直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦直线的倾斜角与斜率、直线方程核心考点，依据高考评价体系分析命题趋势，基础题占30%考查概念应用，中档题50%侧重综合计算，压轴题20%突出深度思维，归纳直线与圆、椭圆等高频考点及选择填空解答题常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+通法提炼+素养提升”，如通过倾斜角范围与斜率关系题培养数学思维，用“联立方程→韦达定理”解决中点弦等中档题，提炼定点定值问题通用思路，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 体系构建 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 命题报告 命题趋势 基础题(约30%):主要考查基础概念和简单应用(包括直线方程的求法及相关计算;圆的方程的求法及相关计算;圆锥曲线的标准方程、基本性质的识别与简单求解). 中档题(约50%):主要考查圆锥曲线知识点的综合应用和基本方法(直线与圆的位置关系判断及相关计算,直线与圆锥曲线的位置关系联立方程,涉及中点弦、焦点弦、弦长、面积等经典模型的计算和向量在解析几何中的简单应用). 压轴题(约20%):主要考查深度思维、创新意识和运算能力,考查圆锥曲线中定点、定值问题和最值、范围问题以及存在性问题 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 高频考点 1.直线与圆:求切线方程、弦长公式(几何法和代数法)的应用. 2.椭圆是圆锥曲线中的“重中之重”.标准方程、几何性质、直线与椭圆相交产生的弦长、面积、中点弦(点差法)等问题是核心中的核心. 3.抛物线:因其方程相对简单,常与向量、导数等结合,考查焦点弦性质、准线等应用,题型灵活. 4.双曲线:考查频率略低于椭圆和抛物线,但对其几何性质(尤其是渐近线)的考查日益增多,常与向量、三角形知识结合. 5.轨迹方程:虽然直接大题较少,但作为思想方法渗透在许多问题中(如相关点法求轨迹方程) 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 命题规律 解析几何核心考点通常包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程、几何性质,以及它们之间的位置关系.此外,新高考中可能更侧重坐标法的应用.命题趋势上更注重综合题,如圆锥曲线与导数、向量的结合. 高频题型方面,选择题和填空题可能会考查基本性质,比如求离心率、焦点坐标、弦长公式等.解答题可能涉及轨迹方程的求解、定值定点问题、最值问题,或者与其他知识的综合应用 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 备考建议 1.夯实基础,构建网络:熟练掌握本章公式(距离、斜率、弦长、点到直线距离等)、各种曲线方程的形式及几何性质.建议自己整理表格,对比记忆.理解核心概念之间的内在联系,形成知识网络. 2.聚焦中档,掌握通法:中档解答题是备考的主战场.要反复练习“联立方程→消元→判别式→韦达定理”这一核心流程,做到熟练、准确. 重点掌握几个经典模型:弦长问题、面积问题(尤其是利用韦达定理进行表示)、中点弦问题(点差法)、定点定值问题的基本思路. 3.突破压轴,提炼思想:对于压轴题,要“重思路、轻硬算”.多研究真题和高质量模拟题的答案,学习其如何设参数、如何转化条件、如何消元化简. 提炼总结解决定点、定值、最值范围问题的通用思路.例如,证明定点问题,通常是先求出直线方程(含参数),再找出其过的定点. 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 直线的倾斜角与斜率 1.(2025·天津红桥模拟)直线y=x+1的倾斜角为(　　)[命题点❶❷] A. B. C. D. A 解析:直线y=x+1的斜率为1,则直线y=x+1的倾斜角为 返回目录 2.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　)[命题点❸] A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 A 解析:由=1,得m=1. 返回目录 3.若直线l的一个方向向量n=(1,-),则l的倾斜角为(　　)[命题点❶❹] A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析:设l的倾斜角为α,0°≤α<180°,由题意得l的斜率k=tan α=-,则α=120°. 返回目录 关键点2 直线的方程 4.(人教A版选择性必修第一册教材习题改编)倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是(　　)[命题点❷❺] A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 D 解析:因为直线l的倾斜角为135°,所以直线的斜率为k=tan 135°=-1,又直线l在y轴上的截距为-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0. 返回目录 5.(2025·北京模拟)直线l的倾斜角为α,且sin α=,若l过点(1,0),则直线l的方程为　　　 　　. [命题点❷❻]  3x+4y-3=0或3x-4y-3=0 解析:由直线l的倾斜角为α,且sin α=,得cos α=±=±,则tan α =±,因此直线l的斜率k=±,直线l的方程为y=-(x-1)或y=(x-1), 所以直线l的方程为3x+4y-3=0或3x-4y-3=0. 返回目录 6.(2025·江苏南通模拟)经过A(2,1)与B(1,2)两点的直线方程为　　　　　. [命题点❼]  x+y-3=0 解析:由题意可知,经过A(2,1)与B(1,2)两点的直线方程为, 即x+y-3=0. 返回目录 7.过点P(1,3),在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为　　 　　　. [命题点❽]  y=3x或x+y-4=0 解析:当直线过原点时,直线y=3x在x轴上的截距和在y轴上的截距相等,则直线方程为y=3x; 当直线不过原点时,设直线方程为=1,则=1,解得a=4,直线方程为x+y-4=0,所以所求直线方程为y=3x或x+y-4=0. 返回目录 关键点3 直线倾斜角与斜率的综合应用 8.已知直线l的斜率k∈[-1,],则l的倾斜角的取值范围为(　　) [命题点❶❷] A. B. C. D. C 解析:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈[0,π),且k=tan θ∈ [-1,],如图,由正切函数的性质知 返回目录 9.已知点A(2,4),B(3,3),P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,则的取值范围是　　　　　. [命题点❶❷❸]  [1,2] 解析:设k=,则k可以看成过点P(a,b)与坐标原点O的直线的斜率. 当点P在线段AB上由B点运动到A点时,直线OP的斜率由kOB增大到kOA,如图所示.又kOB==1,kOA==2,所以1≤k≤2,即的取值范围是[1,2]. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;[❶] (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°; (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°. 返回目录 2.直线的斜率 (1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.[❷] (2)计算公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=.　[❸] 只要已知直线上的两点坐标,便可求得直线的斜率,且斜率与两点顺序无关 ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.[❹] 返回目录 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b[❺] 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0)[❻] 两点式 过两点 [❼] 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 =1[❽] 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 所有直线 返回目录 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　直线的倾斜角与斜率 命题视角:考查倾斜角的范围与斜率的关系,斜率与直线方向向量的关系,并会判断三点共线的问题. 例1 (1)设直线l的方程为x-ycos θ+2=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.[0,π]　　B.　　C.　　D. C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:当cos θ=0时,直线l的方程为x=-2,此时直线l的倾斜角α=;当cos θ≠0时,直线l的斜率为tan α=,因为cos θ∈[-1,0)∪(0,1],所以(-∞,-1] ∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又因为α∈[0,π),所以结合正切函数的图象可得 综上可得,直线l的倾斜角α的取值范围是 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(一题多解)已知直线l:y=kx+2与线段PQ(或QP)的延长线相交,其中 P(-3,-4),Q(3,1),求直线l斜率的取值范围. 解:(方法1)直线y=kx+2过定点M(0,2),如图,因为直线l与线段PQ(或QP)的延长线相交,所以kMQ<k<kPQ或kPQ<k<kMP. 因为kMQ==-,kMP==2,kPQ=, 所以-<k<<k<2. 即k 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)当直线l与线段PQ相交时,k≥kMP或k≤kMQ,即k≥2或k≤-;当直线l与线段PQ平行时,k=所以当直线l与线段PQ(或QP)的延长线相交时,-<k<2且k 即k 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 若过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4) C.(2,4) D.(0,2)∪(2,4) B 解析:当α=时,直线AB的斜率不存在,A,B两点横坐标相等,即m=2; 当时,直线的斜率存在,则kAB=<-1或kAB=>1,解得0<m<2或2<m<4, 综上所述,实数m的取值范围是(0,4). 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率; (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 2.倾斜角及斜率取值范围的两种求法 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　直线的方程 命题视角:能够根据已知条件(点、斜率、截距等)快速写出方程,要注意直线方程使用的限制条件. 例2 根据下列条件,写出直线的一般式方程: (1)经过点(0,2),且倾斜角为; (2)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; (3)经过点(-2,3)和点(-1,0); (4)已知直线l的一个方向向量为(2,-1),且经过点A(1,0). 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)因为直线经过点(0,2),且倾斜角为,所以直线的斜率为k=tan,则直线方程为y=x+2,所以直线的一般式方程为x-y+2=0. (2)因为在x轴和y轴上的截距分别是,-3,所以直线的截距式方程为 =1,即2x-y-3=0. (3)由题意得直线的两点式方程为,即3x+y+3=0. (4)因为直线l的一个方向向量为(2,-1),所以直线l的斜率k==-, 又直线l经过点A(1,0),所以直线l的方程为y=-(x-1),即x+2y-1=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (1)倾斜角为60°,与y轴的交点到x轴的距离是3的直线方程为　　　 　　.  x-y+3=0或x-y-3=0　 解析:斜率为tan 60°=, 因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3,所以直线在y轴上的截距为±3,所以所求直线方程为y=x+3或y=x-3,即x-y+3=0或x-y-3=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)经过点(2,1),在x,y轴上截距相等的直线方程为　 .  x-2y=0或x+y-3=0 解析:当直线在x,y轴上截距都为0时, 设直线方程为y=kx,则1=2k,得k=, 则直线方程为y=x,即x-2y=0; 当直线在x,y轴上截距都不为0时, 由题设直线方程为=1, 因为直线过点(2,1),所以=1,解得a=3, 所以直线的一般式方程为x+y-3=0, 综上所述,所求直线方程为x-2y=0或x+y-3=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 求直线方程的两种方法 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　直线方程的综合应用 命题视角:求直线方程,使之满足距离的积或和有最值,或与坐标轴围成的三角形面积有最值,注意截距的正负与面积的关系. 例3 (一题多解)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(方法1)设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0),令y=0,得x=2-, 令x=0,得y=1-2k,所以A,B(0,1-2k)(k<0), 所以|MA|·|MB|==2=2[(-k)+]≥4, 当且仅当-k=-,即k=-1时,等号成立, 此时直线l的方程为x+y-3=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)设直线方程为=1(a>0,b>0),易知A(a,0),B(0,b),a>0,b>0, =1,所以|MA|·|MB|=||·||=-=-(a-2,-1)·(-2,b-1) =2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)-5=24, 当且仅当a=b=3时等号成立,此时直线l的方程为x+y-3=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 变式探究1 (原创)在本例中,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 解:设直线方程为=1,a>0,b>0,因为直线过点M(2,1),所以=1, a>0,b>0,则|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=3+3+2,当且仅当a=2+,b=1+时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为=1,即x+y-2-=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 变式探究2 (原创)在本例中,当△AOB的面积最小时,求直线l的斜截式方程. 解:由例3知,A,B(0,1-2k)(k<0),所以△AOB的面积S=|1-2k| =-=-2k-+2≥2+2=4,当且仅当-2k=,即k=-时,等号成立,所以直线l的点斜式方程为y-1=-(x-2), 斜截式方程为y=-x+2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·广东东莞模拟)直线l的方程为(a+1)x-y-3a-1=0,a∈R. (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,点O是坐标原点.若△AOB的面积为16,求a的值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)当a+1=0,即a=-1时,直线l的方程为y=2,不满足题意; 当a+1≠0,即a≠-1时,令x=0得y=-3a-1,令y=0,得x=,由截距相等得 =-3a-1,解得a=-2或a=-,当a=-2时,直线l的方程为x+y-5=0,当a=-时,直线l的方程为2x-3y=0, 综上所述,所求直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)由题意知,a+1≠0,-3a-1≠0,因为直线l在x轴、y轴上的截距分别为, -3a-1,所以解得a<-1, 所以△AOB的面积S=(-3a-1)=- 由题意知-=16,化简得9a2+38a+33=0,解得a=-3或a=-,均满足条件,所以a=-3或a=- 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势:主要考查倾斜角与斜率的计算、直线方程的多种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的求解与应用. 1.(一题多解)(2025·湖南岳阳模拟)已知直线l的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R),若直线l不经过第二象限,则k的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.[0,+∞) C.[0,1] D.[1,+∞) C 返回目录 解析:(方法1)方程化为斜截式y=kx+2k-2,斜率存在,且直线l与y轴的交点为(0,2k-2),当k=0时,直线l的方程为y=-2,满足题意; 当k≠0时,直线l不经过第二象限,点(0,2k-2)需在y轴非正半轴上,且斜率k>0,即解得0<k≤1. 综上可得,k的取值范围为[0,1]. 返回目录 (方法2)方程化为点斜式为y+2=k(x+2),所以不论k为何值,直线l都过定点P(-2,-2), 作直线l1经过定点P且平行于x轴,直线l2经过定点P和O,如图所示, 因为直线l不经过第二象限,所以l1和l2是符合条件的临界位置,即0=k=1, 所以k的取值范围为[0,1]. 返回目录 模块间融合:在高中数学内容中,本节内容多与三角函数、向量、函数导数相融合. 2.直线2xcos α-y-3=0,α∈的倾斜角的变化范围是(　　) A. B. C. D. B 解析:直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α.由于,所以cos ,因此k=2cos α∈[1,]. 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,]. 由于θ∈[0,π),所以,即倾斜角的变化范围是 返回目录 3.若点P在曲线y=x3-x上,曲线在P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. C 解析:设P(x0,y0),由函数y=x3-x,得y'=3x2-,所以过点P的切线斜率k=y'=3,则k=3-,又因为k=tan α,即tan α≥-,又因为α∈[0,π),所以得α的取值范围是 返回目录 4.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,函数y=的图象与曲线y=f(x)交于点A,B,与曲线y=g(x)交于点C,D,点A在第一象限,且A,B,C,D四点顺次呈逆时针排列,则直线AC的斜率与直线BD的斜率的乘积为　　　　　.  1 返回目录 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则y1=,y2=,y3=ln x3,y4=ln x4,由点A与点D关于直线y=x对称,所以x1=y4,x4=y1,同理x2=y3,x3=y2,所以y1=,y2=,y3=,y4=, 因为kAC=,kBD=, 所以kACkBD= =1. 返回目录 $