精品解析：山东省淄博市桓台县实验中学2024年九年级 中考前测试数学题

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母，该舰的满载排水量为67500吨，数字67500用科学记数法表示为（　　） A. 67.5×104 B. 6.75×104 C. 0.675×105 D. 6.75×105 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】67500＝6.75×104． 故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，∵∠1=30°，∠BAC=90°， ∴∠3=60°. 又∵DE∥FG， ∴∠2=∠3=60°. 故选A． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方法则、单项式乘以多项式法则进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，积的乘方与幂的乘方法则，单项式乘多项式法则．熟记法则是解决此题的关键． 5. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和中心对称的定义，依次判断四个图形即可 【详解】A.是轴对称图形但不是中心对称图形，故A不符合题意； B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B不符合题意； C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故C符合题意； D.是轴对称图形但不是中心对称图形，故D不符合题意. 6. 某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据行程问题的公式“时间 路程速度”，结合“骑车比汽车多用20分钟”的等量关系列方程，注意统一单位 【详解】解：设骑车学生的速度为 km/h，则汽车的速度为 km/h， ， ∵骑车学生先走，最终同时到达， ∴骑车学生走完全程的时间比汽车多， ∵骑车时间为，汽车时间为， ∴列方程得 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 把解集表示在数轴上，则 故选：B 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，以及把解集表示在数轴上，解题的关键是正确的求出不等式的解集． 8. 估计的值应在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法运算法则计算得到，再根据无理数估算由，得到，从而确定答案． 【详解】解：， 又， ，即的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算及无理数估算，掌握二次根式乘法运算法则及无理数估算方法是解决问题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以求得 OA和 AC的长，从而可以求得点 C的坐标，进而求得 k的 值，本题得以解决． 【详解】等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，CA⊥x轴，， ， ，， 点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 故选． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且 ，连接和，与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】证明可判定①正确；运用两边对应成比例及其夹角相等可判定②；根据得到，过点F作于点G，根据三角函数可判定③；根据，设，则可判定④． 【详解】解：∵正方形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 过点F作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 设，则， ∴ 故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中线的性质，锐角三角函数，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式a，再用完全平安公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 13. 如图，平分， 于点，点在射线上，且 ,若 ， ， ，则的长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据角平分定理、勾股定理，三角形全等求解即可． 【详解】过点作 交于点，如图， ∵平分， 于点， ∴ ， ， 在 中， ， ，根据勾股定理得， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ． 14. 如图，抛物线 交轴于、两点（在的左侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点， 沿折叠得 ，则线段的最小值是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线先求出、、，坐标，从而求出，，的长度，根据勾股定理即可求出的长度，利用翻折的性质，可判断出移动轨迹，从而判断，， 三点共线时最小，然后根据直角三角形斜边上的中线是斜边一半即可判断出也是圆的半径，利用垂径定理即可求出的长度，最后结合勾股定理通过等量代换即可求出的最小值． 【详解】解：抛物线 与坐标轴有三个交点、、， 时，，；时， ， ，，， ，， ， 在中，， 是中点， ． 是由 沿折叠所得， ， 是在以为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示， 为直角三角形，为斜边上的中线， ， 以为圆心的圆经过点， 过点作 于点 ， ， 在 中， ， ， 在 中， ， 最小， ，， 三点共线， ． 15. 如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于_____． 【答案】2.5π． 【解析】 【分析】作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，得到△GEM∽△DNF，于是得到＝＝4，设GM＝t，则DF＝4t，然后根据△AEF∽△GME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解． 【详解】解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G， ∴△GEM∽△DNF， ∵NF＝4EM， ∴＝＝4， 设GM＝t，则DF＝4t， ∴A（4t，）， 由AC＝AF，AE＝AB， ∴AF＝4t，AE＝，EG＝， ∵△AEF∽△GME， ∴AF：EG＝AE：GM， 即4t：＝：t，即4t2＝， ∴t2＝， 图中阴影部分的面积＝＝2π+π＝2.5π， 故答案为2.5π． 【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知反比例函数、一次函数及相似三角形的判定与性质及扇形面积的求解. 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中 ． （2）解方程组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ， 当 时， 【小问2详解】 解：， ，得 ， 解得， 把代入②，得， 故原方程组的解为． 17. 如图，为等边三角形，平分交于点D， 交于点E． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴． ∵ ， ∴，． ∴是等边三角形． 【小问2详解】 ∵为等边三角形， ∴． ∵平分， ∴ ． ∵是等边三角形， ∴． ∴． 18. 为了解学生阳光体育大课间活动情况，某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了某班同学，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图： 依据统计图信息，解决下列问题： （1）随机调查的某班同学有______人； （2）在扇形统计图中，喜欢“足球”的百分比为______ ； （3）如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？ （4）已知在被调查的某班同学中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队，请用画树状图或列表的方法，求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【答案】（1）50 （2）20 （3）80 （4） 【解析】 【分析】（1）用跳绳的人数除以所占百分比进行求解即可； （2）用足球的人数除以总人数，即可得解； （3）用全校学生人数乘以样本中篮球所占的百分比进行求解即可； （4）列出表格，利于概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：； 故答案为：20； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计全校学生中有80人喜欢篮球项目． 【小问4详解】 解：喜欢篮球项目的有5人，其中两名女生，则有三名男生，用表示女生，表示男生，列表如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 共有20种等可能的结果，其中1名女同学和1名男同学共有12种结果． 所以，P（1名女同学和1名男同学）． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，同时考查了利用样本估计总体，以及列表法求概率．从统计图中正确的获取信息，是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使得最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， （2）6 （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过可求出反比了函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求得，通过，即可求得一次函数的解析式； （2）设一次函数的图像交x轴于点，根据一次函数的解析式求出C的坐标，分别求出，，再通过即可得到答案； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，求出直线的解析式即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：将带入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； ∵在反比例函数上， ∴， ∴， 将和带入得 ， 解方程组得：， ∴一次函数的解析式为： ； 【小问2详解】 解：如下图所示，设一次函数的图像交x轴于点， 根据一次函数的解析式可以得， ∴ ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在， 如下图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解方程组的：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 20. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：） 【答案】A，B两点之间的距离是． 【解析】 【分析】过B作于E，过A作 于F，由已知是等腰直角三角形，设，则，，在中，可得，解得，在 中，解得，根据四边形是矩形，可得，，，即可在中，求出即可. 【详解】解：过B作于E，过A作 于F，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 中，， ∴，即， 解得， 经检验符合题意； ∴， 中，，， ∴，即， 解得， ∵，于E， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 中，， 答：A，B两点之间的距离是． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形． 21. 为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等． （1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？ （2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？ 【答案】（1）A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品 （2）10台 【解析】 【分析】（1）设A种型号机器每小时生产x kg产品，B种型号机器每小时生产（x-10）kg产品，根据A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要A型号机器m台，则需要B型号机器（18-m）台，根据在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：(1)设A种型号机器每小时生产kg产品，B种型号机器每小时生产kg产品，根据题意得：， 解得： ， 经检验， 是原方程的解， 则-10=50， 答：A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品； 【小问2详解】 设需要A型号机器台，则需要B型号机器台， 根据题意得：， 解得：， 答：至少需要A型号机器10台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，点E为正方形的边上一动点，直线与相交于点F，与的延长线相交于点 G，以为直径作． （1）求证： ； （2）求证：是的切线； （3）若正方形的边长为4，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵ ， ∴； （2） 证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ，即， 又∵是的半径 ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，由此即可利用证明 ； （2）如图所示，连接，由正方形的性质得到，则，，由全等三角形的性质得到，再由 ，得到 ，即可证明，即可推出 ， 即可证明是的切线； （3）如图所示，过点F作 于点M，先证明，得到，解 ，得到，设 ，则，，解求出，由，求出；证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作 于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 中，， 设 ，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与安判定，切线的判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23. 已知抛物线，其对称轴为，与x轴的一个交点为，另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接，交于点N，当最大时，求点M的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图像上一点，若四边形 为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，、，或、，或、 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出b的值，再将代入解析式求出c的值，可得； （2）过点M作轴于点H，交直线于点K，设点M的坐标为，则点K的坐标为，证明，根据对应边成比例可得，可知当最大时，，由此可解； （3）设点P的坐标为，，当四边形 为平行四边形时，，，分“点P在点Q的左侧和点P在点Q的右侧”两种情况，根据点P与点Q的纵坐标相等，列式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为， ， 解得 ， 将代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的函数表达式为， 当时，， ， 当时， ， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点M作轴于点H，交直线于点K， 设点M的坐标为，则点K的坐标为， ， 轴， 轴， ， ，， ， ， 当最大时，， ， 点M的坐标为； 【小问3详解】 解：一次函数过点， ， 解得， 点Q是一次函数图像上一点． 点P为抛物线上一点，且在x轴上方， 设点P的坐标为，， 四边形 为平行四边形， ，， 分两种情况，当点P在点Q的左侧时： 点Q的坐标为， ， 点P与点Q的纵坐标相等， ， 解得或， 当时，， ，， 当时，， ，； 当点P在点Q的右侧时： 点Q的坐标为， ， 解得 或， 当 时，， ，， 当时，，不合题意； 综上可知，存在，、，或、，或、． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的存在性问题等，解第二问的关键是作辅助线构造相似三角形，解第三问的关键是注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母，该舰的满载排水量为67500吨，数字67500用科学记数法表示为（　　） A. 67.5×104 B. 6.75×104 C. 0.675×105 D. 6.75×105 3. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 估计的值应在( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且 ，连接和，与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． 11. 因式分解：___________． 12. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 13. 如图，平分， 于点，点在射线上，且 ,若 ， ， ，则的长为 _______． 14. 如图，抛物线 交轴于、两点（在的左侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点， 沿折叠得 ，则线段的最小值是 __________________． 15. 如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于_____． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算 （1）先化简，再求值：，其中 ． （2）解方程组：． 17. 如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 18. 为了解学生阳光体育大课间活动情况，某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了某班同学，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图： 依据统计图信息，解决下列问题： （1）随机调查的某班同学有______人； （2）在扇形统计图中，喜欢“足球”的百分比为______ ； （3）如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？ （4）已知在被调查的某班同学中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队，请用画树状图或列表的方法，求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使得最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：） 21. 为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等． （1）求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？ （2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？ 22. 如图，点E为正方形的边上一动点，直线与相交于点F，与的延长线相交于点 G，以为直径作． （1）求证： ； （2）求证：是的切线； （3）若正方形的边长为4，，求的值． 23. 已知抛物线，其对称轴为，与x轴的一个交点为，另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接，交于点N，当最大时，求点M的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图像上一点，若四边形 为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $