云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷一

云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、单选题 1.命题“3a>0,a2+1<2”的否定为() A.3a>0,a2+1>2 B.3a≤0，a2+1>2 C.∀a>0,a2+1>2 D.Va≤0，a2+1>2 2.设m∈R,复平面内表示复数z=2m+(m-3)i的点在直线x+y=0上，则z=() A.2+2i B.2-2i C.-2-2i D.-2+2i 3.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如右频 率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() 1领率/组距 A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% 0.20 0.14 B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% 0.10 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 0235455657585951055253545入/万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4.己知2=5,1ogg3=b,则4-36=() A.25 B.5 9 5已知函数f国=8c0(x-0+学c0x-0-孕+20<0<孕的一条对称轴为x=名，且在区间0,1上值域为[21， 3 则实数t的最大值为 A.Sir 2π C.Si 6 B. 3 12 D. 3 6如图，在正方形48CD中，边长为9，E是BC边上的一点，E4B-=30,以4为圆心，E为￥格面交CD 于点F,P是弧EF上（包括边界点）任一点，则AP.BP的取值范围是() 30 c哥 7设F是双曲线女 b2 =1的右焦点，双曲线两渐近线分别为4,12，过点F作直线4的垂线，分别交(，12于A, B两点，若A,B两点均在x轴上方且OA=3,|OB=5,则双曲线的离心率e为() A. 5 B.2 2 C.5 D.√6 第1页，共4页 8.三棱锥P-ABC的所有棱长均为2√5，O是△ABC的中心，在三棱锥P-ABC内放置一个以直线PO为轴的圆柱， 则圆柱的体积不能超过() A.8 27 B.4V2 27 C.8v2 81T D.4v? 81r 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.利用x进行独立性检验时，x的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C.样本相关系数”的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当”|越接近1时，成对样本数据的 线性相关程度越弱 D.用决定系数来比较两个模型的拟合效果，R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10.如图，某池塘里的浮萍面积y(单位：m)与时间t(单位：月)的关系式为y=a(k∈R,且k≠0；a>0,且a≠J 则下列说法正确的是() A.浮萍每月增加的面积都相等 B.第6个月时，浮萍的面积会超过30m2 1 C.浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月 D.若浮萍面积蔓延到4m2,6m2,9m所经过的时间分别为1，t2,43,则t+43=2t2 11.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为a1,第二、三行中的最大数分别为a2,43,第 二、三行中的最小数分别为b2,b,则() 第一行 3 A.排列总数为720个 B.4,>4的概率为 第二行 9 第三行 C.满足a1<a2<a3的排列有120个 D.b<a2的概率为 10 三、填空题 12.已知随机变量X~N(2,4),且P(X<0)=P(X>a), 则x- Va 的展开式中常数项为 l3.己知数列{an}和{bn}，其中an=n,neN,{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意neN,{bn}的第a 1g(bbbb6) 项等于{a,}的第五，项，则1gbbh,6) 14.在四棱锥P-ABCD中，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=6O°，且∠APC=∠BPD,PB=PD,PA=√6，若该 四棱锥存在半径为1的内切球，则PC= 第2页，共4页 四、解答题 15.随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技 部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展， 也逐步得到消费者的认可，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放 方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据 见下表： 年份代码1234567 P 年销售量/什万辆3456791012 广告费投入W亿元3.64.14.45.26.27.57.99.1 (1)求广告费投入（亿元）与年销售量x(十万辆)之间的线性回归方程（精确到0.01）： (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如 果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率 2x-0y-列 参考数据： ∑x=460,∑x=379.5.附：回归直线中=x+a,6= -a=y-bx. 16.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A为钝角，tanB+4tanC=1,csin B=4. (1)若anA仁- 9 7,求c的值 (2)求△ABC面积的最小值. 17.如图，已知圆台OO2,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴截面，且BC=2AD=4,AE=√2 (1)证明：AE//BF: D (2)求异面直线EF与BC所成角； 1 (3)已知二面角B-EF-C的余弦值为-3，求圆台的高O0,的长. 第3页，共4页 18.设函数f(x)=lnx-a(x-l)e,其中aeR (1)若a≤0，讨论f(x)的单调性： 1 (2)若0<a<二， e ()证明f(x)恰有两个零点； ()设为f(x)的极值点，x为f(x)的零点，且x>x。,证明3x,-x>2. 19已加48分别是椭圆：手+y=1的左右顶点，动点T满起4山78，过了作H1加于私线段交 椭圆T于点M,过A作AN⊥AT,交椭圆T于点N. (1)设直线AW,BM的斜率分别为k,2,求的值： (2)求证：直线MN过定点： (3)设线段MN的垂直平分线交椭圆T于P、Q两点，若MP⊥MQ,求MN的斜率. 第4页，共4页 云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷一 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D B C A 3.解：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%，故选项A正确：对于B, 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%，故选项B正确：对于C,估计该 地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+ 11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故选项C错误；对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万 元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万 元至8.5万元之间，故选项D正确。 4.解：因为2=5，所以4=22a=(2)2=25,又因为10gg3=b，所以8=3=23b,即436=(2b)2=9,所以 40-36-4°_25 4369 5解：因-8c-0+学c-0-9+28-0+了+-0到引a-9+号+8 =8× 03 -+2 2 =4cos2x-20）因为f闭=8c0r-0+孕cosx-0-孕+20<0<受的一条对称轴为x-若，所以 2x营-29=ez,则9=君受，因为0<0号，所以0=号则f=4m2x-号引，当eD时 6 2x--g,21- 33 -司引因为/四在区间[01上值域为[2，则21-号≤号，所以0<写，则：的最大值为写 6解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所 示：则40.0，学.0，设∠PB=0eB0,601,由正方形4BCD的边长为5且 2 ∠EMB=30得AP=1,设P(cos8,sin0),AP=(cos9,sin9),B驴=cos0-5 ,sin0), 80 丽-ccm0-5+r0=15 cos80∈30,601,1-5 4 7.解：在直角三角形AOB中，|OA=3,IOB=5,可得|AB=√52-32=4，可得 0号，直线4：y=名x,直线6：y=,设的领斜角为a,4的 tan∠AOB=ABL_4 a bb 倾斜角为B,则∠AOB=B-a,:tan∠4OB=tanB-tana aa 4 +mB-ama1+乌5兮，化简可得 aa b=2a,即有e=C=Va2+B =√5 第1页，共7页 8.解：如图所示，圆柱ON的上底面内切于△DEF,L,G分别为BC,EF的中点，则P,G,L三点共线，P,N,O三 点共线，因为三棱锥P-ABC的所有棱长均为2√5，所以BL=CL=√5， L=√AB-B配=3，又0是△ABC的中心，放A0=2AL=2,0L=4L=1,由勾 3 3 股定理得OP=AP2-40=V2-4=2W2,其中*PNGP0L,放Y=C PO OL' 黄Pm-AAG,则嘉片放r意共中0N-0p-Pw-2i-,所 圆柱oN的体积V=2.0N=花25-)，其中A@,2同，则 m=5-答-4-训，令”0，得0< ,令"<0，得45<h<22,故 3 3 上单调递减，故当h=45时，圆柱ON的体积取得极大 3 4v2 值，也是最大值，最大值为 3 2v5 42 82, 故圆柱的体积不能超过8√ 27 P 3 27 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BD BCD ABD 9.解：A选项：X独立性检验中，x值越大，观测频数与期望频数的差异越大，拒绝原假设的概率越大，即两个 分类变量不独立的可能性越大，故A错误；B选项：残差图的带状区域越窄，说明残差的波动越小，模型拟合效果 20,- 越好，故B正确；C选项：|r越接近1，线性相关程度越强，故C错误；D选项：决定系数R=1- 2w-开 R越大，残差平方和∑0，-}越小，模型拟合效果越好，故D正确。 i=l 10.解：由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，代入函数关系式：y=kd(k∈R,且k≠0；a>0,且a≠1)，得： ka=1 ,函数关系式：y=2×2=2，:函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不 1 a3=4'解得 a=2 相等，故选项A错误，当t=6时，y=2=32,浮萍的面积超过了30m2，故选项B正确，令y=2得：t=2；令 y=64得：t=7,所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，令y=4得：1=3；令y=6得： t2=log212;令y=9得：43=l0g218.∴.1+3=3+log218=log2144=21og212=242,故选项D正确. 第2页，共7页 11.解：1,2,3,4,5,6的任意排列方法总数为A=720个，所以A正确：从1,2,3,4中随机选出2个数放在 第二行，其余任意排列，共有4288种不同的方法，则Pa,>4)=1-PQ,≤410所以B正确者 4<a2<a,则a3=6,先从1,2,3,4,5中随机选出2个数放在第三行并排序，共有C·4=60种不同的方 法，再将剩下3个数中最大的数放第二行中的一个，并将剩余两个数进行排列，共有C)A=4种不同的方法，则满 足41<a2<a3的排列有60×4=240个，所以C错误；若b>a2,当b=4时，则第三行为4,5,6，此时满足b>a2 共有44=36种不同的情况；当b=3时，则a2=2,第二行为1,2，此时满足b>a2共有C4=36种不同的 情况所以P6<a)=1-P6>a,)=1-36+36=9 72010 所以D正确 三、填空题 题号 12 13 14 答案 60 2 36+4W5 12.解：正态分布N(2,4)的均值4=2，其概率密度曲线关于直线x=4=2对称，而P(X<0)=P(X>),由对称 性可知a=4,得a=2,二项武 展开式的通项为：T,=Cgx 2 Cg(-2yx6-3r,令6-3r=0, 解得r=2,所以常数项为Cg(-2=6x5x4=15×4=60. 2×1 13.解：an=n2,n∈N,若对于一切neN,{亿，}中的第a项恒等于{a}中的第bn项，…b.=a,=(亿.)2=b, .b=a=1,(b2)2=b4,(6)2=b,(b)2=b6.bb,bb6=(6b,bb)2, lg(b.b.b,bo)_lg(bbb:b:)=2. 1g(bbbb)1g(bbb,b) 14.解：如图取点，使PA=PE=PF=PG=√6 ∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=60°，四棱锥P-AEFG为正四棱锥，设 AF⌒EG=O,:四棱锥P-ABCD内切球到侧面距离为1，可推出O即为球心，再 使O到ABCD的距离为1，即到AC的距离为1.如图所示，由题知：AP⊥PC,令 Os⊥4C,Fm⊥4C1osl-1,=2,lo4=5,设∠0as=a,si血a=万' 1 cosa= 3,∠C=45&,FC=2=4W3+2V6,PC=3V6+43 sin(45-a) 四、解答题 第3页，共7页 2x-0y-列 ∑xy-8可 379.5-8×7×643.5 0.64,a=万-im=6-435×71.52, 2到 ∑x-8x2 460-8×7 68 68 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为y=0.64x+1.52. (2)设A=“在甲汽车店购买汽车”，B,=“在乙汽车店购买汽车”，A=“购买的是新能源汽车”， P(A)=P(B)=0.5,P(A2A)=0.6,P(A2|B)=0.8, 由全概率公式得，P(4)=P(A)P(A,|A)+P(B)P(4|B)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7. 16.解：)由anA=tan[x-(B+C]-a(B+C=-anB+amC=-9 1-tan BtanC 17' 17tan B+17tan C=9-9tan B tan C,tan B=1-4tan C, 所以17(1-4tanC)+17tanC-=9-9tanC(1-4tanC), 化简整理得18tan2C+21tanC-4=0,解得tanC=2或tanC=-4 31 又4为纯角，故么C为锐角，所以mC=行则m8号 sin2 B+cos2 B=1 由 simB=1,解得simB=Vi0 10 cosB 3 4 4 ..c= =4W10. sin B 10 10 (2)因为sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C, 又、6 义sin Bsin C,则bsinC=csinB=4,所以bc= C 16 sin Bsin C 散A4BC的面积scnA8s1一8 m BosC+cos s如C98osC+os5 =8 sin Bsin C sin Bsin C sinC sin B tan C tan B 又B,C为锐角，所以tanC>0,tanB>0,tanB+4tanC=1, 1 ，1 =1+1 (tan B+4tn C)-5c2 tan B 4tan C 十 =9, tan C tan B tan C tan B Vtan C tan B 当且仅当mB=2amC,即anB-子，amC=名时，取等号，所以△1BC的面积的最小值为72 1 6 17.解：（①）证明：在圆台O,O,中，由BA,FE为该圆台的母线，得BA,FE延长线交于一点， 而平面ADE/I平面BCF,平面AEFB∩平面ADE=AE,平面AEFB∩平面BCF=BF, 所以AE/BF； (2)连接OE,O2F,由直线O,O,为圆台O,O2的轴，得FE,O2O延长线交于一点， 第4页，共7页 由(1)同理得OE/1O,F, D 由OE=OA=1,AE=√2，得OE2+OA2=2=AE2, 则OE⊥AD,而AD∥BC, 因此O,F⊥BC, B 直线02F,O,C,O,O两两垂直， 以O,为坐标原点，直线O2F,O,C,O,O分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设O02=t,则A(0,-1,),B(0,-2,0),F(2,0,0),C(0,2,0),D(0,1,),E1,0,),Q(0,0,), FE=(-1,0,t0),BC=(0,4,0), 则FE.BC=0,即FE⊥BC, 所以异面直线F与BC所成角为受： (3)由(2)得BF=(2,2,0),CF=(2,-2,0),FE=(-1,0,), 设平面BEF与平面CEF的法向量分别为m=(a,b,c),i=(x,y,z), mBF=2a+26=0 则 ,取c=1,得a=t,b=-t, m.FE=-a+tc=0 故平面BEF的一个法向量为m=(化，-(，)， n.C℉=2x-2y=0 ,取z=1,得x=y=t, i.FE=-x+tz=0 故平面CEF的一个法向量为万=(t,t,1), 1 面角8-F二C的余弦值为得osm明 解得t=1,所以圆台的高OO,的长为1. 181)解，f-oe+at-e1-1之， ，x∈(0，+∞)， 当a≤0时，f'(x)>0,∴.函数f(x)在x∈(0，+o)上单调递增： (2)证明：间由(1)可知：f)=1-ar -,x∈(0，+o∞)， 1 令g(x)=1-ax2e，0<a<-,可知g(x)在x∈(0，+o)上单调递减， e 又g0=1-ae>0,且gm马=1-am马y.1-1-m}<0, aa a 第5页，共7页 ∴.g(x)=0存在唯一解x∈(1，ln白)， 即函数f(x)在(0，x。)上单调递增，在(x,+o∞)单调递减， x是函数f(x)的唯一极值点， 令h()=血x-x+1,(x>0),h=1-x 0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调递增，x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减， 可得h(x)≤h(I)=0,∴.x>1时，lnx<x-1, f0m马=hm马-am2-le=lnan马-a2-y<0, :f(x)>f()=0,∴.函数f(x)在(x,+∞)上存在唯一零点， 当x=1时，f)=0,∴函数f(x)在(0，x)上存在唯一零点1， 因此函数f(x)恰有两个零点： ()由题意可得：f"(x)=0,f(x)=0,且x>x,即axe=1,，nx=a(:-1)e, n5=e%,即e=血 x-1 ,x>1时nx<x-1,又x>x>1, 故e=1n五<-) =x, x-1x-1 取对数可得：x-x<21血x<2(x-1),化为：3x-x>2. 19.解：①因为TA1TB,则10T引B=2,放点T的轨迹方程为+少2=40≠0)， 设点M(2cos0,sin),则T(2cos0,2sin0)(0≠kπ，k∈Z), M 10 易知点A(-2,0),B(2,0), 因为TA⊥TB,AN⊥AT,所以kANkAT=-1, 1 1 41+cos0)0-c0s0)_40-cos29=2 所以k,gut kark BM 2sin0 sin 2sin20 2sin20 2c0s0+22cos0-2 所以点-红=H k2 kBM kaM MH =2 (2)证明：设M(x,片)，N(x2,y2)，直线MN:x=y+n, 设直线BM:y=k(x-2),则片=(x-2),直线AW:y=2k(x+2),则2=2k(x2+2), 第6页，共7页 易知k≠0，则2y(x2+2)=2(x-2), 由兰+巧=1，得巧=伍+2-2， 4 4 可得8yy2=-(x-2)(x2-2),即(8+m2)yy2+m(n-2)y+y2)+(n-2)2=0,① 将x=my+n代入+y=1, 4 m+4’-n-4 有(m2+4y2+2my+2-4=0,则y+为=-2mn, m2+4 代入①式：得(8+m2)(n2-4)-2m(n-2)mn+(n-2)2(m2+4)=0, 解得a=2(合去)，1=子，即直线过定点（号0： 3 (3)易知MN、PQ的斜率均存在，设MN中点为R(c,d),设MN:y=t(x-c)+d, 将MN与椭圆方程联立，得(1+4t)x2+(8td-8t2c)x+(4tc2-8tcd+4d2-4)=0, 则w+xw= 8td-8t'c 4c2-8,cd+4d2-4 1+42 wxw= 1+42 则w1ew=0-fe-)=0+ 同理RPRO1+)C+4-4 1+4t PQ为MN的中垂线，且PM⊥MQ,记PQ∩MN=R, 在Rt△POM中，MR2=PR·QR,∴MR·NR=PR·OR, ∴四边形MPWQ四点共圆，且c2+4d2-4≠0， 则1+-1+3 1+41+4 ,化简得=号， 又2=-1，于是=±1，即MN的斜率为±1. 第7页，共7页 ‘p+(b-x)1=(Od9