第1节 直线的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的方程”专题，依据课标要求梳理了倾斜角与斜率概念、直线方程五种形式及综合应用等核心考点，通过诊断自测和真题改编题分析，明确斜率计算、方程求法、过定点问题等高频考查方向，归纳选择、填空、解答等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“概念辨析+题型突破+素养提升”的复习策略，如通过分类讨论解决截距互为相反数问题，用均值不等式求三角形面积最小值，培养学生数学思维和运算能力。特设易错点警示（如截距与距离区别）和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习，提升备考针对性。

第1节 直线的方程 第八章 平面解析几何 1.在平面直角坐标系中,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等). 课标要求 索引 1.直线的方向向量 设A,B为直线上的两点,则_就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l_的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角; (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为_; (3)范围:直线的倾斜角 的取值范围是_. 向上 0 { |0 ≤ <180 } 索引 3 3.直线的斜率 (1)定义:我们把一条直线的倾斜角 的_叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=_. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=. ②若直线的方向向量的坐标为(x,y),则k=_;直线的方向向量可以记为 (1,k). tan 正切值 索引 4 4.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 _ 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 _ 两点式 过两点 _ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 _ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直线 y=kx+b y-y0=k(x-x0) = +=1 索引 5 常用结论与微点提醒 1.直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 0 0 < <90 90 90 < <180 k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀:“斜率变化分两段,90 是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.” 索引 6 常用结论与微点提醒 2.特殊位置的直线方程 (1)x轴:y=0;y轴:x=0; (2)经过(a,b)且平行于x轴的直线:y=b; 经过(a,b)且垂直于x轴的直线:x=a; (3)经过原点且斜率为k的直线:y=kx. 3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A). 索引 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“ ”) (1)任何一条直线都有倾斜角和斜率.( ) (2)直线的斜率越大,其倾斜角就越大.( ) (1)当 =90 时斜率不存在,因此不是所有直线都有斜率. (2)当直线的倾斜角 1=135 , 2=45 时, 1> 2, 但其对应的斜率k1=-1,k2=1,k1<k2. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 索引 8 (3)直线在坐标轴上的截距一定是正数.( ) (4)经过点P(-1,2)且倾斜角为0 的直线可以用方程y=2表示.( ) (3)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. √ 索引 9 2.直线l:2x+ky+3=0(k<0)不经过的象限是( ) C k<0,故-(2/k)>0,-3/k>0,直线过一、二、四象限,不经过第三象限. 索引 10 3.(北师大选修一P8T3改编)已知直线l的一个方向向量v=(3,1),则直线l的斜率为( ) A.-3 B.3 C.- D. D 因为v=(3,1),故直线的斜率为k=. 索引 11 4.过点P(-1,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为 . 当截距为0时,直线方程为3x-2y=0; 当截距不为0时,设直线方程为+=1, 则+=1, 解得a=5,直线方程为x+y-5=0. 所以直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 2x+y=0或x-y+3=0 索引 12 例1 (1)(多选)已知直线l:x+my+2=0(m∈R),则下列判断正确的是( ) A.若m=0,则直线l的倾斜角为0 B.若m>0,则直线l的斜率小于0 C.直线l恒过定点(0,-2) D.直线l在x轴上的截距为-2 BD 考点一 直线的倾斜角与斜率 对于A,若ab>0,则直线l的斜率-<0,故A正确; 对于B,若b=0,a≠0,则直线l的方程为x=,直线l的倾斜角为90 ,故B正确; 索引 对于C,将(0,0)代入ax+by-2=0中,显然不成立,故C错误; 对于D,若a=0,b≠0,则直线l的方程为y=,直线l的倾斜角为0 ,故D正确. 索引 (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜 率的取值范围为 ;倾斜角的取值范围为 . (-∞,-]∪[1,+∞) 如图,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1, 则k1==-; 当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2==1, 所以要使直线l与线段AB有公共点, 则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞), 倾斜角的取值范围是. 索引 感悟提升 1.斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法. 2.倾斜角和斜率范围求法:(1)图形观察(数形结合);(2)充分利用函数k=tan 的单调性. 3.当直线l的倾斜角 ∈时, 越大,直线l的斜率越大;当 ∈时, 越大,直线l的斜率越大. 索引 训练1 (1)(2026 安徽十校联考)已知a是直线2x-y+1=0的一个方向向量,若a=(m,1),则实数m的值为( ) A. B.- C.2 D.-2 A 因为直线2x-y+1=0的斜率为2,所以直线的一个方向向量为(1,2), 记v=(1,2), 所以若a=(m,1)是直线的一个方向向量, 则a∥v,即2m-1=0,解得m=. 索引 (2)已知直线l的方程为xsin +y-1=0, ∈R,则直线l的倾斜角的取值范围是_. 直线l的方程为xsin +y-1=0, 则直线l的斜率k=-sin ∈. 设直线l的倾斜角为 , 则有tan ∈, 又 ∈[0, ), ∪ 索引 所以当k∈时,直线l的倾斜角 ∈; 当k∈时,直线l的倾斜角 ∈. 综上所述,直线l的倾斜角 ∈∪. 索引 例2 求符合下列条件的直线方程: (1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-; 考点二 直线的方程 ∵所求直线过点A(-1,-3), 且斜率为-, ∴所求直线方程为y+3=-(x+1), 即x+4y+13=0. 索引 (2)直线过点A(0,2)和B(-2,6); 法一(两点式) 由A(0,-1)和B(-1,5)得两点式方程为, 整理得6x+y+1=0. 法二(点斜式) 由A(0,-1)和B(-1,5) 得kAB==-6, 直线方程为y+1=-6(x-0), 整理得6x+y+1=0. 索引 (3)直线过点A(1,2),且横截距是纵截距的3倍. 当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,又直线过点(2,1),∴1=2k,解得k=,∴直线方程为y=x,即x-2y=0; 当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为=1, 由题意可得 ∴直线方程为=1,即x+2y-4=0. 综上,所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0. 索引 感悟提升 求直线的两种方法 索引 训练2 (1)(2026 苏州模拟)已知 ABC顶点A(0,0),B(4,0),C(3,4),M为AB中点,则中线CM方程为( ) A.4x-y-8=0 B.4x+y-8=0 C.4x-y+8=0 D.x-4y-8=0 A 由题意知点M的坐标为(2,1),又C(4,5), 由直线的两点式方程得, 即中线CM所在直线的方程为2x-y-3=0. 索引 (2)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B 分情况讨论:①当截距均为0时,设y=kx,代入(1,4),得k=4,即y=4x. ②当截距相等且不为0时,设=1,代入(1,4)得a=5,即x+y-5=0. ③当截距相反且不为0时,设=1,代入(1,4)得a=-3, 即x-y+3=0. 综上,符合条件的直线共3条,故选C. 索引 例3 已知直线l:(m+1)x-y-2m-1=0(m∈R). (1)证明:直线l过定点; 考点三 直线方程的综合应用 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0, 令 ∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). 索引 (2)若直线不经过第二象限,求m的取值范围; 由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-, 在y轴上的截距为1+2k, 要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意, 故k的取值范围是[0,+∞). 索引 (3)若直线l交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B, AOB面积S最小,求S的最小值及此时直线l的方程. 由题意可知k≠0,再由l的方程,得A,B(0,1+2k). 依题意得解得k>0. ∵S= |OA| |OB|= |1+2k|= ≥ (2 2+4)=4, 等号成立的条件是k>0,且4k=,即k=, ∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0. 索引 感悟提升 1.直线过定点问题,将参数的“系数”化为0,解关于x,y的方程组可求定点. 2.与函数相结合的问题:一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决. 3.与方程、不等式相结合的问题,一般是利用方程、不等式的有关知识来 解决. 索引 训练3 (1)(2026 西安质检)“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 要使y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限, 则解得-<k<1, 因此,“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-<k<1”的充要条件. 索引 (2)(2026 大连模拟)过点P(1,3)的直线与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,则|OA|+|OB|的可能取值是( ) A.7 B.7.4 C.4+2 D.7.8 设直线方程为=1(a>0,b>0),由题意得=1, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=4+≥4+2=4+2>7.46. 结合选项可选D. 索引 一、单选题 1.若直线l的方程为x=-3,则直线l的倾斜角是( ) A. B. C. D.0 A ∵直线l的方程为x=-3, ∴直线与x轴垂直,∴直线l的倾斜角是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 2.已知直线l倾斜角的余弦值为-,且经过点(2,1),则直线l的方程为( ) A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0 C.x-2y=0 D.x+2y-4=0 A 设倾斜角为 ,则cos =-, 得tan =-2,即k=-2, ∴l的方程为y-1=-2(x-2), 即2x+y-5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 3.直线l1,l2,l3的倾斜角 1, 2, 3满足 1< 2< 3<90 ,则它们的斜率关系为( ) B 当倾斜角为锐角时,斜率为正,倾斜角越大,倾斜程度越大,斜率越大; 当倾斜角为钝角时,斜率为负,所以k1<k3<k2. A.k1<0<k2<k3 B.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 D.k2<k1<k3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 4.(2026 通化检测)已知直线l的倾斜角为120 ,在y轴上的截距是3,则直线l的方程为( ) A.y=x+3 B.y=-x-3 C.y=-x+3 D.y=x-3 C 因为直线l的倾斜角为120 , 所以直线l的斜率为k=tan 120 =-. 又直线l在y轴上的截距是3,代入斜截式方程得y=-x+3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 5.已知直线l:2x+3y-1=0的倾斜角为 ,则cos( + ) sin=( ) A. B.- D.- B 由题意可知,tan =-, ∈, cos( + ) sin=-cos2 =-=-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 6.直线2xcos -y-3=0的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. B 由 ∈≤cos ≤, 所以k=2cos ∈[1,], 设直线的倾斜角为 ( ∈[0, )), 则tan ∈[1,],所以 ∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 7.(2026 陇南模拟)若直线沿x轴向右平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则直线l的斜率为( ) A.-2 B.- D.2 C 由题意,设直线方程为y=kx+b,直线沿x轴向右平移2个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,直线方程为y=k(x-2)+b+1,化简得y=kx-2k+b+1,因为平移后与原直线重合,则kx+b=kx-2k+b+1,解得k=,即直线的斜率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 8.(2026 成都诊断)若直线kx-y+2k-1=0恒过点A,点A也在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则mn的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 B 因为kx-y+2k-1=0, 则k(x+2)-(y+1)=0, 令 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 即直线kx-y+2k-1=0恒过点A(-2,-1). 又因为点A也在直线mx+ny+2=0上, 则-2m-n+2=0, 可得2m+n=2,且m,n>0, 则2m+n=2≥2, 即0<mn≤, 当且仅当2m=n=1时,等号成立. 所以mn的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 二、多选题 9.若A<0,B>0,C<0,则直线Ax+By+C=0经过第几象限( ) A.一 B.二 C.三 D.四 ABC ∵AB>0且BC<0,∴-<0,->0, 直线y=-x-的斜率小于零, 在y轴上的截距大于零, 故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 10.已知直线xcos -ysin +2=0( ∈R),则下列命题正确的是( ) A.直线的倾斜角是 B.无论 如何变化,直线不过原点 C.当 =0时,直线的倾斜角为0 D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形面积不小于2 BD 根据直线倾斜角的范围为[0, ), 而 - ∈R,A不正确; 当x=y=0时,xsin +ycos +1=1≠0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 所以直线必不过原点,B正确; 当 =时,直线斜率不存在,C不正确; 当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S= =≥1,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 11.已知平行四边形ABCD中,AC:x+y-2=0,A(0,0),B(1,1),则BC边所在直线方程可能为( ) A.x-y=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 B 设直线AB的倾斜角为 ,直线AC的倾斜角为 , 因为直线AC的斜率为2,所以tan =2, 则< <. 依题意有 - =或 - =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 当 - =时,tan( - )==tan, 即=1,解得tan =-3, 即直线AB的斜率为-3,C选项中的直线斜率符合; 当 - =时,tan( - )==tan, 即=1, 解得tan =,即直线AB的斜率为,B选项中的直线斜率符合,故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 三、填空题 12.直线2x-3y+6=0在x轴上的截距为_,在y轴上的截距为_. 由题意知直线过点(-2,0),(0,2), 设直线斜率为k,倾斜角为 , 则k=tan ==1, 又 ∈[0, ),故倾斜角 =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 13.已知点M是直线l:y=x+3与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30 ,则所得到的 直线l'的方程为 . 在y=x+3中,令y=0, 得x=-,即M(-,0). 因为直线l的斜率为,所以其倾斜角为60 . 若直线l绕点M逆时针旋转30 , 则得到的直线l'的倾斜角为90 ,此时直线l'的斜率不存在, x=-或y=(x+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 故其方程为x=-; 若直线l绕点M顺时针旋转30 , 则得到的直线l'的倾斜角为30 , 此时直线l'的斜率为tan 30 =, 故其方程为y=(x+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 14.已知点P和非零实数 ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率之积为 ,则称直线l1,l2是一组“P 共轭线对”,如直线l1:y=2x,l2:y=-x是一组“O-1共轭线对”,其中O是坐标原点.已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,则l1,l2的夹角的最小 值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 设l1的斜率为k=tan ,则l2的斜率为=tan ,两直线的夹角为 , 则tan =|tan( - )|===≥=, 当且仅当k= 时,等号成立,所以tan 的最小值为,则两直线的夹角 的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 $