福建厦门市同安实验中学2024～2025学年第二学期高一年级期中考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以复数、向量、立体几何为主体，融合《九章算术》“阳马”文化素材与动态空间探究，梯度设计凸显数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、向量线性运算、圆锥侧面展开|斜二测画法直观图还原，考查空间观念| |多选题|3/18|向量坐标运算、圆台性质|结合图形辨析向量投影与共线，体现推理意识| |填空题|3/15|向量共线、解三角形应用|正方体中点轨迹探究，渗透几何直观| |解答题|5/77|立体几何证明、圆锥展开体积|阳马外接球计算融合文化，动态卷圆锥问题考查创新意识|

厦门市同安实验中学2024~2025学年第二学期高一年级期中考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．复数z = 的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）   A． B． C． D． 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A. B． C． D． 4．已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5.已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（     ）. A．1 B． C． D．2 6．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（    ） A． C． B． D． 7．已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（     ）. A． B． C. D． 8． 平面向量满足且则夹角的正弦值的最大值为（     ）. A. B． C. D． 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分. 9．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则 A． B． C．在方向上的投影向量的模为 D．存在实数，使得与共线 10．下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为2 D．设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则9． 11．如图，圆台中，母线与下底面所成的角为，为上底面直径， ，则 A．圆台的母线长为 B．圆台的侧面积为 C．由点出发沿侧面到达的最短距离是 D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的 棱长最大值是 三、填空题：本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12.已知向量共线，则实数m= . 13.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，，，则两景点B与C的距离为 km. 14. 在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形是 （四边形、五边形、六边形）,其面积为 .    四、解答题：本题共 5 小题,共 77 分. 15.如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD； (2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 16.如图，在中，，，，点为线段上任意一点. (1)求； (2)求的最小值. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量, . (1) 求C的大小； (2) 若点D为边AB上一点，且满足，求△ABC的面积. 18. 在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点， 平面平面． (1)证明：； (2)若=3，求直线与平面所成角的正切值． 19．如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. 图1 图2 （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体MABC的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $