期末解答题专项突破2025-2026学年北师大版数学七年级下册（六大板块）

**基本信息** 聚焦七年级下册六大核心模块，以解答题为载体，系统覆盖整式运算、平行证明、概率计算等期末高频考点，注重知识逻辑与题型应用的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的乘除|5题|计算、化简求值、公式应用|幂运算-乘法公式-几何背景验证| |相交线与平行线|5题|证明、角关系探究、折叠计算|角的性质-平行判定与性质-综合推理| |概率初步|5题|概率计算、事件判断、频率估计|随机事件-概率计算-频率与概率关系| |三角形|5题|角度计算、全等证明、外角性质|内角和-全等判定-外角定理应用| |图形的轴对称|5题|对称作图、最短路径、折叠问题|轴对称性质-作图应用-几何最值| |变量之间的关系|8题|表格分析、函数图像、实际应用|变量识别-关系表达-模型应用|

期末解答题专项突破2025-2026学年北师大版 七年级下册（六大板块） 板块一：整式的乘除 1．计算： (1)(2) 【答案】(1)(2)0 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 3．先化简，再求值：，其中x= -1，． 【答案】 解： ； 当x= -1，时， 原式 ． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 板块二：相交线与平行线 1.如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 2.如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 3.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 4.如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 【答案】（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠A+∠ABD＝180°， ∵∠A＝∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠A+∠AEC+∠C＝360°，理由： 如图，过点E作EH∥AB， 由（1）知AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠A+∠AEH＝180°，∠C+∠CEH＝180°， ∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°； （3）解：∵∠AEC 的平分线交CD的延长线于点F， ∴， 在△CEF中，∠F+∠CEF+∠C＝180°， ∵∠F＝20°， ∴①， ∵∠A＝∠BDC，∠BDC＝140°， ∴∠A＝140°， ∵∠A+∠AEC+∠C＝360°， ∴∠AEC+∠C＝220°②， ②﹣①得，∠AEC＝120°， ∴∠C＝100°． 5.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 ．（用含n的式子表示） 【答案】解：（1）过点M作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MP， ∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD， ∵∠M＝∠1+∠2＝90°， ∴∠MEB+∠MFD＝90°， ∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°， ∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°． 故答案为：270°； （2）过点N作NQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NQ， ∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD， ∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF， ∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N， ∵∠NEB∠MEB，∠DFNMFD， ∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN（∠MEB+∠MFD）， 由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF， ∴∠ENF∠EMFn°． 故答案为：n°． 板块三：概率初步 1．在一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分 摇匀后，随机摸出一球． （）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率． （）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去个同样的红球或黄球，那么这个球中红球和黄球的 数量分别应是多少？ 【答案】(1) ;(2) 5个和2 个 【详解】试题分析:（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率, （2）设放入红球x个,则黄球为（7－x）个,由摸出两种球的概率相同建立方程,解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少, 试题解析:（）因为袋子中装有个红球和个黄球,所以随机摸出一球是红球和黄球的概率分别是，, （）设放入红球个,则黄球为个,由题意列方程得: ,解得, 所以这个球中红球和黄球的数量分别应是个和个. 2．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品 指出这些事件分别是什么事件． 【答案】见解析 【详解】（1），（2）可能发生，也可能不发生，是随机事件． （3）一定不会发生，是不可能事件． （4）一定发生，是必然事件． 3．如图，在一个大的圆形区域内包含一个小的圆形区域，大圆的半径为2，小圆的半径为1．一只在天空自由飞翔的小鸟要落在它的上面，那么小鸟落在小圆区域外大圆区域内(阴影部分)的概率是多少？ 【答案】小鸟落在小圆区域外大圆区域内（阴影部分内）的概率为． 【详解】小鸟落在小圆区域外大圆区域内（阴影部分内）的概率是：． 4．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 （1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率． （2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）两人的说法都是错误的，见解析. 【详解】（1）“点朝上”出现的频率是， “点朝上”出现的频率是； （2）两人的说法都是错误的，因为一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并客观存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定．因此去判断事件发生的可能性大小不能由此次实验中的频率决定． 5．在一个不透明的袋中有除颜色外其他完全相同的3个球，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据： 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 136 摸到黄球的频率 35% 32% 33% 35% 35% (1)请将上表补充完整(结果精确到1%)； (2)制作折线统计图表示摸到黄球的频率的变化情况； (3)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是多少． 【答案】(1)表格见解析；(2)折线统计图见解析；(3)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是． 【详解】（1）；；；；，故表格中空格依次是29%；34%；36%；33%；34%； （2）如图： （3）观察可知频率稳定在33%左右，故摸出一个黄球的概率是33%≈． 板块四：三角形 1.如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，A，D，E三点在同一直线上，且 . 【答案】（1）解：结合图形 ∵ ∴ ， ∵A，D，E三点在同一直线上 ∴ ∴ ； （2）解：假如 则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴当 时， 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【答案】 （1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 4．如图， ， ，AC与BD相交于点O. 求证： . 【答案】证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAO＝∠BAO， 在△ADO和△ABO中， ， ∴△ADO≌△ABO（SAS）， ∴DO＝BO. 5.【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【详解】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ， ∴. 板块五：图形的轴对称 1．如图，在正方形网格上有一个． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8.5． 【详解】解：（1）如图所示：△DEF即为所求； （2）△ABC的面积：4×5- ×4×1- ×5×3- ×4×1=20-2-7.5-2=8.5． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置． 2．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 【答案】17华里 【详解】解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示： ，，， ∵MN垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（华里）． 答：牧童所走的最短里程是17华里． 3．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P． （1）求证：CE=BF；         （2）求∠BPC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）120° 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE与△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 即：∠BPC=120°． 4．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上． （1）折叠后，DC的对应线段是　　，CF的对应线段是　　； （2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数； （3）若AB=8，DE=10，求CF的长度． 【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6 【详解】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F； 故答案为：BC′，C′F． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2=50°． ∴∠2=∠BEF=50°， ∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； （3）∵AB=8，DE=10， ∴BE=10， ∴AE==6， ∴AD=BC=6+10=16， ∵∠1=∠BEF=50°， ∴BF=BE=10， ∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6． 5．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6 cm，△OBC的周长为16 cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）6 cm；（2）5 cm；（3）∠DAE＝60° 【详解】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6 cm． （2）连接OA， ∵l1是AB边的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是AC边的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∵OB＋OC＋BC＝16 cm，BC＝6 cm， ∴OA＝OB＝OC＝5 cm． （3）∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＋∠ACB＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°． 板块六：变量之间的关系 1．根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系： 提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱 【详解】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量； （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9； （3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱． 2．某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 【答案】（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，故答案为：300； （2）由题意得：y＝0+×100＝2x﹣600， ∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x﹣600，故答案为：2x﹣600； （3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得：2x﹣600＝1000，解得：x＝800， 答：当乘车人数为800人时，利润为1000元． 3．一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： （1）开始时，汽车的油量______升； （2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； （3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）当这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升． 【详解】解：（1）由图象可知，开始时，汽车的油量42升，故答案为：42； （2）由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升， ∵加油前汽车每小时的耗油6升，∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t， 故答案为：5 ，24 ， ； （3）由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，∴加油后剩余油量Q=（升）， 故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升． 4．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　 　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　 　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　 　分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　 　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行多少小时． 【答案】（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． 故答案为：30；40． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10； （3）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨， 所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1； （4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为＝6（吨），∴69÷6＝11.5（小时），故答案为：11.5． 5．综合与实践：制作一个无盖长方形盒子． 用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3； (2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（      ） A．一直增大        B．一直减小 C．先增大后减小        D．先减小后增大 (4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3． (5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？ 【答案】(1)b；(a-2b)2；b(a-2b)2 (2)588；576 (3)C (4)3；588 (5)表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位 (1)解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm,底面面积为（a-2b）2cm2, 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3， 故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2． (2)解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3， 当b=4，a-2b=20,8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，故答案为：588；576． (3)解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小．故选择C． (4)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3． 故答案为3,588． (5)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大； 当x=3,5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3, 当时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3, 当时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3, 当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3． 因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位． 6．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）求乙组加工零件总量a的值； （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 【答案】（1）y=60x（0≤x≤6）；（2）a=300；（3）经过3小时恰好装满第1箱． 【解析】解：（1）∵图象经过原点及（6，360）， ∴设解析式为：y=kx，∴6k=360，解得k=60，∴y=60x（0≤x≤6）；故答案为y=60x（0≤x≤6）； （2）乙2小时加工100件，∴乙的加工速度是：每小时50件， ∵乙组在更换设备后工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2=100（件），a=100+100×（4.8–2.8）=300； （3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为： y=100+100（x–2.8）=100x–180， 当0≤x≤2时，60x+50x=300，解得x=（不合题意舍去）； 当2<x≤2.8时，100+60x=300，解得x=（不合题意舍去）； ∵当2.8<x≤4.8时，60x+100x–180=300，解得x=3， ∴经过3小时恰好装满第1箱．答：经过3小时恰好装满第1箱． 7．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm， （1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变； （2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______； （3）求出图2中的a与b的值； （4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积． 【答案】（1）CD和EF；（2）8cm、4cm、6cm、2cm；（3）a=24，b=17；（4）42cm2． 【详解】解：（1）如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变 故答案是：CD和EF； （2）当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变， 由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm， 在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm 在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm， 由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm 故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm； （3）由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S△ABP=×6×8=24 b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s ∴a=24，b=17； （4）∵点P移动到点E时面积达到最大值a, ∴S=AB（BC+DE）=×66×（8+6）=42cm2． 8．王老师和小颖住同一小区，小区距离学校2400米．王老师步行去学校，出发10分钟后小颖才骑共享单车出发．小颖途经学校继续骑行若干米到达还车点后，立即跑步返回学校．小颖跑步比王老师步行每分钟快70米．设王老师步行的时间为x（分钟），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示王老师和小颖离开小区的路程y（米）与x（分钟）的关系：图2表示王老师和小颖两人之间的距离S（米）与x（分钟）的关系（不完整）． （1）求王老师步行的速度和小颍出发时王老师离开小区的路程； （2）求小颖骑共享单车的速度和小颖到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离； （3）在图2中，画出当25≤x≤30时S关于x的大致图象（要求标注关键数据）． 【答案】（1）王老师步行的速度是80米/分，小颍出发时王老师离开小区的路程是800米；（2）小颍骑自行车的速度是180米/分，小颍到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离是700米；（3）见解析 【详解】解：（1）由图可得，王老师步行的速度为：2400÷30＝80（米/分）， 小颖出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米）， 答：王老师步行的速度是80米/分，小颍出发时王老师离开小区的路程是800米； （2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80， ∴直线OA的解析式为y＝80x， 当x＝18时，y＝80×18＝1440， 则小颍骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分）， ∵小颍骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟）， ∴小颍骑自行车的路程为：180×15＝2700（米）， 当x＝25时，王老师走过的路程为：80×25＝2000（米）， ∴小颍到达还车点时，王老师、小颖两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米）； 答：小颍骑自行车的速度是180米/分，小颍到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离是700米； （3）小颍步行的速度为：80+70＝150（米/分）， 小颍到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷150＝27（分）， 当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末解答题专项突破2025-2026学年北师大版 七年级下册（六大板块） 板块一：整式的乘除 1．计算： (1)(2) 2．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 3．先化简，再求值：，其中x= -1，． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 板块二：相交线与平行线 1.如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 2.如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 3.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 4.如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F． （1）求证：AB∥CD； （2）探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）若∠BDC＝140°，∠F＝20°．求∠C的度数． 5.如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝　 　； （2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为　 ．（用含n的式子表示） 板块三：概率初步 1．在一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分 摇匀后，随机摸出一球． （）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率． （）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去个同样的红球或黄球，那么这个球中红球和黄球的 数量分别应是多少？ 2．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品 指出这些事件分别是什么事件． 3．如图，在一个大的圆形区域内包含一个小的圆形区域，大圆的半径为2，小圆的半径为1．一只在天空自由飞翔的小鸟要落在它的上面，那么小鸟落在小圆区域外大圆区域内(阴影部分)的概率是多少？ 4．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 （1）计算“点朝上”的频率和“点朝上”的频率． （2）小颖说：“根据实验得出，出现点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷次，那么出现 点朝上的次数正好是次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 5．在一个不透明的袋中有除颜色外其他完全相同的3个球，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据： 摸球总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸到黄球的次数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 136 摸到黄球的频率 35% 32% 33% 35% 35% (1)请将上表补充完整(结果精确到1%)； (2)制作折线统计图表示摸到黄球的频率的变化情况； (3)估计从袋中摸出一个球是黄球的概率是多少． 板块四：三角形 1.如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 2．如图，A，D，E三点在同一直线上，且 . 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 4．如图， ， ，AC与BD相交于点O. 求证： . 5.【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 板块五：图形的轴对称 1．如图，在正方形网格上有一个． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 2．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 3．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P． （1）求证：CE=BF；         （2）求∠BPC的度数． 4．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上． （1）折叠后，DC的对应线段是　　，CF的对应线段是　　； （2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数； （3）若AB=8，DE=10，求CF的长度． 5．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6 cm，△OBC的周长为16 cm． （1）求线段BC的长； （2）连接OA，求线段OA的长； （3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数． 板块六：变量之间的关系 1．根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系： 提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？ 2．某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润＝票款收入﹣支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）： x（人） … 200 250 300 350 400 … y（元） … ﹣200 ﹣100 0 100 200 … 根据表格中的数据，回答下列问题： （1）观察表中数据可知，当乘客量达到 　人以上时，该公交车才不会亏损； （2）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝　 　； （3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？ 3．一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： （1）开始时，汽车的油量______升； （2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； （3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 4．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　 　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　 　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　 　分钟；（3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　 　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行多少小时． 5．综合与实践：制作一个无盖长方形盒子． 用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3； (2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（      ） A．一直增大        B．一直减小 C．先增大后减小        D．先减小后增大 (4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是____cm3． (5)对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？ 6．甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）求乙组加工零件总量a的值； （3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 7．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框（相邻两边互相垂直）按从B→CD→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所示，且AB=6cm， （1）动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变； （2）BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______； （3）求出图2中的a与b的值； （4）在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积． 8．王老师和小颖住同一小区，小区距离学校2400米．王老师步行去学校，出发10分钟后小颖才骑共享单车出发．小颖途经学校继续骑行若干米到达还车点后，立即跑步返回学校．小颖跑步比王老师步行每分钟快70米．设王老师步行的时间为x（分钟），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示王老师和小颖离开小区的路程y（米）与x（分钟）的关系：图2表示王老师和小颖两人之间的距离S（米）与x（分钟）的关系（不完整）． （1）求王老师步行的速度和小颍出发时王老师离开小区的路程； （2）求小颖骑共享单车的速度和小颖到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离； （3）在图2中，画出当25≤x≤30时S关于x的大致图象（要求标注关键数据）． 学科网（北京）股份有限公司 $