云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷二

云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷二 一、单选题 1.已知集合A={-2,-1,01,2},B={x-1≤x≤3}，则A∩B=() A.{1,0,1,2} B.{-1,0,1,3} C.{-2,-1,0,1} D.{0,1,2,3} 2.已知i是虚数单位，若Z=2+i,Z2=1+i,则Z=乙·Z,在复平面内的对应点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若向量a,万满足问-l,同=2，且a与6的夹角为写，则a+-（) A.2 B.√5 C.6 D.万 4.已知函数F(x)=f(x)-x2是奇函数，且f(2)=2,则f(-2)的值为() A.2 B.-2 C.6 D.-6 1 5.已知si(a+05sin(a-B)=3,则cos&-cos2B=司 B. 36 c 6 D. 6.学校开展活动，要求每位同学从《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复 活》《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为 B c昌 D.i 7.在三棱锥P-ABC中，PA=AB=BC=1,AC=PB=√2，PC=V3,则异面直线PC与AB所成角的余弦值为 A.5 B.⑤ c.② D.② 3 4 3 4 8.设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax,当x∈(-1，)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=() A.-1 B. c.1 D.2 二、多选题 9.某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一 份相关的知识问卷.该讲座结束后，共收回问卷100份.据统计，这100份问卷的得分X(满分为100分)近似服 从正态分布N(80,25),下列说法正确的是()附：若X~N(4,σ2)，则P(4-o<X≤4+o)=0.683, P(4-2o<X≤4+2o)=0.954,P(4-3o<X≤4+3o)=0.997. A.这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B.这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C.P(70<X<75)=P(85<X<90) D.若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N(80,25) 第1页，共4页 10.已知函数f(x)=3sinx+cosx,则() A.函数f(x)在 上单调递减 B.函数f(x)的图象关于点 0对格 C函数f)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 D.若实数m使得方程f(x)=m在[0,2上恰好有三个实数解名，名，为，则x+名+=3 8π U:已知椭圆c答+片Q>b>D,E,上，分别为C的左，右焦点，4，B分别为C的左、右顶点，点P是椭圆上的 个动点，且点P到F距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是() A.椭圆C的离心率为 B.存在点P,使得PF⊥PF C.若P+P5=9,则aPFB外接圆的面积为49r 24 P PE D. PR+1 PF+2 装小值为9 三、填空题 的展开式中x4的系数为240，则实数a的值为 13.圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P的弦当弦AB被点平分时，则直线AB的方程为· 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D是AB的中点，若CD=1,且 (口-m4-(c+jcmC-n,则当o6取最大值时8c的周长为 四、解答题 15.已知数列{an}中，a,=3,a=15,且数列{ 为等差数列. n (1)求{an}的通项公式： 1 3 (2)记Sn为数列 的前n项和，证明：Sn< 第2页，共4页 16.如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OB=BF=1,点G是线段BF的中点 E D F (1)证明：EG∥平面DAF; (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离. 17.已知函数f(x)=e*+ax-1(a∈R) (1)判断函数x)的单调性： (2)若g(x)=ln(x+1)当x∈(0，+∞)时，不等式f(g(x)<f(x)恒成立，求实数a的取值范围. 第3页，共4页 18.甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若n(n≤3)轮比赛结束后，两人的进球 数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜， 进球数相同则平局.甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8每轮点球比赛的结果相互独立. (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率： (3)记甲、乙一共进行了N轮比赛，求N的分布列及期望. 19.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2,AA,=1,将直线A,C,绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形 与平面ABCD的交线为T B C D (1)E为A,C,上靠近A,的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长： (2)在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (i)求『的轨迹方程： (i)P(m,n)为平面ABCD内且不在T上的定点，过P的直线I与T有2个交点M、N,若M、N在直线AD的两 侧，求PMPN的最小值（用m,n表示）. 第4页，共4页 题号 1 3 4 5 6 7 8 0 10 11 答案 D D 0 BC BCD ACD 8.【详解】解法一：令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cosx+2a,可得ax2+a-1=cosx, 令F(x)=ar2+a-1,G(x)=cosx,原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=Fx)与y=G(x)恰有一个交点， 注意到F(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2, 若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cosx=0因为x∈(-1,1)，则2x2≥0,1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成 立，可得2x2+1-cosx≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F) 与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2. 解法二：令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x∈(-l,1),原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x+a-1-cos(-x)=a2+a-1-cosx=h(x),则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的 零点只能为0，即h(0)=a-2=0,解得a=2,若a=2,则h(x)=2x2+1-cosx,x∈(-1,1)，又因为2x2≥0,1-cosx≥0 当且仅当x=0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即(x)有且仅有一个零点0，所以a=2 符合题意；故选：D 11.ACD【详解】A选项，因为点P是椭圆上的一个动点，且点P到F距离的最大值和最小值分别为3和1， a+c=3 e=i,所以6=你=5，则圆C子+号=1，稀圆C的离心率e=:号之 a=2 所以 a-c-1’解得： a2,放A正 x2+y2=1 确：B选项，若椭圆C上存在点P,使得PF⊥PF,则点P在圆x2+y2=1上，又因为方程组 无解，所 4 =1 3 以不存在点P,使得PE⊥PE,故B错误；C选项，设∠FPE=B,PF=P,PF=q,则P+q=4,若PE+PF=9, 又P+PR=pPf+PEf+2p上16，所以PFPE=子，即p9=子，在sPF5中，由余弦定理可得 7 cos-P-de2pex 2 5 2PF PF 2pq 2pq 7,因为0<B<元，所以 2× 2 2c sin B= 26 设△PFF,外接圆的半径为r根据正弦定理可知，sin =2,2r=2X1 7 2xw626,则 7 49π 24 即△PF乃外接圆的面积为24，故C正确 答案第1页，共6页 D选项，设P啊=x,P=y,则 丽+1PF+2x+1y+2 （x+1-+2-2x+12+y24+4e+-4山，令3=x=y+2,则5+ x+1 y+2 y+2x+1y+2 所非+》e+0-北兰到5+2号当且汉当-2，明=号号时家e 所以 PF. PF +1 PF +2 的最小值为5，故D正确，故选：ACD 12.±2. 13.x-2y+5=0 14.40+2正【详解】如图，设∠CDA=0,则∠CDB=T-0. 6 5 0/-0 A 号D c2 +1-b2 c2 在ACDA和△CDB中，分别由余弦定理可得cos0=4 cos(r-9)=4t1-a2 c 又or-0=-8所以号+2-(g+6)=0,所以e2=2c+分）-4,0 由0-n4-(e+bjmc-m及正孩定理得口-加-(c46c-6j,整理得d+-c-空@ 自余弦定理的推论得csc女+6-c所以snC@代入Q整理得云+：+4 2ab 4 2 又G+8≥2a当且仅当a=6时等号成立，所以4≥2a6+空-2，所以6≤号，即0=b-2时等号成立 22 此时=2}4号.即6-2正，所以当6取大值时4C的周长为D2正 55月 5 5 故答案为： 4W10+2W15 15.(1)an=n2+2n(2)证明见解析【详解】(1)因为数列{an}中，a,=3,a3=15,且数列 为等差数列， 设数列8的公差为d,则2d=4-4=5-3=2,故d=l,所以9=a+(n-)d=3+n-1=n+2,故a,=n2+2m. n n 1。 (2)因为 所以8及G》+( 2n+3 3 故原不等式成立 16.(1)证明：取AF中点M,连接DM,GM,如图所示， 答案第2页，共6页 D G为BF中点，则GMI∥AB,又ABIIDE,得GMIDE, -G1 B 由GM-号4B,DE=AB,得GM=DE,所以四边形DEGM为平行四边形，DMIEG, 又DMC平面DAF,EGE平面DAF,所以EG∥平面DAF. (2)OB=BF=1,易知∠ABF=60°，又∠AFB=90°，得AF=√5 由DA⊥平面ABF,且直线DF与圆柱底面所成角为45°，即∠AFD=45°，则有AD=√5 如图，以F为原点，FA,FB分别为x,y轴，过F垂直于底面的直线FN为z轴，建立空间直角坐标系F-灯z, E D B F 则有raao以465.o)oAoo)c传a0j)p6{5rea.作5 FD,i=√5y+V5z=0 FD=(0,5,5),F匝= 设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),则 _1 FE,n=。x+ 2 2y+V32=0 令y引有=5=-1，得-1-c0为-5 设点G到平面DEF的距离为d, 5 EG.n +3 2 √15 ..d= √5 10 17.(1)当a≥0时，f(x)在(-o,+∞)上单调递增：当a<0时，f(x)在（￥，ln(a)上单调递减：在(n(a),+￥）上单 调递增：(2)[-1，+oo).【详解】解：(1)因为函数f(x)=e+ax-l(a∈R),所以f(x)的定义域为(-o,+∞)，fx)=e+a, 当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(-∞，+∞)上单调递增； 当a<0时，令f'(x)=0,得x=n(-a),所以f(x)在（￥，ln(-a)上单调递减：在(n(-a,+￥）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(-o,+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在（￥，n(-a)上单调递减；在(n(-a,+￥）上 答案第3页，共6页 单调递增。 (2)当x∈(0，+o∞)时，x+1>1,所以g(x)=n(x+1)>0. 设()=x-n(x+I)(cx>0),则)=1- =_Y x+1x+1) 当x>0时，h(x)>0,h(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,所以x>n(x+1), 故0<g(x)<x. 由(1)可知，当a≥0时，f(x)在(，+∞)上单调递增，所以f(g(x》<f(x)成立： 当-1≤a<0时，ln(-a)￡0，且f(x)在(n(-a,+￥)上单调递增， 所以f(g(x)<f(x)成立： 当a<-1时，f(x)在(0，ln(-a)上单调递减： 则有f(g(x》>f(x),不合题意 综上所述，实数a的取值范围为[-l,+∞). 18.(1)0.5(2)0.1889(3)分布列见解析，3.49 【详解】(1)记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为P, 由两人的进球数相同可以是1：1或0：0， 则P=0.5×0.8+(1-0.5)1-0.8)=0.5. (2)记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为P,甲比乙少进一个球的概率为， P=0.5×(1-0.8)=0.1,=(1-0.5)×0.8=0.4. 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为P=0.54=0.0625. ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球， 其概率为CC·P2R·P=0.12 ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2 轮比对方多进一个球，其概率为CC2P·P·乃·P=0.0064. 故甲、乙两人最终平局的概率为0.0625+0.12+0.0064=0.1889 (3)N的所有可能取值为2,3,4. P(N=2)=0.1×0.1+0.4×0.4=0.17, P(N=3)=C2×0.1×0.1×0.5+C2×0.4×0.4×0.5=0.17, 答案第4页，共6页 P(N=4)=1-P(N=2)-P(N=3)=0.66. N的分布列为 N 2 3 4 0.17 0.17 0.66 E(N)=2×0.17+3×0.17+4×0.66=3.49 19.(①213π (2)(i)x2-y2=1:(ii)m2-n2- 3 【详解】(1)(i)点E绕直线AD旋转一周所得图形为圆，过E作EF⊥A,D,垂足为F: 过F作FH⊥AD,垂足为H,连接EH, A D B A D H ⊙ 因为EF⊥平面ADD,A,ADC平面ADD,A,所以EF L AD, FH⊥AD,EF∩FH=F,EF,FHc平面EFH, 所以AD⊥平面EFH.因为EHC平面EFH,所以AD⊥EH, 即E到AD的距离为EH 而EF 2,FH=1,所以EH 3 所以E绕直线AD旋转一周后所得图形周长为C=2r=2π× V13213π 3 3 (2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. A D B A 而G为AC上任意一点，旋转后与平面ABCD的交点为G', 设G(x,y)旋转过程中G到AD的距离与G到AD的距离相等且垂足相同. G到AD的距离为，G到AD的距离为V1+y2, 答案第5页，共6页 所以d=V1+y2,整理得x2-y2=1. (ii)由题意知1的斜率存在，设为k,则：y-n=k(x一m). 如图，作出符合题意的图形，设M(,),N(x2,2) YA P y=k+n-km 联立 x2-y2=1 ，整理得1-k2)x2-2k(n-km)x-（n-km}-1=0. 根据韦达定理x+5=21- -[(n-km)2+1] 1-k2’xx2= 1-k2 ~M,N在y轴的两侧，：x5=a-m+<0即1-k2>0. 1-k2 0≤k2<1,此时△>0恒成立 可得PMPW=V1+k2,-mM+k2k2-m =(1+k2)K-m)2-m片+k2)kx2-mG+x,卡m2, 代入市达定理整理得PMPN-m--0≤：cD, 而PpP-r--发-m-㎡-品-小 当PMPN最小时，k2=0, 即PMPN的最小值为m2-n2-l 答案第6页，共6页