山东省枣庄市2025-2026学年高二数学下学期期末自编试题（一）

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心内容，通过新能源汽车调查、杨辉三角文化等真实情境，分层考查导数应用、概率统计、二项式定理等知识，注重数学抽象与数据建模能力，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数运算、计数原理、正态分布|第7题动态面积问题考查几何直观| |多选题|3题|函数极值、独立性检验、杨辉三角|第11题结合文化传承考查组合数性质| |填空题|3题|切线倾斜角、正因数个数、展开式系数|第13题因数分解考查运算能力| |解答题|5题|函数最值、统计案例、二项式定理、设备概率模型|第16题新能源调查体现数据观念，第19题设备控制结合概率应用|

山东省枣庄市2025-2026学年高二数学下学期期末自编试题（一） 一、单选题 1.下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 3.已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和（  ） A．32 B．64 C． D． 3 4 5 6 7 16 20 25 28 36 4．小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） A．与正相关 B．经验回归直线经过点 C．当时，残差为1.8 D． 5．对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且 ，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是（   ） A．越大，与的线性相关性越弱 B．若，则 C．若，则 D．若样本点都在回归直线上，则 6．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是( ) A. B. C. D. 8．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递减 B．当时，函数没有最值 C．当时，过原点且与相切的直线有两条 D．对任意，函数恒有两个极值点 10．下列命题正确的是（     ） A．已知，则 B．若，，且，则，相互独立 C．若随机变量，则 D．三项展开式共有项 11．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ） A．第20行中最大的数是第11个数 B．第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 C．记第20行第个数为，则 D．第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 三、填空题 12．曲线在点处的切线的倾斜角________． 13． 2160有不同的正因数的个数________ 14．的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 四、解答题 15．已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 16．近年中国新能源汽车进入高速发展时期.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查的形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 年龄 段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄是否有关； 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 (2)采用按比例分配的分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 附：，. 17．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024 (1)求的值； (2)若 （i）求的值； （ii）求的值． 18．已知函数，. (1)若，求在处的切线方程： (2)讨论的单调性； (3)若对任意两个不相等的正实数，恒成立，求的取值范围. 19．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C D C D B ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 2．B 【分析】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可. 【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：B． 3．A 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 设， 则当时，， 故选：A. 4．C 【分析】观察数据或者求得，可知正相关，从而判定A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；求出的估计值，进而计算残差，从而判定CD. 【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确； 选项B： 易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确； 对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得 ，故D正确. 计算预测值，实际值， 残差. 题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误， 故选：C 5．D 【分析】对于A，由的绝对值大小与和的线性相关性强弱关系可判断选项正误；对于B，由与计算公式可判断选项正误.对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由的意义可判断选项正误； 【详解】对于A，的绝对值越接近1，由于，故的值越大，与的线性相关性越强，故A错误； 对于B，,从而，则当时，因无法确定，则无法确定，故B错误. 对于C，由于可得，则，当时，，则，故C错误； 对于D，若样本点都在回归直线上，且，则，D正确； 6．C 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 7．D 【解析】 【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可. 【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求. 故选D. 8．B 【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则原不等式等价于， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 9．ACD 【分析】对于A，求导判断导数符号即可；对于B，求导得出函数单调性，进一步根据极限情况即可判断；对于C设出切点，从而表示出切线方程，再根据切线过原点可以得到一个关于切点横坐标的方程，判断方程解的个数即可；对于D， 求导，由导数与极值的关系即可判断. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，恒有，因此在上单调递减，故A正确； 对于选项B，，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故无最大值， 又当时，，且，故有最小值，且最小值在处取得，故B错误； 对于选项C，设切点为，则切线方程为， 因为该切线过原点，所以，即，即， 当时，方程有2解，C正确； 对于选项D，由题可得，令， 因为，所以，， 即存在两个不同的根，所以恒有两个极值点，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】对于A利用组合数的性质即可判断，对于B利用条件概率与独立性的关系即可判断，对于C利用二项分布的概率公式即可判断，对于D利用组合数即可判断. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，的展开式中每一项的指数和均是，相当于个无区别的球放入a，b，c三个不同的盒子里， 每个盒子放入的球数不限．所以展开式中不同的项数为，故D正确 11．ABD 【分析】A选项利用组合数取得最值的性质可判断；B选项利用组合数公式可计算；C选项利用二项式定理可求解；D选项利用组合数的性质可求解. 【详解】对于A选项，因为杨辉三角第行的数对应组合数，，，， 由组合数的性质：当为偶数时，最大数是，对应第个数，可得 第行对应，最大数为，是第个数.故A正确； 对于B选项，第行的数对应组合数，，，， 则从左到右第个数为，第个数为， 所以.故B正确； 对于C选项，因为第行第个数为， 所以，令， 根据二项式定理，.故C错误； 对于D选项，因为第四斜行的数为：1，4，10，20，…， 对应组合数为，即， 所以数列的前项和为 .故D正确. 12．【答案】 【分析】根据导数的定义求出曲线在处的导数，即为曲线在点处切线的斜率，即可求出其倾斜角. 【详解】 所以曲线在点处的切线斜率为， 则倾斜角为. 13．【答案】40 【解析】 【分析】对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解. 【详解】由题意，， 则2160的正因数， 因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3； 所以2160有个不同的正因数. 14．-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 15．(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 16．(1)列联表见解析，有关，理由见解析； (2) 【分析】（1）先完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人， 青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍， 所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人， 得到如下2×2列联表： 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. （2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2:1， 所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年，3人是中老年， 记这4人中，青年的人数为X，则X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列如下： 1 2 3 4 ， 所以这4人中青年人数的期望为. 17．(1) (2)（i）1；（ii）180 【分析】（1）根据二项式系数和为列方程求解. （2）先换元，将二项展开式按照新元的升幂排列，再令，即可求出；再考察二项展开式的通项公式，求出项前的系数值即可. 【详解】（1）所有二项式系数之和为，得． （2）（i）令，则. 令，则. （ii）由（i）得，. 项的系数. 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，进行讨论； （3）将不等式转化为在单调递增，即在上恒成立即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即； （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时， 时，时， 所以，在，上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时， 时，时， 所以，在，上单调递增，在上单调递减； （3）设，由， 得， 即. 设，则在上单调递增， 在上恒成立， 则在上恒成立，设，， 函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值. 所以，实数的取值范围为. 19．(1)分布列见解析，， (2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $