精品解析：2023年南安一中、鹏峰中学、柳城中学、实验中学四校联盟中考备考3月联考数学模拟试题

2023年南安市初三年四校联盟培优试卷（1） （代数专题） 一．选择题（共5小题） 1. 如图，若点A在数轴上表示的数为，则x的值可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2022 D. 2024 3. 已知a，b为不同的两个实数，且满足，，当为整数时，ab的值为（ ） A. 或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 4. 已知点，在直线（k为常数，）上，若最大值为9，则c的值为（ ） A B. 2 C. D. 1 5. 点，在抛物线上，若对于，，都有，则取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二．填空题（共3小题） 6. 如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是________. 7. A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则乙出发________小时后和甲相遇． 8. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________． 三．解答题（共4小题） 9. 已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． （1）若，，求点的坐标； （2）若，当点在直线上时，求的值． 10. 如图，函数y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的图象记为L1，最大值为M1；函数y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L． （1）当c=1时，求M1，M2的值； （2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数； （3）若M1，M2的差为，直接写出c的值． 11. 如图，抛物线交轴于点，两点，，与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）若点在抛物线上，且满足，求直线在与轴交点的坐标； （3）点在抛物线上，且在轴下方，直线，分别交抛物线对称轴于点，．求证：为定值，并求出这个定值． 12. 已知抛物线：经过点，且对任意实数，不等式恒成立． （1）若抛物线与轴两个交点为 ①求抛物线的顶点坐标； ②若抛物线经过原点时，且当时，二次函数的最大值为，求的值． （2）若直线：经过抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，线段（不含端点、）至少存在两个横坐标为整数的点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年南安市初三年四校联盟培优试卷（1） （代数专题） 一．选择题（共5小题） 1. 如图，若点A在数轴上表示的数为，则x的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴构建不等式，解不等式，估算无理数确定答案 【详解】由题意可知， ∴， ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数轴上点与实数的一一对应及无理数的估值，将数轴信息转化为不等式是解题的关键. 2. 已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2017 B. 2018 C. 2022 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ． ∵、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 3. 已知a，b为不同的两个实数，且满足，，当为整数时，ab的值为（ ） A. 或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可知a+b=±3，设，可知，进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：a+b=3或a+b=-3， 设， 则：， ②-①得：， ∵， ∴>0， ∵为整数， ∴t的值为：1或4， 当t=1时，， 当t=4时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的灵活运用，熟练地进行变形分析是解题的关键． 4. 已知点，在直线（k为常数，）上，若最大值为9，则c的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 详解】把代入得： ∴ ∵的最大值为9 ∴，且当时，有最大值，此时 解得 ∴直线解析式为 把代入得 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数上点特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为9求出k的值． 5. 点，在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当t＋1＜2时，需满足x＝t＋3时的函数值不大于x＝t＋1时的函数值，②当t＋1＞2时，需满足x＝t＋2的函数值不小于x＝t的函数值，分别列出不等式即可得到答案． 【详解】∵ ， ∴二次函数图象对称轴是直线x＝2， 对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，分两种情况： ①当t＋1＜2时，需满足x＝t＋3时的函数值不大于x＝t＋1时的函数值，如图： ∴， 解得t≤0； ②当t＋1＞2时，需满足x＝t＋2的函数值不小于x＝t的函数值，如图： ∴， 解得， 综上所述，对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t≤0或，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式． 二．填空题（共3小题） 6. 如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． 如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点， ∵，反比例函数， ∴， ∵一次函数y的值随x值的增大而增大， ∴点在A，B之间， ∴， 故答案为． 7. A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则乙出发________小时后和甲相遇． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出甲、乙两人离开地的距离与时间的关系式，再联立方程组解答即可． 【详解】解：乙提高后的速度为：， 由图象可得：； ， 由方程组， 解得， （小时）， 即乙出发小时后和甲相遇． 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答． 8. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将P点代入抛物线可得：，根据已知条件，画出函数图像，如图所示. 【详解】根据题目可得，a＜0，然后根据图像可得：≥－1，将m＝代入可得：n＝≤1，综上所述,解得．故答案为. 【点睛】本题考查对二次函数图像的性质的了解以及结合二次函数图像来解决问题，解题的关键点在于根据已知条件能画出函数图像，再根据函数图像来解决问题. 三．解答题（共4小题） 9. 已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． （1）若，，求点的坐标； （2）若，当点在直线上时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，待定系数法求直线的解析式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点解题的关键． （1）把，代入，得到、两点坐标，进而得到点坐标； （2）先表示出、两点的坐标，得到，，，再利用待定系数的法求得直线DE的解析式，最后把点坐标代入并结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：时， 时， 过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点 【小问2详解】 解：如图 点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ， ，， 设直线的解析式为 则，解得 直线的解析式为 点在直线上 化简得． 把代入，整理，得 解得 10. 如图，函数y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的图象记为L1，最大值为M1；函数y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L． （1）当c=1时，求M1，M2的值； （2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数； （3）若M1，M2的差为，直接写出c的值． 【答案】（1）当c=1时，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=－或2． 【解析】 【分析】(1)当c=1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得，的值； (2)由已知可得点A，B重合时，，，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030； (3)当时，，由于L2的对称轴为，分两种情况求解：当c≥1时，=c2+1；当c＜1时，=2c；再由已知列出等式即可求c的值． 【详解】(1)当c=1时， 函数y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+， 又-2020≤x≤1， ∴M1=， y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2， 又1≤x≤2020， ∴M2=2． (2)当x=1时，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c． 若点A，B重合，则c-=2c，c=-， ∴L1∶y=-x2+x- (-2020≤x≤1)； L2∶y=-x2-x+1(1≤x≤2020)． 在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”； 在L2上，x为整数点是“美点”，则L2上有2020个“美点”． 又点A，B重合， 则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030； (3)y=-x2+x+c(-2020≤x≤1)上时，当时，， y=-x2+2cx+1(1≤x≤2020)，对称轴为， 当时，， ∴， ∴(舍去)或； 当时，， ∴， ∴(舍去)或； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键． 11. 如图，抛物线交轴于点，两点，，与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）若点在抛物线上，且满足，求直线在与轴交点的坐标； （3）点在抛物线上，且在轴下方，直线，分别交抛物线的对称轴于点，．求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）， （2） （3）定值为8，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，，抛物线与轴交于点点，，即可判断点，的坐标； （2）先根据A、C两点的坐标求解抛物线的解析式，然后在上取点，使，求出OE，再根据，利用同角三角函数关系求值，故可以判断F的坐标； （3）设点Q的坐标为，将AQ、BQ的解析式分别表示出来，已知D点坐标，可得M、N的坐标，最后确认的值即可． 【详解】解：（1）∵且点在轴正半轴，∴点的坐标是． ∵， ∴在中， ． ∵点在轴负半轴， ∴点的坐标是． （2）∵抛物线与轴、轴分别交于点，， ∴将，代入得 解得 ∴抛物线对应函数的解析式为． 在上取点，使，则． 设，则． 在中，，即， 解得．∴． ∵，． 设与轴交于点，，，∴点的坐标是． （3）设点坐标为， 可求得直线对应函数的解析式为：， 直线对应函数的解析式为：． 易得点坐标为，抛物线对称轴为． 得点的纵坐标， 点的纵坐标， ， ． ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数和三角函数，涉及到的知识点较多，掌握在函数中求解点的坐标、利用待定系数法表示函数解析式和点的坐标、以及判断角相等灵活使用三角函数是解答本题的关键． 12. 已知抛物线：经过点，且对任意实数，不等式恒成立． （1）若抛物线与轴的两个交点为 ①求抛物线的顶点坐标； ②若抛物线经过原点时，且当时，二次函数的最大值为，求的值． （2）若直线：经过抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，线段（不含端点、）至少存在两个横坐标为整数的点，求的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得：方程没有实数根或有两个相等的实数根，根据抛物线与轴的两个交点为，，，可知抛物线对称轴为，即可得出，从而得出，再结合二次函数最值即可求出顶点坐标； ②在①的基础上，通过抛物线经过原点，即可得出，由此得出抛物线解析式为：，再结合图象及二次函数性质进行分类讨论即可； （2）根据题意可得出，，，再运用二次函数性质和不等式性质并结合图象进行分析即可得出答案． 【小问1详解】 ①对于任意实数，不等式恒成立， 恒成立， ， 方程没有实数根或有两个相等的实数根， ， ①， 抛物线与轴的两个交点为，， 抛物线对称轴为， ，即， 将代入①得：， ， ， ， 当时，，此时有最大值， ， ， ， ， ，，， 当时，， 顶点坐标为； ②由①得：，， ， 抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线解析式为：， 如图1，顶点坐标为， 当时，二次函数的最大值为， 可分以下几种情况： ．当时，时函数取得最大值， ， 解得：或0， ， 或0都不符合题意，舍去， 当时，时函数取得最大值， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ； 当时，时函数取得最大值， ， 解得：， 综上所述，的值为或； 【小问2详解】 经过点，且对任意恒成立， 点为抛物线的顶点，且，， ，， ，， 直线经过抛物线的顶点， ， ， 当时，直线的对应函数值小于抛物线对应函数值时， 线段（不含、至少存在2个横坐标为整数的点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数最值应用，一元二次方程的应用，不等式性质，一次函数的应用等，是一道关于二次函数的综合题，有一定难度，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用二次函数最值和增减性，应用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$