精品解析：2026年福建泉州现代中学中考模拟测试数学试卷

泉州现代中学2026届初三模拟测试数学学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：共10小题，每小题4分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”．2026年春假期间南通市共接待游客3124600人次，实现旅游总收入17.56亿元．数据3124600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 低碳出行已深入人心，小华某周连续5天使用交通工具碳排放量（单位：kg）数据统计如图所示，则这5天碳排放量的中位数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 某车间有名工人生产太阳镜， 名工人每天可生产镜片片或镜架 个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排 名工人生产镜片， 名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，射线 与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： ______． 12. 不等式的解集是________ 13. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 14. 已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为________． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 16. 如图，在中， ，，是锐角，于点 ， 是 的中点，连接 ， ，若，则 长为__________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 如图，在中，为对角线的中点，过点O的直线分别交 ， 于点E， ．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在四边形中， ，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一条直线l，使得点A，B，C，D到直线l的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若直线l分别交于点E，F，求证：． 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若， ，求的长． 22. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励 元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 23. 已知抛物线（）经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在抛物线上，将此抛物线向上平移个单位长度，得到新的抛物线．当时，新抛物线对应的二次函数的最小值为，当时，新抛物线对应的二次函数的最大值为，若，求的值； （3）在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线相交于，两点，且，求证：． 24. 中央广播电视总台 马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）． 例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线 所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线 是它的一条“驰骋轴”． （1）请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）： ①梯形；（ ） ②六边形；（ ） ③双曲线（ ） （2）由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为 ， （点 在点 的左侧），其“驰骋轴”与 轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点． ①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标； ②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 圆O是 的外接圆， 为直径，在中，交 于， ， ． （1）求证： ； （2）当 时，求 ； （3）在（2）的条件下，连接交 于点M，过点M作 交 于点N，探究， ，三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州现代中学2026届初三模拟测试数学学科试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：共10小题，每小题4分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可．轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解： 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”．2026年春假期间南通市共接待游客3124600人次，实现旅游总收入17.56亿元．数据3124600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 4. 如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 【详解】解：根据视图的定义，选项A中的图形符合题意， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断． 由同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 6. 如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， 故选D． 7. 低碳出行已深入人心，小华某周连续5天使用交通工具碳排放量（单位：kg）数据统计如图所示，则这5天碳排放量的中位数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念，从折线图提取数据，将数据从小到大排序，找到处于中间的数即可． 【详解】解：从小到大排序得2，3，4，5，6， 位于中间的数为：4， 即中位数为：4． 8. 某车间有名工人生产太阳镜， 名工人每天可生产镜片片或镜架 个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 9. 如图，射线 与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．连接 ，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：连接 ，如图， ∵边 与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 已知抛物线 过点， ，当 时，若存在使，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用开口向上抛物线的函数值性质，先推导对称轴的位置，再利用对称轴左侧的单调性比较与的大小． 【详解】设抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数值满足：点离对称轴越远，函数值越大， ∵，抛物线 过点，  ， ∴， ∴两边平方得， 整理得：， ∵， ∴， 不等式两边除以，不等号方向改变得：，即， ∵， ∴，要存在满足不等式，必有，即对称轴在轴右侧， ∵抛物线开口向上，对称轴左侧（）随增大而减小， 又∵，、都在对称轴左侧，将代入抛物线得， ∴一定成立． 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，把常数移到不等式的右边，然后同时除以系数就可得到不等式的解集． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 13. 四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为 ，即，最后利用四边形的内角和为 即可求的度数． 【详解】解：设与 交于点，  ∵四边形 是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：，  即， ∴． 14. 已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：（3+3+4+5+5）÷5=4， 则这组数据的方差为：[（3-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（5-4）2]=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点 坐标为，将点 分别代入直线和双曲线的解析式，求出的值，再根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求解点 的坐标． 【详解】解：设， ∵点 是直线与双曲线的交点， ∴，， ∴， 解得， ∴直线解析式为 ，双曲线解析式为， 根据反比例函数图象的中心对称性质，直线过原点，交点 和 关于原点中心对称，点 横坐标为 ， 因此点 的横坐标为 ， 将代入 ，得 ， 因此点 的坐标为． 16. 如图，在中， ，，是锐角，于点， 是 的中点，连接 ， ，若，则 长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，延长交于点G，证明，可得，，从而得到，设，则，在和 中，利用勾股定理可得，，求出x的值，即可． 【详解】解：如图，连接 ，延长交于点G， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， ∵ 是 的中点，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在 中，， ∴， 解得： 或 （舍去）， ∴， ∴． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在中， 为对角线的中点，过点O的直线分别交 ，于点E， ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到 ，O为对角线的中点，进而证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴，， ∵O为对角线的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则进行化简，然后把代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20. 如图，在四边形 中， ，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一条直线l，使得点A，B，C，D到直线l的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若直线l分别交于点E，F，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）连接 交 于点P，利用平行线分线段成比例结合三角形中位线定理即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：作直线l如解图①． 【小问2详解】 证明：如解图②，连接 交 于点P， 由（1）知，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中位线， ， 同理 ， 是的中位线， ， ， ． 21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴ ， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得 ，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即 的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某校组织了“弘扬民族文化，品味诗词精华”的竞赛，对参加竞赛的学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图． （1）请补全频数分布直方图，并写出a与n； （2）学校为了奖励竞赛成绩分以上的同学，设计了以下两种奖励方案： 方案一：成绩位于D组的同学，每人奖励 元，成绩位于E组的同学，每人奖励元； 方案二：通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：在一个不透明的袋子里装有除数字标记外其它完全相同的三个小球，数字分别标为“5”、“”、“”，学生先随机摸出一球后不放回，再摸出第二球，则两球标记的数字之和为该学生所获奖励金额（单位：元）． 请你以学生所获奖金的平均数为决策依据，学校应采用哪种方案，奖金总额较少? 【答案】（1）图见解析，， （2）学校采用方案二奖金总额较少，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比即可得出总人数，总人数分别乘以B、C对应的百分比求出其人数，再根据各分组人数之和等于总人数可求得E组人数，从而补全图形； （2）根据题意画出树状图进行分析即可． 【小问1详解】 解： 参加竞赛的学生人数：（名）， B组人数为（名）， C组人数为（名），即， E组人数为（名），则，即， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：方案一：学生所获奖金的平均数为：（元）， 　方案二： 共有6种结果，每种结果的可能性相同，和为的结果有2种，和为的结果有2种，和为的结果有2种， ∴和为的概率为，和为的概率为，和为的概率为， ∴学生所获奖金的平均数为（元）． ∵， ∴学校采用方案二奖金总额较少． 【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，以及画出树状图等知识内容，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 23. 已知抛物线（）经过点，对称轴为直线． （1）求 的值； （2）若点在抛物线上，将此抛物线向上平移个单位长度，得到新的抛物线．当时，新抛物线对应的二次函数的最小值为，当时，新抛物线对应的二次函数的最大值为，若，求的值； （3）在（2）的条件下，设平移后新的抛物线与直线相交于，两点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）知新抛物线表达式为：， 由题意知：，，， ， . 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的对称性即可求出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数的平移和性质求解即可； （3）求出新抛物线表达式，根据二次函数的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：当时，，， 则对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）知 ， 将，代入抛物线得， 解得， ， 设平移后的新抛物线为， 对称轴为直线 ， 当时，随增大而减小，时，， 当时， 时取最大值，， ， 解得； 【小问3详解】 略 24. 中央广播电视总台 马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）． 例如：如图，在正方形 中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线 所在的直线上．因此，正方形 是“骐骥图形”，直线 是它的一条“驰骋轴”． （1）请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）： ①梯形；（ ） ②六边形；（ ） ③双曲线（ ） （2）由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为 ， （点 在点 的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点． ①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标； ②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；③ （2）①点的坐标为或或；②的最大值为，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，结合“骐骥图形”的定义，即可分析，得出答案； ②结合“骐骥图形”的定义和六边形的性质，即可得出答案； ③结合“骐骥图形”的定义和双曲线的函数图象的对称性，即可得出答案； （2）①结合抛物线的性质和“骐骥图形”的定义可得抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，结合（1）结论可得的“驰骋轴”为的中线，根据的三条中线，分类讨论即可求解； ②过点 作交于点 ，构建，根据勾股定理和三角形的面积求出，根据相似三角形的判定和性质求出，结合正切的定义得出，根据二次根式的化简和完全平方公式求出当时，的值最小，即可求出的最大值． 【小问1详解】 ①在梯形 中，延长、交于点，取的中点 ，连接 ；作平行于边的线段，分别交边 于点、，交边于点、， 与、分别交于点、，如图： 即，，， 是 的中线． ∵，， ∴，，，， ∴，，，， 故，， ∴点是的中点，点是的中点， 故点、在 的中线 上， 同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边 ，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在 的中线 所在的直线上．即 的中线 为这个图形的“驰骋轴”． 故梯形是“骐骥图形”． ②在六边形 中，取 的中点 ；作平行于边 的线段，分别交边于点，交边 于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图： 点是的中点，点是的中点，点 是 的中点， 但 、、三点不共线， 故六边形不是“骐骥图形”． ③∵双曲线的函数图象是轴对称图形， 故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”， 故双曲线的函数图象是“骐骥图形”． 【小问2详解】 ①对于抛物线， ， 当 时，， 解得，， ； 即抛物线与x轴的交点为，． 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的函数图象是轴对称图形， 故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”， ∴“驰骋轴”与轴交于点． 设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线， 故分别取、、的中点 、 、 ，连接 、、 ，如图： 则 是的中位线，， 故点 在轴上，点的横坐标是 ． 当的“驰骋轴”经过点 时，即点 、 在直线上， 将代入直线，得， 解得 ， 故所在直线的解析式为， 将 代入，得，即点 的坐标为； ∵点 是的中点， 故， ∴， ∴点的坐标为． 当的“驰骋轴”经过点时，即点、 在直线上， 将代入直线，得， 解得 ， 故 所在直线的解析式为， 将代入，得，即点 的坐标为； ∵点 是的中点， 故， ∴， ∴点的坐标为． 当的“驰骋轴”经过点时，即点、 在直线上， 将代入直线，得， 解得， 故所在直线的解析式为 ， 将 代入 ，得，即点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． ②过点 作交于点 ，如图： 设点的坐标为， 当 时， 、、 三点共线，故该情况不存在； 当时，在中，， 在中，， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴． 在中，， 即当取最小值时，的值最大； ∵，且， 当时，， 即时，的值最小，最小值为， 此时的值最大，的最大值为． 所以的最大值为，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，属于综合的压轴题．在第二问中，根据完全平方公式和二次根式的性质求出的最小值是是解题的关键． 25. 圆O是 的外接圆， 为直径，在中，交 于， ， ． （1）求证： ； （2）当 时，求 ； （3）在（2）的条件下，连接交 于点M，过点M作 交 于点N，探究， ，三者之间的数量关系． 【答案】（1）证明： 为直径，， ， ， ， 在 和 中， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆的基本性质及可判定 ； （2）连接， ，，证明为等边三角形，得出 ，由，可得 ．证明 、B、D、H四点共圆，由圆周角定理得，由三角形外角的性质得 ，由等腰三角形的定义得 为等腰直角三角形，作交于，由等腰三角形的性质及正切函数得 ， ，设 ，则 ，，即可求解； （3）过点M作 于T，可证明 ，得到 ，则 ，据此可证明 ，证明 ，则，解直角三角形得到；则，在中，由勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． ， 、B、D、H四点共圆，为圆心， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 作交于， ， ， 设，则，， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作于T， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的直径， ∴ ， 由（2）得 ， ∴， ∴； ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $