题(每小题3分，共24分) 11 事件“在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直”属于 事件(填“必然”“随机”或“不可能”). 12“红灯停，绿灯行，黄灯亮了等一等”，某路口交通信号灯设计如下：每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，如此循环往复，按照交通规则，某人驾车行驶至该路口，恰好遇到绿灯的概率为 . 13“头盔是生命之盔”.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m/个 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率m 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 .(结果精确到0.01) 14现有六张分别标有数字1,2,3,4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 . 15 如图，两个一样的转盘 A，B，其中A 盘被平均分为12份，颜色顺次为红、绿、蓝，B盘被平均分为红、绿、蓝3份，分别自由转动A 盘和B 盘，则A 盘指针停止时指向红色的概率 B盘指针停止时指向红色的概率. (填“>”“<”或“=”) 16 如图(1)，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m、宽为4m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图(2)的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 m²(结果取整数). 17 如图，小球从A 口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从G 口落出 的 概率是 18 下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m次，则事件A 发生的概率一定等于m²/n；③频率是不能脱离具体的 n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是 (填序号). 三、解答题(共46分) 19(10分)一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同. (1)若从中任意摸出一个球，则摸到 球的可能性大； (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同. 20(10分)在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同. (1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是 ，则取走了多少个白球? 21(12分)新情境数学与生活融合 某水果公司以2元/千克的成本购进10 000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决以下问题： (1)柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计值为 ； (2)估计这批柑橘完好的质量为多少千克. 22(14分)某超市为了吸引顾客，在周末举办了有奖酬宾活动：凡购物满200元者，可参与有奖酬宾活动，均可得到一次在不透明的纸箱里抽奖的机会.已知抽奖箱内有十个质地、大小相同的小球,分别标有数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (1)从中任意摸出一个小球，摸出的小球标号大于4 的概率是 ； (2)该商场此次设置了两种奖项，一等奖是一张100元会员卡，二等奖是一副羽毛球拍.一等奖的获奖率低于二等奖.活动规则如下：参与抽奖的顾客从纸箱中任意摸出一个小球，摸出的小球标号是3的倍数和4 的倍数可分别对应不同的奖项，请通过计算写出一等奖的获奖规则及获奖率. 期末专题复习：三角形及图形的轴对称 时间:90分钟 满分:100分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( ). 2 已知：如图，点O 是△ABC 的重心,连接AO并延长交BC 于点D,则下列说法中正确的是( ). A. AD是∠BAC的平分线 B. AD是BC边上的高 C. AD是BC 边上的中线 D. AD 是BC边上的中垂线 3 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，连接DC，在DC 的延长线上找一点A，使得AC=DC，连接EC，在EC 的延长线上找一点B，使得BC=EC，测得AB=60米,则池塘的宽DE 为( ). A.80米 B. 30米 C. 120米 D.60米 4 某三角形的三边长分别为3,6,x,则x不可能是( ). A. 3.5 B.6 C. 7.3 D.9.2 5 下列各图中，正确画出边AC上的高的是( ). 6 如图,△ABC≌△ADE,AB=AD,AC=AE,BC 的延长线交 DA 于点 F,交 DE 于点G,∠AED=105°,∠CAD=15°,∠B=30°,则∠1的度数为( ). A. 50° B. 60° C. 40° D. 20° 7 下列图形中，对称轴条数最多的是( ). A.等边三角形 B.长方形 C.正方形 D. 圆 8 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( ). A. 70° B. 100° C. 110° D.140° 9如图,在△ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE平分∠ABC交CD 于点E,BC=10,DE=3,则△BCE 的面积等于( ). A.6 B.9 C.15 D.1 10 如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,BE⊥CE,下列结论:①CE 平分∠BCD;②AB+CD=AD;③CE·BE=S四边形ABCD;④AE=DE.其中正确的是( ). A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题(每小题3分，共24分) 11 问题定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC 是“倍长三角形”,底边 BC 的长为3,则腰 AB 的长为 12 如图,在△ABC中,E 是中线AD 的中点.若△AEC 的面积是1,则△ABD 的面积是 13 如图,AB⊥CD,且AB=CD,连接AD,CE⊥AD 于点 E,BF⊥AD 于点F.若CE=8,BF=5,EF=4,则AD的长为 . 14 如图,在△ABC中,AB=AC=2,P 是BC上任意一点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点F,若S△ABC=1,则PE+PF= . 15 如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点，分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E，F，作直线EF，分别交直线 a,b 于点 C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB 的度数为 . 16 如图,AB=AC=CD,∠ACD=90°,连接 BC,BD. 若BC= 4,则△BCD的面积为 . 17 如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A 为圆心,AC 长为半径作弧，交射线 BA 于点 D，连接CD，则∠BCD 的度数是 . 18 如图,点 D 是锐角∠AOB 内一点,DE⊥OA于点 E，点F 是线段OE 上的一个动点，点G是射线OB 上的一个动点，连接DF，FG，GD,当△DFG 的周长最小时,∠FDG与∠AOB 的数量关系是 . 三、解答题(共46分) 19(7分)如图,点A,D,C,F 在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.试说明:AD=CF. 20(7分)如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=50°,AD⊥BC 于点 D,AE 平分∠BAC 交BC 于点E,DF⊥AE 于点 F,求∠ADF 的度数. 专题：概率 初步 答案 1. A 2A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. C 8. B 9. B10. C 11.随机12. 13.0.96 14. 15. = 16.7 17. 18.①③④ 19.(1)黑[解析]∵黑球的个数多于红球的个数， ∴摸到黑球的可能性大. (2)放入4个红球，2个黑球.理由如下：∵另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，∴共有5+7+6=18(个)球.∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和红球的数量相等，均为9个，∴应放入4个红球，2个黑球. 20.(1)布袋中有8个红球和16个白球，共24个，故从布袋中摸出一个球是红球的概率是 (2)设取走了x个白球，则 解得x=7. 故取走了7个白球. 21.(1)0.1 0.9 (2)估计这批柑橘完好的质量为10000×0.9=9000(千克). 22(1) [解析]∵一共有十个小球，小球标号大于4的有5个，故从中任意摸出一个小球，摸出的小球标号大于4的概率是 故答案为 (2)摸出的小球标号是3的倍数的有3，6，9三个小球，故摸出的小球标号是3的倍数的概率为 .摸出的小球标号是4的倍数的有4，8两个小球， 故摸出的小球标号是4的倍数的概率为 ∵一等奖的获奖率低于二等奖且 ∴摸出的小球标号是4的倍数中一等奖，获奖率为 专题：三角形及图形的轴对称 答案 1. C 2. C 3. D 4. D 5. D 6. B 7. D 8. C 9. C [解析]如图,过点E 作EF⊥BC于点 F. ∵CD 是边AB上的高线,BE平分∠ABC, ∴EF=DE=3.又BC=10, 故选C. 10. C [解析]∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°. 两直线平行，同旁内角互补 ∵BE⊥CE,∴∠BEC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°, ∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE, ∴∠BCE=∠DCE,∴CE 平分∠BCD,故①正确; 如图,在BC上截取BF=BA,连接EF, 在△FBE 和△ABE 中, △ABE(SAS),∴FE=AE,∠FEB=∠AEB,∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=90°,∴∠DEC+∠AEB=180°-∠BEC =90°,∴∠FEC=∠DEC. 在△FEC 和 △DEC中 ∴△FEC≌△DEC(ASA), ∴CF=CD,FE=DE,∴AB+CD=FB+FC=BC≠AD,AE=DE,故②不正确,④正确; BE,∴CE·BE=S四边形ABCD,故③正确.故选 C. 归纳总结 本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义，理解题意，结合图形求解是解题关键. 11.6 12.2 13.9 14.1 15.56° 16.4 [解析]如图,过点A 作AE⊥BC 于点E,过点 D 作DF⊥BC交BC 的延长线于点 F. ∵AB=AC,BC=4,∴CE=BE= BC=2. ∵AE⊥BC,∴∠AEC=∠CFD=90°.∵∠ACD=90°,AE⊥CB,∴∠ACB+∠DCF=∠ACB+∠CAE, ∴∠DCF=∠CAE.在△ACE 和△CDF中, 的概率是S_{\triangle F E C} = S_{\triangle D E C} , \therefore S_{\triangle F B E} + S_{\triangle A B E} + S_{\triangle F B C} + S_{\triangle D E C} = 2 S_{\triangle B E C} = S_{四 边 形 A B C D} . \because 2 S_{\triangle B E C} = 2 × \frac{1}{2} C E \cdot B E = C E \cdot 解后反思 本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形. 17.10°或100°[解析]如图,点 D 可以在两处位置.不要忽略另外一种情况 在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°, ∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.由作图可知,AC= ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°. 由作图可知,AC=AD',∴∠ACD'=∠AD'C. ∵∠ACD'+∠AD'C=180°-∠CAD'=∠BAC=80°, ∴∠AD'C=40°.∴∠BCD'=180°-∠ABC-∠AD'C=180°-40°-40°=100°. 综上所述,∠BCD的度数是10°或100°. 归纳总结 本题考查了作图——复杂作图、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图方法. 18.2∠AOB+∠FDG=180°[解析]如图,作点D 关于OA的对称点D',作点 D 关于OB 的对称点D",连接D'D",分别交OA,OB 于点F,G,此时△DFG 的周长最小,最小值为 D'D",连接OD,OD',OD", 由轴对称的性质可知,△GOD≌△GOD″, △FOD≌△FOD',∴∠BOD=∠BOD',∠ODG=∠OD'G,∠DOA=∠D'OA,∠ODF=∠OD'F. ∴∠D'OD'=2∠AOB,∠FDG=∠OD'F+∠OD'G. ∵∠D'OD'+∠OD'F+∠OD'G=180°, ∴2∠AOB+∠FDG=180°. 19.∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF. 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF. ∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF. 20.∵∠B=32°,∠C=50°,∴∠BAC=98°. ∵AD⊥BC 于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°, ∴∠BAD=90°-32°=58°.∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E, ∠BAE=9°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,∴∠ADF=180°-∠AFD-∠FAD=81°. 21.(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点,∴BD=CD. 在△BED 与△CFD中 ∴△BED≌△CFD(AAS).∴DE=DF. (2)∵∠BDE=40°,∴∠B=50°,∴∠C=50°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 22.(1)如图,△A'B'C'即为所求. (3)如图,连接AC'交直线l 于点 P,连接PC,则点 P 即为所求. 23.(1)∵∠A=30°,∠ABC=70°, ∴∠BCD=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠ABC)=∠A+∠ABC=100°. 又CE 平分∠BC (2)∵∠ABC=70°,∠A=30°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=80°, ∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=130°, ∴∠BEC=180°-∠A-∠ACE=20°. 又DF∥CE,∴∠F=∠BEC=20°. 24.(1)①= [解析]∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. ∵∠BAC = ∠BAD +∠CAD,∠DAE = ∠CAE +∠CAD,∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE. ②BD⊥CE,理由如下:如图(1),延长BD,EC交于点F, ∵△BAD ≌△CAE,则可设∠BDA=∠CEA=x, ∴∠EDF =180°-x-45°= 学科网（北京）股份有限公司 135°-x,∠DEF=x-45°, ∴∠F=90°,∴BD⊥CE. (2)存在.最大值为 32.如图(2),连接BD,CE 交于点G,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE (SAS),∴BD = CE,∠BDA =∠CEA,∴∠DGE=∠EAD=90°,∴四边形 BCDE 的面积 ∴当BD=CE=AB+AD=8时,四边形 BCDE 面积取得最大值 学科网（北京）股份有限公司 $