精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试卷

高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，且，所以. 故选：A. 2. 已知命题，都有，则该命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可； 【详解】解：命题，都有，为全称量词命题，其否定为，都有， 故选：C 3. 已知实数，，．满足，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质即可判断选项A；举反例即可判断选项B；根据基本不等式即可判断选项C；根据指数函数的性质，对数的运算性质即可判断选项D． 【详解】对于A，由，，则，故A错误； 对于B，由，，但不一定成立， 举反例：取，，，此时，故B错误； 对于C，由，则，又等号无法取到，所以，故C正确； 对于D，由，若，则，所以，即； 若，则，所以，即，故D错误． 4. 二项式的展开式中项的系数为，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C． 【考点定位】二项式定理． 5. 已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆心到直线的距离以及半径即可得解. 【详解】因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离的最小值为． 故选：A. 6. 记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 取最小值时 C. 不是等差数列 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对已知递推式变形证明是等差数列，求出和的通项，再逐一判断各选项正误. 【详解】对于A，已知，取，得. 解得，即，故A错误； 对于B，将递推式两边同除以，得， 故是首项为、公差为1的等差数列， 因此，即. 则，，该二次函数开口向上，对称轴为， 故或时取最小值，故B错误； 对于C，当，时，， 时也满足该式，故，，则，即是公差为0的等差数列，故C错误； 对于D，由得， 因此，故D正确. 7. 函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据、 为奇函数，推导出 、 的对称性与周期性，再据此逐一验证选项即可. 【详解】 为奇函数， ， ① 则关于点 中心对称， 对①两边求导：，， 即 关于直线 对称，即， ② 为奇函数， ， 令 ，则 ，代入得：， 即 关于点 对称，故， ③ 联立②③：， 令 ，则 ，代入得：， 即 ，故 ， 的周期为 ，且， 由 及 ，则， 令 ，得 ， 又 关于 对称，故 ， 令 ，代入①式：，即 ， 由 ，令 ，得 ， 又 ，令 代入 ，得： ，所以，即， 故 ，得 ，所以， 所以， 即 的周期为 ； 选项A：由 ，可知 周期为 ，A错误； 选项B：由③式 ，可知 的对称中心为 ，而非 ，B错误； 选项C由 可得 ， 由 关于点 中心对称，即 ， 令 ，得 ，故，即， 又 综上：，C正确； 选项D：由 关于直线 对称，得 ， 又由 为奇函数，且关于点对称， 即 ，令 ，得 ， 由 ，令 ，得 ，故 ， 由 ，令 ，得 ， 由为奇函数求导知关于直线对称，即， 由 关于直线 对称，， 由得 ，结合 ， 令 ，得 ， 又令 ，，联立得 ，故 ， 因此 ， 因为 周期为 ，一个周期内函数值之和为 ，且，故： ，D错误. 8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值. 【详解】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示， 由图像知，当时，，故选项A正确； 做出直线，当时，若，则，故选项B正确； 当时，若，则，故选项C正确； 当时，易得，则，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式即可判断选项A；结合基本不等式即可判断选项B；利用作差法即可判断选项C；结合条件得到，再利用作差法即可判断选项D． 【详解】由是各项均为正数的等比数列，设的公比为，则，， 对于A，由，，所以，故A正确； 对于B，由，当时，等号成立，所以不恒成立，故B错误； 对于C，由， 又，，，，则，故C正确； 对于D，由，，若，则，即， 所以，即，故D正确． 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，，使成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数分析函数单调性，进而判断选项A；由函数单调性判断选项B；把零点问题转化为方程根的问题，作出大致图象，结合图象计算判断选项C；求导，判断函数单调性，结合已知条件求出的范围，判断选项D． 【详解】的定义域为，求导得， 当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增，故A错误； 由A分析可知，当时，函数单调递减，且，故，故B正确； 因有3个不同的零点，等价于在内有3个不同根， 当时，，单调递增，值域为， 当时，，，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数取得最小值为，值域为， 作出的大致图象如下： 由图象可知，当时，方程有3个不同根，解得，故C正确； 函数，导数在上恒成立， 故函数在上单调递增，则其值域为， 由A分析可知，在的值域为， 已知，，使成立， 则，故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，进而求得. 【详解】由于不等式的解集为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 地面上现有标号为1-8号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过8号位置，则游戏结束，那么他在6号位置停留的条件下恰好已经投掷了三次硬币的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率列式求解即可. 【详解】设“他在6号位置停留”为事件A，“恰好已经投掷了三次硬币”为事件B， 事件A：投掷二次全为两个反面，或者投掷三次全部为正面， 事件：：投掷三次全部为正面. 则所求为. 14. 已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】易知是的一个零点，当时，转化为两个函数的交点问题，作出函数图象分类讨论即可得解. 【详解】易知，当时，，所以是的一个零点. 所以时，有3个零点，即有3个根， 即和的图象有3个交点． 设，，则和的图象有3个交点． 当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去． 函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象， 当，若与的图象相切，， 设切点，则，解得． 和的图象有3个交点，则． 当，时满足题意，解得， 综上所述，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【答案】（1） 分布列如下： 0 1 2 （2） ， 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量X服从超几何分布，求出X的所有可能取值及对应概率得到分布列. （2）根据期望、方差的定义公式计算结果即可. 【小问1详解】 由题意可知，从6道题中抽2道，该同学会答3道、不会答3道， 抽到的能答对题目数X的所有可能取值为0,1,2. 则， ， . 故X的分布列为 0 1 2 【小问2详解】 . ，因此. 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接，已知为等边三角形，边长为4， 则，且，， 已知，，则四边形是矩形，，， ， ， 平面， 平面， 又平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 故底面，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴， 垂直于平面的方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，令，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则． 17. 已知函数． （1）证明：函数的图象关于对称； （2）解不等式； （3）关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称性定义可证结论； （2）先判断单调性，结合对称性可化为，求解不等式即可； （3）换元，分离参数，求导可得新函数的单调性，结合值域可得答案. 【小问1详解】 证明： ∴函数的图象关于对称． 【小问2详解】 任取，，不妨设，则， ，在上单调递减． 由函数的图象关于对称可得：， 故， ∴不等式可化为， 由在上单调递减可得：，解得， ∴不等式的解集为． 【小问3详解】 设，，且在上单调递减，． 则方程在有解，即在有解． 设，，， ∴函数在单调递减，又，，故的值域为， ∴实数的取值范围为． 18. 设为椭圆的左，右焦点，已知点在椭圆上，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为2. （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的面积. （3）黄金分割的比例被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆均是“完美椭圆”，其中便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆上任取一点，以为切点作椭圆的切线与直线且交于点，以为直径作圆，设此圆恒过椭圆的右顶点，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，结合椭圆性质及三角形面积公式可得，再由椭圆参数关系求，进而写出椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆方程，应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求面积； （3）根据已知设且，若椭圆上为切点的切线为，联立椭圆求参数关系，进而得到为所求切线方程，再写出以为直径的圆并确定所过的定点得，同理可得，结合新定义有是首项为1，公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式证不等式. 【小问1详解】 由点在椭圆上，则， 由面积的最大值为2，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，则，联立， 所以，则，显然， 所以，，则， 由到的距离， 所以的面积. 【小问3详解】 令且，若椭圆上为切点的切线为， 则，令，则切线为， 联立椭圆，可得， 所以，则， 即，则， 由题意有，则，故， 所以 又，则，代入上式整理得， 所以为所求切线方程，将代入，得， 所以，故中点为， 且， 以为直径的圆为， 当，有， 所以，则， 所以， 以为直径的圆恒过，即，同理对于任意，都有， 如下图，对于，即，则，即， 又椭圆均是“完美椭圆”，即， 所以，可得， 同理可得且，即是首项为1，公比为的等比数列， 所以，而为正整数， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：根据已知求出椭圆上任意点为切点的切线，并求出坐标，进而求出以为直径的圆所过的定点，得到，类推得到，根据新定义确定是首项为1，公比为的等比数列为关键. 19. 已知函数为的导数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）对，都有，求的取值范围； （3）设，若在上有零点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，结合导数的正负分、两种情况讨论求解即可； （3）设在上的零点为，由题意可得，则点为直线上一点，表示点到原点的距离，进而得到，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由，则， 即对于恒成立， 设，，则， 设，， 则，函数在上单调递增，且， 当，即时，，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 则，即对于恒成立； 当，即时，令，得， 令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，， 此时函数在上单调递减，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由，， 令，即， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又， 则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，都有，则该命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知实数，，．满足，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式中项的系数为，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 取最小值时 C. 不是等差数列 D. 7. 函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于点对称 C. D. 8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 设，若对，，使成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为，则__________． 13. 地面上现有标号为1-8号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过8号位置，则游戏结束，那么他在6号位置停留的条件下恰好已经投掷了三次硬币的概率是________． 14. 已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有6道题目，随机抽取2道让学生回答．已知某同学只能答对其中的3道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）证明：函数的图象关于对称； （2）解不等式； （3）关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 18. 设为椭圆的左，右焦点，已知点在椭圆上，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为2. （1）求椭圆的方程； （2）过作斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的面积. （3）黄金分割的比例被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆均是“完美椭圆”，其中便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆上任取一点，以为切点作椭圆的切线与直线且交于点，以为直径作圆，设此圆恒过椭圆的右顶点，求证：. 19. 已知函数为的导数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）对，都有，求的取值范围； （3）设，若在上有零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $