2025～2026学年沪教版五四制数学七年级下学期期末巩固复习基础卷

**基本信息** 本卷聚焦沪教版七年级下册几何与代数核心内容，通过基础题、情境题及综合探究题，考查空间观念、推理能力与应用意识，如扶贫运输方案设计、旋转综合问题等，体现数学与现实的联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|相交线与平行线、不等式性质|如第1题考平行线作图依据，强化几何直观| |填空题|12/24|三角形性质、等腰三角形、不等式解集|如第10题结合对话信息，培养数学语言表达| |解答题|7/64|不等式组、全等证明、旋转综合、动点问题|如22题哪吒玩偶购买方案（应用意识），24题旋转探究（推理能力）|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 2025-2026学年七年级数学下学期期末检测卷 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等 式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分) 1.如图，利用直尺和三角板，经过直线AB外一点P画AB的平行线CD,则画图的依据是 () A.两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.内错角相等，两直线平行 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行 2.对于命题“如果a<0,b<0,那么a-b<0”,下面四组值中，能说明这个命题是假 命题的是() A.a=-3,b=-2 B.a=-2,b=-3 试卷第1页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3 3.若a>b,则下列不等式成立的是() ab A.a+3<b+3B.2a<2b C.-3a+1<-3b+1D.3<3 4.若三角形的两条边的长度分别是4cm和8cm,则第三条边的长度不可能是() A.12cm B.8cm C.6cm D.5cm 5.如图，己知在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°，那么∠B的 度数是() B A.50° B.55 C.60 D.65 6.如图，在△ABC中，AB⊥AC,AB=3,BC=5,AC=4,EF垂直平分BC,点P 为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是() A.12 B.6 C.7 D.8 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7如果关于的不等式2u+1x<一3的解失为X品7，那么“的取值范国为 8.如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①A→B→D→A和路线② A→B→C→E→A相比，路程更短的路线是 (填序号)· D E 试卷第2页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 9.如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点.若∠A=68°，则∠BOC的度数为. O 10.如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等 式 不等式的两边都除以 不等式的解集为 个负数，需要改变 不等号的方向 0 11.如图，在△ABC中，BC=8,将△ABC沿BC方向平移得到△AB'C',连接AA,若 AB恰好经过AC的中点O,则AA的长度为 A 0 B B' 12.命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）. 13.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,分别以点B和点C为圆心，大于2BC的长为 半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN交AC于点D,连接BD,则△ABD的周长 为 M 试卷第3页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 x+y=2k 14.若关于x,y的二元一次方程组x-y=4k的解满足不等式2x-y>21,则k的取值范围 是 15.如图，己知AB=AC,点D、E分别是AB、AC的三等分点，连接BE、CDDE,BE 与CD相交于点M,那么：①△MDE是等腰三角形；②点M在∠A的平分线上；③ S.4De=3S.0e.以上结论正确的有 D B 16.如图，AB=6,M是AB的中点，将AB绕点A逆时针旋转60°会得到AC,点M的对 应点是N,MW的长为 M B 17.△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C,BC=8厘米，点D为AB的中点.如果点 P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.若点O的运动速度为v厘米秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为一 18.在如图所示的钢架结构中，∠CAB=a,为加固钢架，在∠CAB的内部焊上等长的钢 条B,BB.BB.,若 PA=PP 且恰好用了4根钢条，则”的取值范围是 试卷第4页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 P P P A工 P2 P 三、解答题（共7小题，满分64分） 2x-2<x① 19.(5分)求不等式组： x-1<2x-1②的所有整数解， 23 20.(5分)如图，己知EF‖AD,∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD.(请填空) D G 2 3入 A 解：·EF∥AD .∠2= 又∠1=∠2， .∠1=∠3( :.AB ( .∠BAC+ =180 .∠BAC=70°， ∴.∠AGD= 21.(8分)如图.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD, ∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD 试卷第5页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 (I)求证：△ABC2△AFD, (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD 22.(10分)据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达 155.74亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单 一电影市场最高票房纪录.该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童” 哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天” 的不屈精神，让观众泪目.为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出A、B两种类型的哪吒纪 念娃娃.已知购进50件A种娃娃和40件B种娃娃的费用共2000元；且每个B种娃娃的进 价比每个A种娃娃的进价多5元. B (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进A、B两种哪吒玩偶共100个，且A种娃娃的数量 不多于B种娃娃数量，且购买资金不超过2260元.请问共有几种购买方案？哪一种方案最 省钱？ 23.(10分)党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚工作纳入“五位一体”总体布局和“四 个全面”战略布局，作出一系列重大部署和安排，全面打响脱贫攻坚战。为帮助苏州市对 口扶贫城市某省C市将58吨水果运往外地销售，苏州市某公司计划租用A,B两种车型的 箱式货车共9辆，其中A型箱式货车至少要租2辆.两种货车的运载量和运费如下表所示： 车型 A B 运载量（吨/辆） 5 8 试卷第6页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 运费（元吨) 1000 1200 (1)请写出符合公司要求的租车方案，并说明理由： (2)若将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么哪种租车方案运费最少？并求出最少 运费， 24.(12分)综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在△ABC中，AB=CB,AC≠AB,∠ABC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE」 点D,E的对应点分别是点B,C, B 图1 图2 图3 【初探感知】(1)如图1，∠E= 【深入领悟】(2)如图2，当线段DE经过点C时，求证：AD⊥BC: 【融会贯通】(3)如图3，在旋转的过程中，当点D落在BC的延长线上时，过点E作 EG‖BD,交BA的延长线于点G.请你判断线段AG和CD的数量关系，并说明理由. 25.（14分)如图，已知AC⊥AB,BD LAB,AB=8cm,AC=BD=6cm,点P 在线段AB上以2cs的速度由点A向点B运动，同时点O在线段BD上由点 B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的 时间为t. (1)如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t=1s时，△ACP与 试卷第7页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 △BPQ是否全等？请说明理由： (2)在(1)的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由： (3)如图2，将原题中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠A=∠B=60°”， 其他条件不变.设点Q的速度为xCs,则是否存在满足题意的x,使得以点 A,C,P为顶点的三角形与以点B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求 出相应的x,t的值：若不存在，请说明理由， B 多P 图1 图2 试卷第8页，共22页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期期末检测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．如图，利用直尺和三角板，经过直线外一点画的平行线，则画图的依据是（  ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【来源】山东菏泽市曹县2025-2026学年下学期4月素质教育质量检测 七年级数学 【知识点】同位角相等两直线平行、用直尺、三角板画平行线 【分析】由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：如图， 由平行线的画法可知，与相等，且与是一对同位角， 所以画法的依据是：同位角相等，两直线平行． 2．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【来源】河北唐山市玉田县2025~2026学年度第二学期期中质量检测 七年级数学试卷 【知识点】举例说明假（真）命题 【详解】解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 3．若，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川成都市泡桐树中学2025-2026学年下学期八年级期中数学 【知识点】不等式的性质 【详解】解：∵， A不等式两边同时加同一个数3，不等号方向不变，可得，故A错误． B不等式两边同时乘同一个正数2，不等号方向不变，可得，故B错误． C不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加同一个数1，不等号方向不变，可得，故C正确． D不等式两边同时除以同一个正数3，不等号方向不变，可得，故D错误． 4．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】吉林长春市北湖学校2025-2026学年下学期七年级期中数学试题 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 5．如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】上海市上海市虹口区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】先证明，再利用对应角相等及角度之间的等量代换求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ． 6．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【来源】山东青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年七年级下学期阶段自测数学试卷（5月份） 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质 【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 【详解】解：如图，设交于，连接， 垂直平分， 、关于对称． ． ∴ ∴， ∴当和重合时，的周长最小． ∴周长的最小值是． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围为________． 【答案】 【来源】上海市上海市虹口区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，据此得到关于a的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴ 解得． 8．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【来源】6.2.2线段的比较与运算 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 9．如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【来源】山西太原师范学院附属中学2025-2026学年第二学期初一年级数学学科6月限时训练 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，根据下面两位同学讨论一个不等式的对话信息，直接写出一个符合条件的不等式______． 【答案】（答案不唯一） 【来源】2026年山东聊城东方中学等校初中学生毕业水平自检数学练习试题 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】写出未知数系数为负数，并且不等式的解集为的不等式即可． 【详解】解：根据题意可得，（答案不唯一）． 11．如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 【答案】 【来源】江西省九江市第十一中学2025-2026学年下学期期中考试试卷 八年级 数学 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平移的性质求解 【分析】先根据平移的性质得到，，证明，可得到，进而推出，即可得解． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ，， 点为的中点， ， ，，， ， ， ， ． 12．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【来源】2026年春季江苏省无锡市天一实验学校九年级数学作业检查试题 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 13．如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 【答案】5 【来源】2026年云南昆明市盘龙区中考二模考试数学试题 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】证明的周长即可解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【来源】内蒙古自治区乌兰察布市卓资县卓资县二中2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】先求出方程组的解，再代入不等式即可解答； 【详解】 解：对于方程组 ， 将两个方程相加消去： ，得 ，解得， 把代入，得，解得 ， 把代入不等式得：，化简得， 解得：． 15．如图，已知，点D、E分别是的三等分点，连接，与相交于点M．那么：①是等腰三角形；②点M在的平分线上；③．以上结论正确的有__________． 【答案】①②/②① 【来源】宁夏银川市贺兰县第五中学2025-2026学年第二学期八年级期中试卷（数学） 【知识点】线段n等分点的有关计算、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】连接，根据证明得，进而可证，可判断①正确；根据证明得，可判断②正确；由三等分点定义得，结合与同高，可判断③不正确． 【详解】解：如图，连接， ∵点D、E分别是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上，故②正确； ∵点D是的三等分点， ∴， ∵与同高， ∴，故③不正确． 综上可知，正确的有①②． 16．如图，，是的中点，将绕点逆时针旋转会得到，点的对应点是，的长为_________． 【答案】 【来源】2026 年福建省厦门市集美区初中毕业年级模拟考试 数学 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】根据线段中点的定义求出的长，根据旋转的性质得出且，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】是的中点， 由旋转的性质可知，， 是等边三角形 ． 17．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【来源】广东省揭西县宝塔实验学校2018-2019学年八年级上学期期末测试数学试题 【知识点】等边对等角、全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 18．在如图所示的钢架结构中，，为加固钢架，在的内部焊上等长的钢条，……，若且恰好用了4根钢条，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】江苏省南通市如东县2024-2025学年八年级上学期数学期中试题 【知识点】列一元一次不等式组、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】题目主要考查等边对等角及三角形外角的性质，不等式的应用，理解题意是解题关键． 根据等边对等角得出，，，，再由三角形外角的定义得出，，，结合题意得出不等式组即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， 为的外角，为的外角，为的外角， ∴，，， ∵要使得这样的钢条只能焊上4根， ∴， ∴且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 20．（5分）如图，已知，，，求．（请填空） 解：∵， ∴________（________________） 又∵， ∴（________________） ∴________（________________________） ∴________（________________________） ∵， ∴________（____________） 【答案】； 两直线平行， 同位角相等； 等量代换； ； 内错角相等， 两直线平行； ； 两直线平行，同旁内角互补；  ； 补角定义 【来源】2011年黑龙江省虎林市八五零农场学校初一上学期期末数学卷 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的判定与性质即可，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．根据题干提示完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴（补角的定义）； 21．（8分）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【来源】2025年河北省中考真题数学试题 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 22．（10分）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【来源】山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】不等式组的经济问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 23．（10分）党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚工作纳入“五位一体”总体布局和“四个全面”战略布局，作出一系列重大部署和安排，全面打响脱贫攻坚战．为帮助苏州市对口扶贫城市某省C市将58吨水果运往外地销售，苏州市某公司计划租用A，B两种车型的箱式货车共9辆，其中A型箱式货车至少要租2辆．两种货车的运载量和运费如下表所示： 车型 A B 运载量（吨/辆） 5 8 运费（元/吨） 1000 1200 （1）请写出符合公司要求的租车方案，并说明理由； （2）若将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么哪种租车方案运费最少？并求出最少运费． 【答案】（1）租用A型货车3辆，B型货车6辆；租用A型货车4辆，B型货车5辆；（2）租用A型货车4辆，B型货车5辆，运费最少，最少运费是10000元 【来源】江苏省苏州市昆山市、张家港市等四市2020-2021学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设租用A型货车x辆，B型货车为（9-x）辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出x的范围，即可得出结果； （2）分别求出两种租车方案的运费，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：（1）设租用A型货车x辆，B型货车为（9-x）辆， 根据题意得：， 解得：2≤x≤， ∵x和9-x是正整数， ∴x可取2，3，4，因此有3种方案，分别为： ①租用A型货车2辆，B型货车7辆（此时可以剩余型货车辆或者是剩余B型货车1辆，不合题意舍去）； ②租用A型货车3辆，B型货车6辆； ③租用A型货车4辆，B型货车5辆； （2）租用A型货车3辆，B型货车6辆时，运费为： 1000×3+1200×6=10200（元）； 租用A型货车4辆，B型货车5辆运费为： 1000×4+1200×5=10000（元）； ∵10000＜10200， ∴租用A型货车4辆，B型货车5辆，运费最少，最少运费是10000元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意中的数量关系列出不等式组是解决问题的关键． 24．（12分）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）67.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【来源】2024年广西南宁市西乡塘区九年级下学期数学中考二模试题 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质得到， ，， ； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3，延长交于点 H， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（14分）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为ts． （1）如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t＝1s时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由； （3）如图2，将原题中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠A＝∠B＝60°”，其他条件不变．设点Q的速度为xcm/s，则是否存在满足题意的x，使得以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解答过程； （2）PC⊥PQ，理由见解答过程； （3）x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【分析】（1）当t＝1s时，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝6cm，再根据AC⊥AB，BD⊥AB即可依据“SAS”判定△ACP与△BPQ全等； （2）根据△ACP与△BPQ全等得∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°及邻补角定义得∠CPQ＝90°，由此即可得出PC和PQ之间的位置关系； （3）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm，进而得BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm，再分两种情况讨论如下：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌BPQ，由AC＝BP得6＝8﹣2t，由此解得t＝1，由AP＝BQ得2t＝xt，由此解得x＝2；②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t＝8﹣2t，由此解得t＝2，由AC＝BQ得6＝xt，将t＝2代入可得x＝3，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴∠A＝∠B＝90° 当t＝1s时，AP＝2t＝2cm，BQ＝2t＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， ∵AB＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm， 又∵AC＝6cm， ∴AC＝BP＝6cm， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC和PQ之间的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵△ACP≌△BPQ ∴∠C＝∠BPQ， 在△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， 由邻补角定义得：∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （3）存在． 依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴当以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等时， 有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：6＝8﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝xt， 解得：x＝2， 此时相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝8﹣2t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：6＝xt， 将t＝2代入6＝xt，得：x＝3， 此时相应的x，t的值为x＝3cm/s，t＝2s， 综上所述：出相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $