精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

衡阳市八中高二下学期第一次月考试题 数学 考试时间：120分钟 考试总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合或 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 4. 在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面角的定义求得 ，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【详解】在平面 中过作，垂足为， 因为平面， 所以 为与平面所成角，则， 又平面，所以 ，又 ，所以， 所以，， 因为，则 ， 因为平面，所以， 又平面 ，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 5. 若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果. 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. E的焦点到渐近线的距离为2 B. C. E的实轴长为6 D. E的离心率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果. 【详解】依题意可得，得，故B不正确； ,,, 所以E的焦点到渐近线的距离为，故A不正确； 因为，所以E的实轴长为 ，故C不正确； E的离心率为，故D正确. 故选：D 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性求解. 【详解】∵，，， ∴. 故选：A. 8. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图，根据空间向量线性运算法则利用表示即可. 【详解】因为 所以. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 复数 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 为纯虚数 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算求出 ，求出其模后可判断A的正误，求出其对应的点后可判断B的正误，结合四则运算求出、可判断CD的正误. 【详解】， 故，故，故A正确， 而 在复平面上对应的点为，它在第四象限，故B正确. ，故C正确. ，它不为纯虚数，故D错误， 故选：ABC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得 ，，解得 ，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则， ，解得， ， 因为，所以，，， 所以是的对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 11. 已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ） A. ，点在圆外 B. ，使得直线与圆相切 C. 当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为 D. 若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断A，由直线系所过定点在圆内判断B，根据交点弦的性质求解可判断C，根据圆与直线的位置关系判断D. 【详解】将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确； 整理直线的方程为：，由解得，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，可得，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误； 当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确； 当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据为相反向量，将表示成，然后分析点的位置即可得解. 【详解】如图： 记的外接圆半径为， ， 由图可知的最大值为时，取最大值0； 因为中，所以当为中点时，最小， 此时，所以取最小值， 故答案为：． 13. 过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______ 【答案】 【解析】 【详解】因为直线过点且倾斜角为， 所以该直线的斜率为，即该直线的方程为. 与抛物线方程联立得，， ， 设，， 所以. 14. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得，， 则，， 又，满足上式，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知非零等差数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）记的前n项和为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差后，借助所给等式即可计算出公差与首项，即可得解； （2）求出后由二次函数性质即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由可得，即， 由可得，即， 即有，化简得， 故或，则 或， 由数列为非零数列，故，， 故； 【小问2详解】 ， 故当时，有最小值. 16. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数； （3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率． 【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4 【解析】 【分析】（1）由面积和为1，可解得x的值； （2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数； （3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率． 【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02． （2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A， 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，O为边的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取线段的中点F，连， 在中，E，F分别为，的中点 且 又底面是菱形，且O为的中点 且且 四边形为平行四边形 又平面，平面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明 平面即可； （2）建立空间直角坐标系，以向量法去求与平面所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面 内过点O作，又侧面底面，则 平面， 由， ，可得 故分别以、、 所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系， 则，，， 则,, 设平面的一个法向量， 则，即，令，则 即，设直线与平面所成的角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）解法一：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；解法二：利用余弦定理角化边，进而利用余弦定理求出，由此可得； （2）由三角形面积公式可求得，利用余弦定理可构造方程求得 ，由此可得三角形周长. 【小问1详解】 解法一： 因为， 由正弦定理得， 所以， ， 即， 因为，所以， 因为，所以. 解法二： 因为， 由余弦定理得， 即， 即， 所以 ， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为的面积， 所以， 因为，所以， 由（1）得， 所以，故， 解得， 所以的周长. 解法二： 由（1）得， 因为， 所以，整理得， 即 ，又，所以为等边三角形， 即， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6 解法三： （2）由（1）得， 所以， 当且仅当 时取”， 因为， 所以， 因为的面积， 所以， 所以的周长为6. 19. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的倍，过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，且当直线l的倾斜角为 时，． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在x轴上方，E为线段PF的中点，椭圆C的左焦点为，直线PO（O为坐标原点）与交于点A，求（S表示面积）的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问先求出 的关系式，再联立直线与椭圆方程解出即可.第二问由求得，再求，联立直线与椭圆方程，消去参数即可求的取值范围． 【小问1详解】 依题意，，得， 则椭圆． 设直线l的斜率为k． 由题易知，故当倾斜角为 时，直线． 联立可得，解得或． 故，解得． 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 依题意，． 设，则 ． 如图，连接OE，OQ， 因为O，E分别为线段，PF的中点， 所以， ， 的面积为． 记，得． 设直线，与椭圆C的方程联立，消去x得， 由根与系数的关系可得． 令，其中， 则可得． 当时，，此时． 当时，，所以， 又，解得． 所以，解得， 又因为， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中高二下学期第一次月考试题 数学 考试时间：120分钟 考试总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合或 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 4. 在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. E的焦点到渐近线的距离为2 B. C. E的实轴长为6 D. E的离心率为 7. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 复数 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 为纯虚数 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 11. 已知直线，圆，则下列命题正确的是（ ） A. ，点在圆外 B. ，使得直线与圆相切 C. 当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为 D. 若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________． 13. 过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于AB两点，则_______ 14. 已知数列满足，，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知非零等差数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）记的前n项和为，求的最小值. 16. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图． （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数； （3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，O为边的中点. （1）求证：平面； （2）若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值. 18. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 19. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的倍，过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，且当直线l的倾斜角为 时，． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P在x轴上方，E为线段PF的中点，椭圆C的左焦点为，直线PO（O为坐标原点）与交于点A，求（S表示面积）的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $