山东枣庄市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷3

**基本信息** 聚焦人教A版必修二全册，通过多样化题型考查空间观念、数据意识及推理能力，解答题融合立体几何证明与统计应用，体现数学思维与现实问题的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、圆锥表面积、线面关系|基础概念辨析，如第2题圆锥表面积计算| |多选题|3/18|复数性质、概率事件独立性|多选项分层考查，如第11题正四面体概率分析| |填空题|3/15|统计百分位数、线面角正弦值|结合图形情境，如第13题长方体线面角| |解答题|5/77|四棱锥证明与线面角、环保竞赛统计|综合应用，如19题空间几何证明与角的计算，17题统计与概率结合|

山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 故选：A. 2．圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可 【详解】圆锥母线长，表面积 故选：B. 3．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 故选：C. 4．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件列出随机试验的所有基本事件，再确定事件至少有一个白球中所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求事件的概率. 【详解】设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e， 则从袋子中随机摸出2个球的样本空间,, 记事件“至少有一个白球”，则,, 所以事件至少有一个白球的概率为概率 ， 故选：A． 5．已知，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用向量垂直的坐标运算可得，再结合投影向量求法计算即可得. 【详解】由、，则， 由，则有，解得，即， 则向量在上的投影向量为:. 故选：B. 6．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，再利用向量的线性运算、向量的数量积运算列式，求出CE长的最大值作答. 【详解】取线段的中点，连接，如图， 有，因此， 因此最大，当且仅当最长，即点与点重合， 显然，，， 因此，即的最大值为， 所以的最大值是. 故选：D 7．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列选项不正确的是（    ） A．直线平面 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】C 【分析】由线面平行的判定定理可判断A，由线面垂直的性质定理可判断B，由三棱锥的体积公式可判断C，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断D. 【详解】对于A，，平面，平面，直线平面，故A正确； 对于B，，，，平面，平面， 平面，又平面，，故B正确； 对于C，三棱锥的体积，故C错误； 对于D，设三棱锥的外接球的半径为，的外接圆半径为， ， 在中，由余弦定理得， 所以，则有，所以， 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：C. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 整理得①， 故， 又，所以， 把代入①式得： 即② ，   又依题意： ,即 , ,即 , , ③ ,把②式代入③式得： , , 所以的面积为 . 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若最小值为1，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：若，则，，故A正确； 选项B：已知，则，解得，故B错误； 选项C：.,此时 . 故C正确； 选项D：已知，则，解得，故D正确． 故选：ACD. 10．下列说法中正确的是（    ） A．若复数满足,则 B．已知，2i是关于x的方程的一个根，则 C．若复数为纯虚数，则实数 D．若复数z满足，则的最小值为 【答案】AB 【分析】由复数模的计算公式及共轭复数概念，可判定A正确；化简复数，根据复数的分类，列出方程，求得的值，可判定B错误；根据实系数一元二次方程性质，结合韦达定理，求得的值，可判定C正确；根据复数模的几何意义，以及圆的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由，得,。所以A正确； 对于B，由是关于x的方程的一个根，可得是方程的另一个复数根， 由韦达定理得，可得，所以，所以B正确． 对于C，由复数， 因为复数为纯虚数，可得，解得，所以C错误． 对于D，由复数满足，根据复数模及减法的几何意义知在复平面内，复数的对应点在以 为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点Z到点的距离，且点在圆内， 因为, 所以的最小值为:，所以D错误． 故选：AB 11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥 C．事件M与事件N相互独立 D．事件发生的概率为 【答案】CD 【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断. 【详解】由题设知样本空间为, , 则, , , , ，，A错误； 显然,所以不是互斥事件，B错误； ,,, 即事件M与事件N相互独立，C正确； , D正确. 故选：CD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为______． 【答案】 【分析】利用频率分布直方图的性质求出a的值，再结合第90百分位数定义求解即可. 【详解】由题意得组距，因为小长方形面积和为1， 所以,解得， 而，则第90百分位数在内， 且设其为，得到，解得 . 故答案为： 13．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果. 【详解】在长方体中，，所以四边形是正方形。 连接交于点H,连接 ,则, 由平面，可得，又 所以平面，则即为所求角， 因为，，, , 所以， 故答案为： . 14．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，利用化简即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 因为，所以，又因为，所以，则， 由余弦定理可得：，可得：，即， 当且仅当时取等号， 因为为的角平分线，所以， 所以，则， 化简得：，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以线段的最大值为. 故答案为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知复数满足，，且复数在复平面内所对应的点位于第三象限. (1)求复数； (2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 【分析】（1）设出复数，根据复数相等，复数运算法则，以及模的求解公式，求得参数，即可解得复数； （2）将（1）中所求复数代入方程，结合复数运算以及复数相等，即可求得关系，则问题得解. 【详解】（1）由题可设复数，则， 又，即，故； 解得，故复数. （2）根据题意满足，故， 即，则，解得，则. 16．已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点. (1)当时，用，表示，，并求的值； (2)若时，求的取值范围. 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则表示出，，再由数量积的运算律计算可得； （2）建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意 ， ， 所以 . （2）以为坐标原点，直线MA为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。则，，， 因为,所以点P在以A为圆心，半径等于1的单位圆上，所以可以设，则，， 所以， 因为，所以， 即. 17．学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图。根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人的成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为前3组的频率为， 前4组的频率为， 所以中位数位于内，设中位数为， 则，解得 ,即中位数是 。 （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则，且事件B与C相互独立。 方法1，， 则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 18．已知、、分别为锐角三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，则周长的范围． 【分析】（1）由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据正弦定理、三角恒等变换公式化简可得，进而结合角的范围即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，， 则， 即， 在中，，即， 则，即， 因为，所以，则，即. （2）由正弦定理得 ， 则，由（1）知 , , 所以 ， 由，得，则， 即，则， 即周长的取值范围为. 19．在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，点M，N分别为棱AB,PC的中点，，平面平面，    (1)求证：平面； (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【分析】（1）取PD的中点O，连接AO,只需证明MN//AO即可； （2）先证明平面PBE，再由线面垂直得到线线垂直； （3）过A点作平面PBD的垂线，垂足为H，运用等体积法求出A点到平面PBD的距离，解即可. 【详解】（1）取PD的中点O，连接,点M，N分别为棱AB,PC的中点， ,且,,且, 且 ， , 平面 ,平面 ,平面 . (2)取AD的中点E，连接PE，BE，如下图：        ，又是等边三角形，即， 平面PBE，平面PBE，平面PBE，； （3），，，平面平面ABCD， 平面平面平面ABCD，平面ABCD，， 在中，， 过A点作平面PBE的垂线，得垂足H，连接DH， 与平面PBD的夹角即为AD与平面PAD的夹角，设其为，则， 下面用等体积法求出AH的长度， ，在中， ，， 在中； 综上，直线BC与平面PBD所成角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 4．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 7．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列选项不正确的是（    ） A．直线平面 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若最小值为1，则 D．若，则 10．下列说法中正确的是（    ） A．若复数满足,则 B．已知，2i是关于x的方程的一个根，则 C．若复数为纯虚数，则实数 D．若复数z满足，则的最小值为 11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥 C．事件M与事件N相互独立 D．事件发生的概率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为______． 13．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 14．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知复数满足，，且复数在复平面内所对应的点位于第三象限. (1)求复数； (2)若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值. 16．已知是边长为2的等边所在平面内一点，是的中点，是的中点. (1)当时，用，表示，，并求的值； (2)若时，求的取值范围. 17．学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图。根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人的成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 18．已知、、分别为锐角三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，则周长的范围． 19．在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，点M，N分别为棱AB,PC的中点，，平面平面，    (1)求证：平面； (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $