福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．记的内角，，的对边分别为，，，且，，，则 A． B． C． D． 2．复数的实部与虚部之和为 A．2 B．1 C．0 D．3 3．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 A．-6 B．6 C． D． 4．用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则 A．2 B． C．4 D． 5．已知点，，C是线段上最靠近的一个四等分点，则的坐标为 A． B． C． D． 6．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 7．上底面、下底面面积分别为，，高为的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水全部倒入倒立的底面半径与高均为的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器中的水面高度为 A． B． C． D． 8．台风中心位于地（视为质点）正西方向处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响．如果台风风速不变，地遭受台风影响的持续时间为（取） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B． C． D． 10．在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则 A．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B．该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 11．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是 A． B．外接圆的半径为 C．的最大值为4 D．若的外心为，则的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．十棱柱有 ▲ 个顶点， ▲ 条棱， ▲ 个面． 13．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则（）在复平面内对应的点不可能位于第 ▲ 象限． 14．函数的最大值为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求． 16．（15分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且，的面积为． （1）求A； （2）若为钝角，且的周长为，求． 17．（15分） （1）若是关于的方程，，的一个根，求，； （2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根． 18．（17分） 如图，在梯形中，，，，，分别是边，上不与端点重合的点，且． （1）用，表示； （2）若，与交于点，求； （3）若，求的最小值． 19．（17分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求． （2）已知为边上的一点，且，． （ⅰ）求； （ⅱ）若，是线段上（不与重合）的一动点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年下学期期中考数学参考答案 1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.B8.C 9.AC 10.AD 11.BCD 12.20:30:1213.四14.V15 15.解：(1)由题意得b=-1×3+2×1=-1, 2分 d=-+2=V5=V32+P=10 4分 a.b2 所以ā与6夹角的余弦值为 10 6分 (2)ā+5=(-1,2)+k(3,1)=(3k-1,k+2). 7分 2a-b=2(-1,2)-(3,1)=(（-5,3) 9分 因为(a+)1(2a-6).所以(a+)2a-b)=-53k-)+3(+2)=0, 11分 得12， 13分 16.解：(1)由正弦定理得c=3b. 2分 S=besind=33 由△ABC的面积2 4 sin4=336 V3 ,得 2c2. 5分 A=T2π 因为A∈(0，)，所以43或3.7分 13 (2)因为A为钝角，所以3,8分 2=b2+c2-2bcc0sA=b2+962+2b-3b.】=13 由余弦定理 2 ,得a=13b.12分 又a+b+c=V13b+4b=2V13+8,所以b=2.15分 17.解：(1)由题意易得方程的另一个根为5+V5i,2分 5-√5i+5+V5i=a, (5-v55+V5i)=b, 由韦达定理得 5分 a=10, 得(b=30. 7分 (2)设该纯虚数根为mi,m∈R,且m≠0,8分 则m+(-i)mi+2+i=0,得m+m+2+(m+1i=0,9分 -m2+m+2=0, 所以t(m+1)=0, 11分 t∈R, t=0, 得m=-l或m=2. 13分 故该纯虚数根为-i. 15分 AC=AD+DC=】AB+AD 18.解：(1) 3分 AE BF 1 AD BA 3 (2)由 得而=3花，- .5分 AP =元AP=AB+AD=3AF+3AE 设AC ,则 7分 32+3=1元=4 因为E,P,F三点共线，所以4 ,得15 9分 AP 4 AC 15 故 10分 AE BF =t AD BA (3)设 (0<<1),=AD.AF=(1-t)4B 12分 得F=AF-AE=(-)B-tAD 13分 EF=(1-)4B-1AD=B-2(1-)4BD+D -40-j-0-0r-m-0+4-月 15分 21 当7时， EF 取得最小值，且最小值为7· 17分 2sinBsin A+π =√3sinc 19.解：(1)由正弦定理得 3 1分 sinAsinB+3cos sinB-3sin(+B)=3sinAcosB+3cossinB 2分 则sin4sinB=V5 sinAcosB.由A∈(0，m),得sinA≠0，所以sinB=V3cosB,故tanB=V5. 3 B=π 因为B∈(0，)，所以83. 4分 AD =2AD (2)(i)在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB sin.∠ABD .①6分 CD S、CD sin/BDC sin/CBD sin 在△BCD中，由正弦定理得 12.② 8分 因为∠ADB+∠BDC=兀，所以sin/ADB=sin∠BDC. 9分 ①c V2 ADsin.元 ②得a 2-v2sim）k45+刊4 CD (3433 10分 (i)由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得a2+c2-ac=13. 11分 c4 结合a3,得a=3,c=4.12分 ∠FBC=π 如图，作 2(点F在边BC的下方)，EF⊥BF,垂足为F,过点A作AG⊥BF,垂足为 G. 13分 EF=BEsin∠FBD=BEsin(∠FBC+∠CBD)=BEsin=BE 62 ,14分 BE+24E-2EF+24E-2(4E+EF)224G-2csim-8x6226+2 46 4 故BE+2AE的最小值为2V6+2V2 17分