第28章专题05 相似三角形的性质（暑假自学讲义）2025-2026学年九年级数学沪教版上学期

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题05 相似三角形的性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 基本性质 题型2 子母型图的性质 题型3 相似三角形对应线段的比 题型4 相似三角形面积的比 · 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质； · 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比值规律； · 能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、面积计算和证明。 知识点讲解 1. 基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 符号语言： ∵△ADE ∴=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠c 【方法点睛】——对应边成比例的书写格式 标准格式：（k为相似比） 变形格式：或或 2. 对应线段、周长、面积的比 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ∵△ABC∽△，AD⏊BC，⏊， ∴，，， 3.子母型图的基本结论 基本图形 射影定理 CD∽△ABC CD∽△CBD∽△AB C ，，， 题型归纳 题型1 基本性质 【例1】如图所示，已知．求证：． 【例2】如图，点，是中边上的点，． (1)求证： (2)若、，，求的长． 【方法点睛】 定义：形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形； 判定标准：对应角都相等，对应边都成比例。 【变式练习】 1．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 4. 如图，已知，，，，，求，的长． 5. 如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 6. 如图，在中，，是的平分线，交于点． (1)在斜边上求作点，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 7 如图，在中，、分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 8. 如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 9. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点．当时，求的长． 题型2 子母型图相似的性质 【例1】如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【例2】如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【变式练习】 1. 如图，在中，，． (1)尺规作图：在的边上找一点，使．(不写作法，保留作图痕迹) (2)求的度数． 2．如图，在中，点D是边上一点，连接，，，求证：． 3．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 4．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型3相似三角形对应线段的比 【例1】如图，在中，，分别是边，的中点，若的周长为8，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例2】证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【例3】如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知． (1)求证：； (2)求这个正方形的边长． 【变式练习】 1．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 3．如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 4．相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 5．已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 6．两个相似三角形的面积分别为和则它们的对应角平分线的比为_________． 7．如图，已知，是的高，是的高，已知，，求和的比． 8. 如图，在中，．    (1)求边上的高的长度； (2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长． 题型4 相似三角形的面积比 【例1】如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知，且是的中点，，． (1)求的长； (2)已知的面积是，求四边形的面积． 【例3】沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，求的长度． 【变式练习】 1．如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 3．如图，把一张三角形纸片沿中位线剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置，则__________． 4．如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 5．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 6．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 7．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 8．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分为． (1)求证：； (2)若的面积是的面积的，，求平移的距离． 9．观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，，是中边的二等分点，图2中、是边的三等分点，图3中、、是边的四等分点…图4中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： ①当是边的二等分点： __________________； ②当、是边的三等分点： __________________； ③当、、是边的四等分点： __________________； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第④个等式： _____________． （2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程． （3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）． 过关练习 一、单选题 1．如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，，则的长为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则的长度为（     ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的，已知，则平移的距离为（ ） A．1 B．3 C． D． 6．如图，在平行四边形中，点E是上的点，交于点F，交延长线于点G，若，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 二、填空题 9．如图，小文想要测出、间的距离，但是，、两地却被池塘隔开，于是先在外选一点，在，上分别找点，，使得，测量出的长为．由此可知，、间的距离为______． 10．如图，点D、E分别在的边、上，且，若使，则的长为______． 11．如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 12．如图，已知，与交于点，若，，则的长为___________． 13．如图，已知，且，，，则____． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，点C在x轴正半轴上，，交于点D，若，则点C的坐标为________． 15．如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 16．如图，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是，则四边形的面积为__________． 17．如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 18．如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为_________． 三、解答题 19．如图，已知点是矩形的边上一点，于点．若，求的长． 20．如图，在中，，，平分交于D． (1)求证：． (2)若，求的长． 21．如图，在中，为边上一点． (1)在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，分别为线段，上的点，且．若线段平分四边形的面积，求的长． 22．如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当面积为时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长． 24．如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． (1)求证：; (2)求证：． 25．如图，在与中，，连接，若． (1)求证：∽； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 专题05相似三角形的性质 目目知识点导航 知识点讲解 题型导航 目标导航 ·理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本 题型1基本性质 性质； 题型2子母型图的性质 ·掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分 题型3相似三角形对应线段的比 线、周长、面积的比值规律： 题型4相似三角形面积的比 ·能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、 面积计算和证明。 1.基本性质一一相似三角形的定义 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 符号语言： △ADE一△ABC .∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=C D AD AE DE AB AC BC B 【方法点睛】一一对应边成比例的书写格式 甲，_甲2_甲=k（k为相似比) 标准格式：乙1乙，乙 变形格武：甲，己或乙或甲 1 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 2.对应线段、周长、面积的比 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 符号语言：（以高为例） △ABC∽△A1B1C1,AD LBC,A1D1LB1C1, :AD=AB=kCAg一=AB-K SAABC=(AB )=k2 A D AB C△A1B1c1A1B1 S△A1B1C1 AB A B D B D 3.子母型图的基本结论 D D B 基本图形 射影定理 △ACD∽△ABC △ACD∽△CBD∽△ABC AC=AD·AB AC=AD·AB,CD=AD·BD,BC=BD·AB, 题型归纳 题型1基本性质 AB AC BC 【例1】如图所示， 已知AB=AC=B'C.求证：∠1=∠2 2 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 【分析】本题重点考查相似三角形性质一一对应角相等， 【i详解】证明：、4C。BC AB'AC'B'C' ∴△ABC∽△AB'C' .∠BAC=∠B'AC ,∴.∠B'AC-∠BAC'=∠BAC-∠BAC 即∠1=∠2. 【例2】如图，点D,E是△ABC中AB边上的点，DE‖BC, E (I)求证：△ADE∽△ABC (Q)若AE=5、AC=6,BC=7,求DE的长. 【分析】本题考查了相似三角形性质一一对应边成比例 【详解】(1)证明：：DE川BC, .∠B=∠ADE,∠C=∠AED. ∴.△ADEAABC: (2)解：△ADEP△ABC, DE AE :BC AC, :AE=5、AC=6,BC=7, DE 5 76 3 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） :DE=35 6 【方法点睛】 定义：形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形： 判定标准：对应角都相等，对应边都成比例。 【变式练习】 1.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，BD与AM相交于点N.若AB=3,BC=4,则BN的长为 () A.0.5 C.3 D.4 【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, :.∠ABC=∠C=90°，AB=CD=3,BC=AD=4,ADI‖BC Rt△BCD 在 中，BD=VBC2+CD2=32+42=5, ,M为BC的中点， BM-BC-2, :AD‖BM, '.∠DAN=∠BMN,∠ADN=∠MBN, '.△ADN-△MBN, BNBM1 DN AD 2' .DN=BD-BN=5-BN, ·5-BN2 解得BN= 3 4 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 2.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D均在网格线的交点上，点O是AD 与BC的交点，则OA的长为() B A.1.5 B.3 C.5 D.1.8 【详解】解：由勾股定理得： AD=AC2+CD2=5 .AB//CD ∴.△ABOADCO AB OA 2 1 .DC=0D42, 5 01=34D=3x5=写 3 3· 3.如图，直线ABIICD川EF,AC:CE=3:2,则DG:AB=() A.2:3 B.2:5 c.3:5 D.4:9 【详解】解：CD‖EF,AC:CE=3:2, AG AC 3 GF CE 2' 设AG=3k,GF=2k,则AF=AG+GF=5k, ,FG_2k=2 AF 5k 5 .DG AB, .△DGAFBA, DG FG_2 ·.BAFA5 5 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 4.如图，己知DEI BC,EC=6cm,DE=5cm,AE=3cm,AB=14cm,求AD,BC的长. D 【详解】解：DE‖BC ∴.△ADE△ABC, AD AE ABAC. AD 3 即14=3+6 解得：AD=1 3cm .△ADE一△ABC, DE AE .BC AC, n5=3 即BC9' 解得：BC=15cm 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8.求证：AC平分∠BAD. 【详解】证明：AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8 AB BC AC1 AC CD AD2· ∴.△ABC一△ACD, ∴.∠BAC=∠CAD ∴.AC平分∠BAD 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D. 6 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） D B (I)在斜边AC上求作点E,使△ADE∽△ABD.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 2)在(1)的条件下，若AB=5,AE=9,求DE的长. 【详解】(1)解：如图，点E即为所求： D (2)解：，△ADEAABD, AD AE :.AB AD' .AB=5,AE=9 、D=9 :5 AD' .AD2=45, DE⊥AD, .DE=√AE2-AD2=V81-45=6 7如图，在△ABC中，D、E分别是AB,AC上的点，∠BDE+∠C=180°， (I)求证：△ADE一△ACB: 7 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 2)若AE=8,AD=EC=4,求BD的长 【详解】(1)证明：：∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180° .∠ADE=∠C, ,∠A=∠A, .△ADE-△ACB: (2)解：：△ADE一△ACB,AE=8,AD=EC=4 AD AE ·ACAB 48 8+4AB .AB=24 .BD=AB-AD=24-4=20 AC BC 8.如图，点D在AABC内，点E在AABC外，DE=BE且∠I=∠2·求证： D B∈ 4 1)∠3=∠4： (2)△ABD一△CBE. AC BC 【详解】(1)证明：：DEBE且∠1=∠2 ∴△ABC一△DBE, ∴.∠ABC=∠DBE, ·∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠3=∠4： (2)证明：，△ABC一△DBE, 8 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） AB BC .DB BE AB DB ·BCBE' 又.∠3=∠4， ∴，△ABD一△CBE AD 2 9如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,且BC3,点E是边D的中点，连接CE交对角线BD于点F 当BD=6时，求DF的长 E D B 【详解】解：0-2 BC 3' 又点E是边AD的中点， .AD =2DE, AD_2DE2 BCBC3· DE 1 即BC3? .AD‖BC, ∴ADEF∽aBCF, DE DF 1 BC BF3, DF 1 BD 4 BD=6, :DF=3 2· 题型2子母型图相似的性质 【例1】如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠DBC=∠A. 9 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (I)求证：△BDC△ABC: (②)若CD=1,AC=4,求BC的长. 【详解】(I)证明：：∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB」 :ABDC一△ABC: (2)解：由(1)知△BDCAABC, BC DC :AC BC CD=1,AC=4, BC 1 .4BC’ .BC=V4=2 【例2】如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高. D (1)直接写出图中所有相似的三角形： (2)求证：CD=AD·DB: B)若己知AC=6,AB=9,求AD的长. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，CD是AB边上的高， .∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°」 :.∠ACD+∠A=90°，LB+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°. .∠A=∠BCD,∠B=∠ACD 10 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） .△ADC∽aCDB∽△ACB: (2)证明：，△ADC一△CDB, AD CD CD BD .CD=AD·DB: (3)解：，△ADC一△ACB, AC AD 6AD A8AC,即96， 解得：AD=4. 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，BA=BC,∠B=36°. (I)尺规作图：在△ABC的边AB上找一点P,使△ACP一△ABC.(不写作法，保留作图痕迹) (②)求∠APC的度数. 【详解】(I)解：要使△ACP一△ABC,已经有∠BAC=∠CAP,只需∠ACP=∠ABC即可，即作 ∠ACP=∠ABC,如图所示（作法不唯一）： (2)解：.BA=BC,∠B=36, ∠A=∠ACB=180,∠B_18036-72, :△ACPP△ABC, 11 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） .∠APC=∠ACB=72 2.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD,BC=2AC=4,CD=1,求证：∠ABC=∠DAC B D 【答案】证明：，BC=2AC=4. BC=4,AC=2, CD=1, AC 2 1 CD 1 BC42 AC2 AC CD BCAC, :∠C=∠C, ∴.△ABC-△DAC, .∠ABC=∠DAC 3.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，且∠DAC=∠B,CD=CE】 B D (I)求证：△ACE∽△BAD: (②)若CE=6,BD=8,AE=4,求ED的长. 【详解】(1)证明：CD=CE, .∴∠CDE=∠CED :∠ADB=180°-∠CDE,∠AEC=180°-∠CED, .∠ADB=∠AEC, .'∠DAC=∠B, ·△ACE∽△BAD: (2)解：.在(1)中已证明△ACE∽△BAD 12 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 、AEBD CE AD .CE=6,BD=8,AE=4, .AD-BDXCE-8x6-12 AE 4 .ED=AD-AE=12-4=8 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE,它们相交于点F,且 ∠ACB=∠ABE E (I)求证：AE2=EF·BE: (2)若AE=2,EF=1,求BF的长， 【详解】(I)证明：：四边形ABCD为平行四边形， :.ADII BC, ,E为边AD上一点，AC与BE相交于点F, ∴.∠FAE=∠ACB, :∠ACB=∠ABE, ∴.∠FAE=∠ABE, :∠FEA=∠AEB, ∴.△FEA△AEB, AE EF BE AE' ∴.AE2=EF·BE (2)解：AE2=EF·BE且AE=2、EF=1, .BE=AF2 EF .BF=BE-EF=4-1=3 题型3相似三角形对应线段的比 13 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【例1】如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，若△ADE的周长为8，则△ABC的周长为 D A.14 B.15 C.16 D.17 【详解】解：：D,E分别是边AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线， .DEBC,.且DE=Bc ∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED .△ADE~AABC, C.ADE= 1 点.CABc 2 ,△ADE的周长为：8 .△ABC的周长为：2×8=16 【例2】证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比.已知：如图，△ABC∽△4'B'C,相似比为k,一· 求证·（先填空，再证明)证明： AD 【详解】已知，AD、AD分别是∠BAC、∠BAC上的角的平分线，求证：AD =k ,△ABC∽△A'B'C 14 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） AB BC AC ABBC-AC=k,∠B4g:∠B4C4BHC, :AD、AD'分别是∠BAC、∠BA'C'上的角的平分线， ∠BAD=∠B'A'D', .△ABDn△A'B'D', AD三AB=k ·ADAB' 【例3】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、 H分别在AB、AC上，已知BC=4,AD=3. A H B FD (I)求证：△AEH∽△ABC: (2)求这个正方形的边长. 【详解】(1)证明：，四边形EFGH是正方形， EH‖FG: ,正方形的边FG在BC上， .EH∥BC, .△AEH∽△ABC: (2)解：设正方形的边长为a,AD、EH交于点M,如图； :△AEHP△ABC, EH AM BC AD ,四边形EFGH是正方形， .∠MEF=∠EFD=90°； AD⊥BC, ∴.∠ADF=90°， :.∠MEF=∠EFD=∠ADF=90°， ∴，四边形EMDF是矩形， 15 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） .MD=EF=a. ·.AM=AD-MD=3-a, EH AM :BC AD a_3-a …43 解得：a=2 7 A H M FD G 12 即正方形的边长为7， 【变式练习】 1.己知△ABC∽△DEF,相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则aDEF的周长为() A.12 B.16 C.18 D.24 【详解】解：△ABC∽△DEF,相似比为2：3， .△ABC的周长：△DEF的周长=2：3， :△ABC的周长为8，设△DEF的周长为x, .8:x=2:3 即2x=8×3. 解得x=12, 即△DEF的周长为12. 2.△ABC中，若BC=54,AB=63,CA=45,和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长 是() A.63 B.54 C.45 D.162 【详解】解：在△ABC中，BC=54,AB=63,CA=45」 可得原三角形最短边为CA=45,原△ABC的周长为45+54+63=162. 设所求相似三角形的周长为C, 16 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) ,两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， C15 .16245' 解得C=54 BO 3 3.如图，AC和BD相交于点O,∠A=∠C,D02,若△4B0的周长为6，则ACD0的周长为() O A B A.9 B.5 C.4 D.2 【详解】解：：∠A=∠C,∠AOB=∠COD, .△AOB-△COD, BO 3 D02' ∴.△AOB的周长aCDO的周长=BO:DO=3:2. :△AB0的周长为6， 2×6 心aCD0的周长为：3=4 4.相似三角形的对应高之比为1：2，那么对应周长之比为 【详解】解：，相似三角形对应高的比为1：2， ∴，这两个相似三角形的相似比为1：2， ∴.相似三角形的对应周长之比为1：2. 5.已知△ABC∽△DEF,且面积比为1：2，则△ABC与△DEF的对应中线之比为. 【详解】解：△ABC~aDEF,△ABC与△DEF的面积比为1：2， ∴△AB 与ADEF 1:V2 的相似比为 ,相似三角形对应中线的比等于相似比， :△ABC与ADEF的对应中线之比为 1:v2=√2：2 6、两个相似三角形的面积分别为4cm和9cm, 和 则它们的对应角平分线的比为， 17 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 【详解】解：：两个相似三角形的面积分别为4cm和9cm2, 它们的面积比为g 4_2 则相似比为V93: 又·相似三角形对应角平分线的比等于相似比， “它们的对应角平分线的比为3（或2：3）： 故答案为：3（或2：3）. 7.如图，己知△ABC∽△DEF,AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，己知AB=14,DE=10,求 AH和DG的比， > 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得△ABH∽△DEG成为解题的关键. 由相似三角形的性质可得△ABC∽△DEF,再根据高的定义可得∠AHB=∠DGE,即△ABH∽△DEG,最 后根据相似三角形的性质列比例式即可解答。 【详解】解：：△ABC∽△DEF, ∠B=∠E, :AH是△ABC的高，DG是△DEF的高， .∠AHB=∠DGE, .△ABH∽△DEG, AH AB 14 7 ·DGDE105· 8.如图，在RtAABC中，∠A=90°，AC=9,BC=15 18 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） DG (I)求BC边上的高AD的长度； (②)正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH的边长. 【详解】(1)解：在RIABC中，：∠A=90，°AC=9,BC=15, 4B=VBC2-AC=V152-9=12 5.4wc-7 AB-AC-1BC.AD AD=B:4C-12x9_36 BC 155 (2)解：四边形EFGH是正方形， .EH∥BC, :△AEH△ABC, 如图，设AD与EH交于点M, B ,∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， “.四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM, 设正方形EFGH的边长为x, ,△AEH∽△ABC AM EH AD BC' 36 得365， 5 19 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 180 解得x= 37 180 ∴.正方形EFGH的边长为37· 题型4相似三角形的面积比 【例1】如图，在△ABC中，DE‖BC,DE:BC=l:3,则S△ADE:S边形DBCE等于() D A.1:3 B.2:3 C.1:9 D.1:8 【详解】解：DE‖BC, .∠ADE=∠ABC, :∠DAE=∠BAC, △ADE△ABC, DE 1 S.AC BC) 设e=g 则 S.ABC=9a .S四边形D8cE=8a :S4DE:Sg边形DaCE=1:8 【例2】如图，己知△ADE一△ACB,且E是AC的中点，AD=8,AB=9. D (I)求AE的长： 20 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (2)已知△ADE的面积是12，求四边形BCED的面积 【详解】(1)解：，△ADE△ACB, AD AE ·AC=AB: ,E是AC的中点， ..AC=2AE. 设AE=x,则AC=2X, :AD=8,AB=9, 8 x .2x9 解得x=6(舍去负值)即AE=6: (2)解：：△ADE一△ACB,AE=6,AC=12, AE-6-2 “.相似比为AB93' S.ACB S.ADE=12 124 .S.4CB 9. .S.AcB =27 S四边形8cED=S.ACB-SADE=27-12=15 【例3】△ABC沿BC边上的中线AD平移到△ABC的位置，己知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面 积为4.若AA=1,求AD的长度. A B D 21 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【答案】2 AD AD 2 【分析】如图，由平移的性质可得△AEF∽aABC,则Sc AD 9,即AD=3,根据 AD 2 AD+AM3,计算求解即可. 【详解】解：如图， B D F E B 由平移的性质可得△AEFr△ABC, _4 .S。ABC 、AD 9, AD2 解得AD AD 2 3, 即AD+AA3 解得AD=2, 故答案为：2. 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE‖BC,DE=3,BC=7,则△ADE和△ABC 面积的比值为() 9 3 A.49 B.49 C.7 22 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【详解】解：，DE‖BC, ∴.△ADE一△ABC, SADE 1 2.如图，在△ABC中，点D,B分别为AB,AC上的点，若DEBC,Sc4,则BC DE D E 【 【详解】解：DE‖BC, .△ADE∽aABC, SAADE= DE= .SABC BC 4, DE 1 六BC2(负值己舍去). 3.如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转I80°，点 D到了点F的位置， SADE·S四边形BCFD= D B 【详解】解：将△ADE绕着点E顺时针旋转18O°，点D到了点F的位置， ∴△ADE≌△CFE, 23 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） SAADE =SACFE :.S边形8CFD=S四边形aCED+S,cFE=S边形BCED+SADE=S,C :DE是三角形ABC的中位线 DEl BC, DE=BC 2 .△ADEAABC, DE_1 ·相似比为BC2' SAABC SADE·S四边形BCFD=S。MDE·SABC=1:4 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，CE=2ED,AE与BD交于点O.若△DOE的面积为 1cm2 ,则S△A0B为 cm. B E D 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形， .ABII CD AB=CD ∴.∠OAB=∠OED,∠OBA=∠ODE, .△OAB∽△OED .CE=2ED ∴.CD=CE+DE=3DE :.AB=3DE, AB_3DE=3 :DEDE S=(4B}=3=9 SDOE DE 24 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） ..S.408=9S.DoE=9(cm2) 5.如图，在平面直角坐标系中，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的面积比为， 4 OB 2 1 【详解】解：由图形可知，OD63: :△AOB△COD, S40B= 1)2 .S.co ∴.△AOB与aCOD的面积比为1：9 OD OE OF 1 6.如图，点0为AABC内一点，点D'E,F分别在线段0A:OB,OC上，且满足OA=OB=OC=3. E B (I)求证：△DEF∽△ABC (2)若△DEF的面积是3，求△ABC的面积， OD OE 1 【答案】I)证明：OAOB3,∠D0E=∠AOB .△ODE∽△OAB, DE 1 ·AB3 EF 1 DF 1 同理得BC=3,AC3, DE EF DF 1 AB BC AC3: .△DEFn△ABC: 25 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (2)27 AD BF 7.AABC中，DEIBC,点F在BC边上，且ABBC A D B F )求证：EF‖AB: ②若△1DE面积5a=4.△EF 面积八r9 ,求 【详解】(1)证明：DE‖BC, AD DE AB BC AD BF AB BC DE BF BCBC ∴.DE=BF, 又：DE BF, ∴.四边形DBFE为平行四边形， .EF‖AB: (2)EFI AB .∠B=∠EFC, .DE‖BC, ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .∠ADE=∠EFC, ∴.△ADE∽AEFC EC 9, 26 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） AE 2 EC3' EC+AE_2+3AC_5 AE =2,即AE2, ,DE‖BC .∠C=∠AED 又：∠A=∠A, .∴.△ABC~△ADE AC225 S。ADE ΓAE 4 S.ABC 25 4=25cm2 41 8.如图，将△ABC沿AB方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分为△DBG B (I)求证：△DBG∽△ABC: (②)若△DBG的面积是。ABC的面积的3，AB=3,求AABC平移的距离. 【答案】()证明见解析 e3-5 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的运用平移的性质解题是关键， (1)由平移的性质可得ACDE,从而可得结论： BD=3 (2)由相似三角形的性质可得 ,从而可得平移的距离， 【详解】(1)证明：，△ABC沿AB方向平移得到△DEF, .AC‖DE .∠A=∠GDB,∠ACB=∠DGB, ∴.△DBG∽△ABC: 27 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (2):△DBG△4BC,△DBG的面积是AABC的面积的3， BD 2 :S。ABC 、AB 3, AB=3, BD T 3 333, ,BD=5 4BC AD=3-3 平移的距离为： 9.观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中， SAc=S,D是△MBC中4B边的二等 分点，图2中D、E是AB边的三等分点，图3中D、E、F是AB边的四等分点…图4中D、E、F、 G是AB边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边BC平行.设△ABC的面积为S,过各等分点与底边 平行的线段分三角形各部分的面积分别为：S,S,8 “，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平 方可得： DA DA S E S D E S /7S3 S S G ●0● Sa C B C B S C 图1 图2 图3 图4 ①当D是4B S2= 的二等分点： ②当D、E是AB边的三等分点：S3= ③当D、E、F是AB边的四等分点：S4= … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第④个等式：S= (2)从①，②，③中，任选一个，写出求解过程. 28 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) S (3)请你猜想出“的结果（用含”的式子表示）· 【详解】(I)解：：AD=DE=EF=FG=GB,过五等分点的线段与底边BC平行， S+S2+S3+S4 /4216 .S1+S2+S3+S4+S 525,S+S2+S3+S4+S,=S, 23 (2)解：①：AD=DB,过二等分点的线段与底边BC平行， S .S+S2 24,S+S2=S, 4 ②：AD=DE=BE,过三等分点的线段与底边BC平行， S+S2= 3 4 .S+S2+S3 3=9,S+S,+S=S, 91 ③：AD=DE=EF=FB,过四等分点的线段与底边BC平行， S+S2+S3= 39 .S+S2+S3+S4(416,S+S2+S3+S4=S, 16-9 即：S6 (3)解：，D、E、F、G是边的n等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， :2:3:..:(n-1:n 则各三角形的相似比为 面积比为 :4:9::(n-1）:n2 > n 29 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 目目 过关练习 一、单选题 1.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，BC=8,则DE的长为() A.4 B.2 C.8√2 D.4V2 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题 的关键，由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为 1 2, V2 则相似此为2，进而即可得出结果。 【详解】解：DE‖BC, ∴.△ADEAABC, AD DE .ABBC· :S.4oe=S边6DacE AD T2 DE DE .28, .DE-4V 故选：D 30 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 2.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O,小正方形的边长为1，则 A D0的值等于() 3 2 A.2 B.3 c.5 4 D. 【答案】B AO 【分析】根据网格图得出△ABO∽aDC0,即可得到DO的值. 【详解】解：由图可知，AB与CD均在水平网格线上， ∴.ABCD .△ABO∽△DCO. AO AB 2 DO CD= 3 S.AOD S.COB=1:4 3.如图，在四边形1 BCD中，1DBC,4C,BD相交于点O, 4,则D:BC=() D A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 【答案】A 【分析】根据△AOD一△COB,解答即可. 【详解】解：AD‖BC, ∴.△AOD△COB S.AOD AD 1 ∴.S.coB 8C=4, 31 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 即AD:BC=1:2 4.如图，将RIAABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，己知AB=6,HD=2,CF=3,则 CE的长度为() 0 E B A.9 B.8 C.6 D.5 【答案】C 【分析】根据平移的性质，结合相似三角形的判定和性质，进行求解即可 【详解】解：平移， .BE=CF=3,DE AB,DE=AB=6, .△CEHP△CBA,EH=DE-DH=4, CE HE CE4 ·BCAB· 即CE+36' ∴.CE=6 5.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分△CEG)的面积 是AABC的面积的3，已知BC=3,则AABC平移的距离BE为() D A.1 B.3 D.3-V5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键， 根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可. 【详解】解：：△ABC沿BC边平移到△DEF的位置， .AB‖EG 32 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） .AGEC∽△ABC Cy=S.ORC=1 BC S.ABC 3 EC_ BC 3, .EC= BC=3 3 ∴BE=BC-EC=3-V5. 故选：D 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F,交BC延长线于点G,若 DE:CE=3l.则5mSam(） A A.3:4 B.9:16 C.3:5 D.9:25 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质是解 决问题的关键。 根据平行四边形的性质得到AD∥BG,得到△ADE∽aGCE与△ADF∽aGBF,利用相似比及DE:CE=3:I 即可得出结论。 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BG, ∴.∠G=∠DAG :∠AED=∠GEC, △ADEAGCE, AD DE 3 CG CE 33 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 设CG=a,AD=3a ∴在平行四边形ABCD中，AD=BC=3a, :∠DFA=∠BFG,∠G=∠DAG, ∴.△ADFAGBF AF AD AD 3a3 FG BG BC+CG 3a+a 4' S.AFD:S.GFB=9:16 故选：B 7.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使其一边在 BC上，其余两个项点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为() E F D G A.60mm B.48mm C.36mm D 24mm 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△AEH∽△ABC是解题的关键 EH AK 证明△AEH∽△ABC,则BC=AD,设KD=x'列方程解方程即可. 【详解】解：因为正方形EFGH的FG边在BC上， .EH‖BC :△AEH∽△ABC, EH AK BC AD' 设KD=x, x80-x EF=GH=KD=x'12080· ∴.解得：x=48, ,.这个正方形零件的边长是48mm 34 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 故选：B 8.如图，在一处舞台灯光设计中，等边△PCD的三个顶点被用作灯光投射定位点.灯光射线PA与PB交 于点P,且△ACP∽APDB,PD:DB=2:L,若AB=14米，则CD的长度是() D A.2米 B.4米 C.5米 D.3米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的 关键.根据△PCD为等边三角形，得出CD=PD=PC,设DB=x米，则CD=PC=PD=2x米，根据 AC 2x △4CP∽△PDB?得出2x=x,求出AC=4x,列出方程4x+2x+x=14,求出x的值，即可得出答案. 【详解】解：，aPCD为等边三角形， ∴.CD=PD=PC, PD:DB=2:1, .设DB=x米，则CD=PC=PD=2x米， ,△ACP∽△PDB AC PC PD DB' AC2x 2x x' 解得：AC=4x, .AB=14米， ∴4x+2x+x=14, 解得：x=2, .CD=2x=4米， 故选：B 二、填空题 9.如图，小文想要测出A、B间的距离，但是，A、B两地却被池塘隔开，于是先在AB外选一点C,在 35 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) AC BC M N AM=2CM,BN =2CN MN 10m 上分别找点“，，使得 ,测量出M的长为0m.由此可知， 间的距离为 m M 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.根据题意证明 △MCN∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求解， 【详解】解：：AM=2CM,BN=2CN, .AC=3CM,BC=3CN, CM CN 1 ·CACB3 又，∠MCN=∠ACB .∴△MCN∽△ACB, MN CM 101 六AB=CA,即AB3, 解得：AB=30m 故答案为：30 10.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9,AC=6,AD=3,若使△ADE一△ACB, 则AE的长为 【答案】4.5 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形对应边成比例，列出关于AE的等式，进而求出 AE的长度 【详解】解：，△ADE一△ACB 36 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） AE AD AE 3 ·ABAC,即9=6， 解得AE=4.5. 故答案为：4.5 11.如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚 9 3 己知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为5m和2m,则木杆高为 m. 甲 木杆 9 【答案】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得AD‖EF‖BC,即△BEF∽△BDA, △AEF∽aACB,根据线段成比例关系得出方程，求解即可. 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： 甲 木杆 B 777777777777777 ,甲、乙两人和木杆依次直立， ∴.AD‖EF‖BC, ∴，△BEFP△BDA,△AEFP△ACB, EF BF EF AF ·DABA·BCBA' .BF=EFx AB AF=EF×AB DA, BC .BF+AF=AB, EF×AB EFX AB=AB :.DA BC 9 3 ..AD=m,BC=>m 5 2 37 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） EF×AB,EFxAB=AB 9 3 2 9 解得EF=2m 11 12.如图，己知AB‖CD,AD与BC交于点E,若CD=2AB,AE=3,则DE的长为 【答案】6 【分析】证明△ABEPADCE,根据相似三角形的性质即可. 【详解】解：AB‖CD .△ABEADCE, ABAE CD DE .CD=2AB,AE=3, 13 2 DE' 解得DE=6 13.如图，己知△ADEAABC,且AD=3,AC=7,AE=2,则BE= 【答案】8.5 AD AE 【分析】根据相似三角形的性质得到ABAC,代入求解即可得到答案： 【详解】解：，△ADEAABC, AD AE :.AB AC' :AD=3,AC=7,AE=2, 38 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 32 AB=7,解得：AB=10.5 BE=AB-AE=8.5 14.如图，在平面直角坐标系中，点 A(-2,0) 点B在y轴上，点C在x轴正半轴上，OD1B,交BC于 点D,若 △ABc:S△opc=9:l ,则点C的坐标为 B (1,0) 【答案】 【分析】先证明△COD∽aCAB,求出OC:OA=1:2,得到OC=1,即可得到答案. 【详解】解：OD∥AB, .∴CODACAB .S.ABC S.ODC =AC2:OC2=9:1 .0C:AC=1:3, .0C:OA=1:2, A(-2,0) ∴.OA=2, .0C=1, 六点C的坐标为，0) 15.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是AC上一点，过点D作DEI‖BC交AB于点E,DF‖AB交BC于 点F若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面积为一 39 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） B 【答案】 10W2 【分析】利用△AED和△DFC相似可得DE·DF=20,再利用等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理进 行求解即可。 【详解】解：过点E作EG⊥BC于点G, D DE BC.DF AB. ,∠AED=∠B=∠DFC=45°，∠FDC=∠A,四边形DEBF为平行四边形， ∴△AED ADFC,DF=BE, AE DE DFCF· 5 DE DF 4 .DE·DF=20, 在△BEG中，∠B=45°，EG⊥BC, ∴.△BEG为等腰直角三角形， ..GB=GE, GE=BE2-BG2=BE2-GE2 E-BE-DF 解得 2 2 ∴S=DE.GE=DE.5DF 2 40 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） ,DE·DF=20 :5=10w5 16.如图，△ABC被一矩形所截，AB被截成三等分，EF‖BC,若图中阴影部分的面积是12，则四边形 BCFE的面积为， D G E B 【答案】20 【分析】根据题意可得AD=DE=EB,且DG∥EF∥BC,从而证得△ADG∽aAEF∽aABC,利用相似比 求出面积比，设 S.DG=k BCFE ,表示出阴影部分面积和四边形 的面积，建立方程求解即可 【详解】解：由题意可得：AB被截成三等分， .AD=DE =EB, AD1 AE2 AE2,AB3· 三角形被矩形所截， ∴.DG IEF BC :△ADGP△AEF∽△ABC, S.AEF =4k S.ABC =9k ,则 .S阴影=S四边形DEFG=SABr-SADG=4k-k=3k :阴影部分的面积是12， .3k=12. 解得k=4, 41 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） .S四边形BCFE=S。4Bc-S4Br=9k-4k=5k=5×4=20 、1如图，在△ABC中，DEBC,若兰=)，则△DOE与ABOC的面积之比为☐ E 【答案】1：9 AE 1 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出AC3,再证明△ADE∽△ABC得到 DE AE1 BC-AC3:接着证明△D0E∽△COB,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案， AE 1 【详解】解：EC2' AE 1 ·AC3 .DEll BC, .△ADE∽△ABC, DE AE1 BCAC3' .DE BC, ∴.△DOEn△COB SADOE DE 2 ..SABoC BC 故答案为：1：9 18,如图，在平面直角坐标系中，点4B均在函数y（>0,x>0)的图象上，BD1x轴于点D·交线 段OA于点C,若点C为线段0OA的中点，△ABC的面积为2，则k的值为 42 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） B D 【答案】4 【分析】作AE⊥x轴，垂足为E,连接OB,根据反比例函数k值的几何意义和题意得出 3 SsOCD=1 S.amc=S边4a2,根据相似三角形的判定和性质得出S0E4,设Soe=m,则Son=m 2,代 入计算求出m的值，即可求解。 【详解】解：如图，作AELx轴，垂足为E,连接OB, 点、在反比例函数图象上， D E SOBD =S.OAE S.BOc=S四边形ACDE :点C为线段OA的中点，△ABC的面积为2， 3 .S,B0c=S边形4CDE-2, .CD AE, ..AOCDOAOAE, 设S.aE=m,则S.0n=m-3 2 43 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 3 m 即21 m 41 解得m=2, S.OME=2 k=2S.0E=4 三、解答题 19.如图，己知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F,若AD=l2,DE=5,AF=4,求BF的 长 D 【答案】BF= 48 5 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，关键是知识点的灵活应用：根据等角的余角 BF AF 相等得到&BAF6AED:进而得到ADDE即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=∠D=90°， .∠DAE+∠BAF=90°， ,BF⊥AE, .∠BFA=90°， .∠ABF+∠BAF=90°， ∴.∠DAE=∠ABF, ∴.△BAF∽△AED, BF AF .ADDE’ 44 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） BF 4 125 :BF=48 5· 20.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D. D B (I)求证：△BCD∽△ABC ②)若AC=1,求AD的长. 【答案】()见解析 5-1 (2)2 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到 ∠ABD=∠DBC=36°，得出∠A=∠DBC即可： (2)先证出AD=BC=BD,设BC=AD=x,得出CD=AC-AD=1-x,根据△ABC∽△BCD得出 AC_BC BCDC,解方程即可求解. 【详解】(I)证明：：AB=AC, ∴·∠ABC=∠ACB, .∠A=36°， .∠ABC=∠ACB=72°， BD平分∠ABC, E∠CBD=∠ABC=36 .∠A=∠DBC. :∠ACB=∠BCD, .△ABC∽△BCD: (2)解：∠ABD=∠A=36° 45 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） ∴.AD=BD,∠BDC=72°， ∠ACB=72°， ∴.∠BDC=∠DCB .BC=BD. .AD=BC=BD, 设BC=AD=X, .CD=AC-AD=1-x, △ABC∽△BCD, 1 x AC_BC 小CD即- .x2+x=1, 解得： 25-1 2(舍去)， AD=5-1 2 21.如图，在△ABC中，D为边AB上一点. I)在边AC上求作一点E,使得DE‖BC:(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) ②)在(I)的条件下，若DE=3,BC=5,F,G分别为线段BD,EC上的点，且FGBC.若线段FG 平分四边形BCED的面积，求FG的长. 【答案】(I)如图所示，DE为所求作： 46 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) B ev 【分析】(1)用尺规作图作∠ADE=∠B,根据同位角相等，两直线平行，可知DEBC; (2)由DE‖BC可知△ADE△ABC,由FGBC可知△AFGAABC,由相似三角形的面积比等于相似比 FG2-9」 的平方可得S四边形DEGr= 255.c Snmcr-25-FG 25 S.Ac,根据线段FG平分四边形BCED的面积。 即可求出FG的长度 【详解】(I)解：以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交BA、BC于点M、N, 以点D为圆心，BM为半径画弧，交DA于点H, 以点H为圆心，MN为半径画弧，交前弧于点P, 作射线DP交AC于点E, 则∠ADE=∠B, 根据同位角相等，两直线平行，可得DEBC: (2)解：如下图所示， .'DE‖BC,DE=3,BC=5, ∴△ADEP△ABC DE -3)2 9 25, 9 S。ADE= 25 47 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） FGII BC, △AFGn△ABC, G2 (FG FG2 S。ABC BC (5 25, .S。AFG= FG 25 -S。ABC aws=Se-及e-FG 25 5. 255c FG-9Se 25 FG2 S0a0"S=r灯- 25 :线段FG平分四边形BCED的面积， FG-9S.c= 25-FG2 25 259c 整理得：2FG2=34, ..FG=17 22.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，CE⊥AB于点E. D (I)求证：△ABD∽△CBE: (②)若BC=4,AD=6,求BE的长. 【答案】I)证明：：AB=AC,D为BC中点， AD⊥BC. .∠ADB=90° .CE⊥AB, .∠BEC=90°， .∠BEC=∠ADB ,∠B=∠B, 48 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） ∴.△ABD∽△CBE」 BE=2V10 【分析】(1)根据等腰三角形的性质，结合题意，证明∠BEC=∠ADB,利用公共角证明即可： BE BC (2)根据三角形相似，得B0=AB,根据勾股定理AB=2√0，代入比例式求解即可。 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABD∽△CBE, BE BC ·BDAB :D为BC中点，BC=4, :.BD=-BC=2 在RtABD中，AD=6, :AB=VAD2+BD2=V6+2=210 .BE=4 .2-210 BE=2ò 5. 23.张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中BC=12cm,高AD=8cm,张师傅想把它加工成矩形 零件POMN,使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PO与AD交于点H. D M C ()当△AP2面积为24cm2时，P0=cm; (②)当四边形PQMN为正方形时，求出这个零件的边长. 【答案】1)6V2 49 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 24 2)这个零件的边长为5cm 【分析】本题考查了相似三角形的应用， (I)根据PO∥BC,得到△APQ一△ABC,利用相似三角形的性质可得到答案： 2)设正方形的边长为aCm,根据PQBC,得到△APQ一△ABC,由对应高之比等于相似比得 PO_AH BCAD,据此求解即可 【详解】(1)，BC=12cm,高AD=8cm, 、SMBc2BC·AD= 2×12x8=48cm2. :矩形零件POMN, .PQ‖BC ∴.△APQ~△ABC, PO) S4P2=24_1 ∴（BC)S.ABC482, PO .BC2, Po-BC-6V2cm 故答案为：6V2: (2)解：：四边形PMN为正方形， .PQ‖BC,PQ=PN=HD, 设正方形的边长为acm,则PQ=PN=HD=acm, PQ∥BC, ∴.△APQ△ABC, PO AH BC AD' 50 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) a_8-a 128 24 解得a= 5 24 答：这个零件的边长为5cm 24.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP,延长后交AD于点E,交BA的延长线于点 F (I)求证：△APD兰△CPD: (2)求证：PC2=PE,PF 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱 形的边与角的性质以及通过证明三角形相似得到线段的比例关系是解题的关键。 (I)根据菱形的性质得到AD=CD和∠ADP=∠CDP,再结合公共边PD=PD,利用“SAS”判定 △APD≌ACPD (2)先由全等三角形的性质得到PA=PC和∠DAP=∠DCP,再利用菱形对边平行的性质得到 ∠DCP=∠F,从而推出∠DAP=∠F,结合公共角∠APE=∠FPA证明△APE∽aFPA,得到比例式 PA2=PE·PF PA=PC 最后通过等量代换 PC2=PE·PF 证得 【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形， .AD=CD,∠ADP=∠CDP 在△APD和△CPD中， 51 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） AD=CD ∠ADP=∠CDP PD=PD △APD≌△CPD(SAS) (2)证明：，△APD兰△CPD, ∴∠DAP=∠DCP .CD BF, ∴.∠DCP=∠F, ∠DAP=∠F, 又，∠APE=∠FPA, .△APE∽△FPA, AP PE EP PA' .PA=PE·PF, ,△APD三△CPD, .PA=PC, PC2=PE·PF. 25.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90,∠ABC=∠ADE,连接BD,CE,若AC=BC。 (1)求证：△ACE∽△ABD; Q)若CE= ,求BD的长 【答案】1)见解析 (2)2 【分析】(I)根据题意易证△ABC∽△ADE,得到对应角相等和对应边成比例，进而通过角的和差得到 52 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） ∠CAE=∠BAD,即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证得结论： (②)先根据勾股定理得到1B=V2AC ,再根据相似三角形对应边成比例即可解答。 【详解】(1)证明：：∠ACB=∠AED=9O°，∠ABC=∠ADE, △ABC△ADE、 AE AC 、BAC=上DAE.AB=E即ADAB ∴.∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD, ,.△ACE△ABD: (2)解：：∠ACB=90°，AC=BC, AB=VAc 由(I)可知△ACE∽△ABD, BD_AB=2 ·CEAC .CE= BD=VCE-x2=2 53