精品解析：山东省枣庄市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

2024-2025学年高二教学质量检测 数学 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用导数运算公式求解即可． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 2. 用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B. 若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D. 线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】A 【解析】 【分析】由残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断A；x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，可判断B；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断C；值越大，则模型的拟合效果越好，可判断D. 【详解】对于A，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确； 对于B，x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，故B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：A. 4. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以， 故选：D． 5. 下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（ ）（附：样本相关系数） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为-1，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案. 【详解】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小是③. 故选：C 6. 现有8道四选一的单选题，某生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.85，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.该生从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.8 D. 0.85 【答案】A 【解析】 【分析】由全概率公式计算即可得出结果． 【详解】设事件A表示“考生答对该题”，事件B表示“选到有思路的题”，由全概率公式得 ． 故选：A． 7. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为，， 则，， 则，， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确. 故选：A. 8. 函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性得函数值域，从而转化为有两个不等实根，再由导数确定新函数的单调性确定函数的性质得结论． 【详解】易知在上是增函数， 所以数在区间的值域为， 又值域为，所以， 有两个不等的实根， 记（），则， 设，则，所以是增函数，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，而时，，时，， 所以， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质逐一计算判断. 【详解】由题可知：， 对A，，故正确； 对B，，所以，故错误； 对C，，所以，故正确； 对D，由，所以随机变量的正太曲线更高瘦， 而随机变量的正太曲线更矮胖，所以，故正确. 故选：ACD 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，结合极值点、零点、导数的性质逐一判断即可. 【详解】. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极值点，因此B正确； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：ABD 11. 某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 145 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（ ） A. 曲线C经过点 B. C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用题目的数据，得出，的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个逐项判断即可. 【详解】由题可知，令，，， ， 所以， ，故B正确； 所以， 令，， 所以曲线C不经过点，故A错误； 当时，千人， 所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为万人， 因为每晚最多能接纳10万人，所以会超过夜市接纳能力，故C正确； 由可知，当时，， 所以当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加千人，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 【答案】30 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可得解． 【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为， 故答案为：30. 13. 已知满足，则在处的导数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，结合复合函数求导法则、赋值法进行求解即可. 【详解】，所以有， 故答案为： 14. 十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________. 【答案】56 【解析】 【分析】由题意：在二进制中的表示，恰有两个0，结合组合数计算即可求解. 【详解】由，即，要使， 则在二进制中的表示恰好有两个0， 所以有个满足题意的的值. 故答案为：56. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）画出函数的大致图像． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）图像见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数单调区间以及极值； （2）由单调性结合极值和零点画出函数的大致图像. 【小问1详解】 ，函数定义域为R， ， ，解得；，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值． 【小问2详解】 当时，﹔，，，结合函数单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示︰ 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】 【详解】 （1） （2） 展开式中所有的有理项为 17. 台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果 组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； （2）在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）满意情况与学生的组别有关 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想即可判断； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望和方差的公式进行运算求解即可. 【小问1详解】 零假设为：满意情况与学生的组别无关. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即满意情况与学生的组别有关，该推断犯错概率不超过； 小问2详解】 根据分层抽样的性质可知： 选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 由题意可知：， ， ， ， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： ， . 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围； （3）当时，记的导函数为，证明：对，不等式恒成立. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程作答； （2）对时，利用导数判断单调性求出，得解；对时，由，可得，由，可验证上式不恒成立，得解； （3）利用，可得，构造函数，利用导数证明即可得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 当时，，则， 所以，又， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 由题得，， 令，则， 若，则，即在上单调递增； 因为，所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 即， 由，得，即. 若，由，可得， 即，对任意恒成立， 因为，而，当时，， 所以对时，不成立，即当时，不恒成立； 综上可知，. 【小问3详解】 令，则， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 则，当且仅当时等号成立. 当时，， 令， 则 ， 因为恒成立，所以由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以. 综上可知，，当且仅当时两等号同时成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问证明的关键是利用不等式，证明，将问题转化为证明. 19. “随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. （1）求质点移动6次后位于的概率； （2）设质点在第2秒末移动到点，记xy取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为0； （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）移动6次到，只能3次向右，3次向上，由此由独立重复试验概率公式计算； （2）根据第2秒末粒子的可能位置进行列举，确定随机变量的可能值，由古典概型概率公式计算概率得其分布列，再由期望公式计算出期望； （3）（i）根据第1秒末粒子的所有可能位置，易得第2秒末回到原点的概率，根据粒子在第4秒末回到原点，可分两种情况考虑，即按照四个不同方向的排列或按照两个相反方向的排列，利用互斥事件的概率加法公式计算即得；（ii）因第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步，由此求出，利用组合式公式和题设公式化简即得. 【小问1详解】 质点移动6次后位于，6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为 【小问2详解】 因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，， 故的分布列为： 0 1 期望为； 【小问3详解】 （i）因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.故； （ii）第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 【点睛】关键点点睛：题中求时理解为第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步最为关键，从而得到，其次利用组合公式，题设公式的结合是第二关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二教学质量检测 数学 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 14 D. 16 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B. 若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D. 线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 4. 已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（ ）（附：样本相关系数） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 现有8道四选一的单选题，某生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.85，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.该生从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.8 D. 0.85 7. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为，用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 11. 某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（ ） A. 曲线C经过点 B C. 若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D. 广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 13. 已知满足，则在处的导数为__________. 14. 十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）画出函数的大致图像． 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 17. 台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果 组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； （2）在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3841 6.635 10.828 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围； （3）当时，记导函数为，证明：对，不等式恒成立. 19. “随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. （1）求质点移动6次后位于的概率； （2）设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求 参考公式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $