山东泰安市2025-2026学年高一下学期数学期末备考通关检测模拟卷

**基本信息** 山东省泰安市高一下学期期末备考模拟卷，以统计、复数、立体几何、概率、向量为核心，通过分位数计算、随机数模拟概率、四棱锥二面角求解等题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计分位数、复数虚部、斜二测面积|基础概念与运算结合，如第1题75%分位数计算| |多选题|3/18|概率互斥事件、向量垂直与夹角|辨析性强，如第9题结合具体事件判断互斥独立| |填空题|3/15|随机数模拟概率、频率分布直方图分位数|情境化设计，如第12题用20组随机数估计投篮概率| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、概率分步计算|综合性强，如第19题四棱锥证明及点面距离、二面角求解，考查空间想象与逻辑推理|

山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末备考通关检测模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 2．（本题5分）已知i为虚数单位，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知向量 ， 若与垂直，则 （   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（   ） A．甲和乙为互斥而不对立事件 B．丙和丁为互斥而不对立事件 C． D．甲和丁为独立事件 10．（本题6分）下列命题中正确的是（   ） A．两个非零向量，若，则与共线且反向 B．已知，且，则 C．若非零满足，则与的夹角是 D．若为锐角，则实数的取值范围是 11．（本题6分）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783  062  228  049  276  102  734  933  750  076  140  065  061  215  693  599  494  411  987  789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 13．（本题5分）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为____________分． 14．（本题5分）已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 16．（本题17分）某校组织学生参加交通安全知识培训，培训后进行测试（满分：100分）．现从该校参加培训测试的学生中随机抽取100名学生并统计他们的测试分数，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计该校学生这次测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）； (3)已知该校参加培训测试的学生有3500人，记测试成绩不低于90分的学生为优秀学员，估计该校这次测试的优秀学员的人数． 17．（本题15分）已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 18．（本题17分）某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． (1)求李明第二次答题后结束面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 19．（本题15分）如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．    (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高一下学期期末备考通关检测模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C B A B D AD AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 2．A 【分析】利用复数的除法求出复数，即可得出其虚部. 【详解】复数, 虚部是， 故选：A. 3．D 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4．C 【分析】由列举法可得录取总情况数及录用的2人性别不同的情况数，据此可得答案. 【详解】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C 5．B 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故， 所以在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 6．A 【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值． 【详解】由，可得， 所以， ，． 故选：A 7．B 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 8．D 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 9．AD 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 10．AC 【分析】左右同时平方可得即可判断A；举反例即可判断B；利用向量数量积的运算法则，结合夹角公式即可判断C；由利用夹角为锐角排除夹角为0的情况可判断D. 【详解】对于A，，可得， 即，即， 则，因，则， 则与共线且反向，故A正确； 对于B，当向量都与垂直时，满足， 但是与不一定相等，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，化简得， 所以，即， 又， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，由， 得，则为锐角即为锐角， 所以，解得且，故D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】根据线面角的定义判断A，取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，求解可判断B，利用等体积法求解可判断C，利用定义法求得异面直线所成的角的余弦值可判断D. 【详解】因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角不是，故A不正确； 如图，取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面面，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 因为，，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B正确； 因为，，所以， ，， 设到面的距离为，由，得， 所以，解得，故C正确； 如图，过分别作，交于点，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以两条异面直线所成的角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 12．0.65/ 【分析】结合题意，由古典概率可得. 【详解】由题意可得062  228  049  102  734  933  750  140  065  061  215  494  411   符合题意， 所以由古典概率可得. 故答案为：0.65. 13．86.25 【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率及百分位数的求法估计分位数即可． 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 故答案为：86.25 14． 【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积. 【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示： 易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以， 可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得， 又平面，且， 设四棱锥的外接球半径为， 可得，即； 因此外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果. 15．(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 16．(1) (2)78 (3)525 【分析】（1）由频率分步直方图中所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由（1）结合用频率分布直方图估计平均数方法可得答案； （3）由题可得不低于90分的频率，据此可得答案. 【详解】（1）由图可得，解得； （2）估计该校学生这次测试成绩的平均分为: 分； （3）由图可得测试成绩不低于90分的频率为0.15， 则该校这次测试的优秀学员的人数约为． 17．(1) (2) 【分析】（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解； （2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】（1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 18．(1) (2)． 【分析】（1）设表示“李明答对第道题目”，，设表示“李明第二次答题后结束面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）设表示“李明最终通过面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果 【详解】（1）设表示“李明答对第道题目”，．设表示“李明第二次答题后结束面试”， 则，且，互斥． 因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立， 于是． （2）设表示“李明最终通过面试”，则且互斥， 所以 ． 因此，李明最终通过面试的概率是． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接PO，BO，BD，先证明，，进而求证即可； （2）易得是二面角的平面角，即，过P作的延长线于H，进而证明平面，进而求解即可； （3）取PB中点E，连OE，取PC中点F，连EF，AE，DF，进而得到为二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2）由（1）知，，， 则是二面角的平面角，， 由平面，平面， 则平面平面，过P作的延长线于H， 因为平面平面，平面， 因此平面， 而在正中，，则， 又，则， 所以点P到平面的距离是. （3）由（1）知，是正三角形，则， 取PB中点E，连OE，由（2）知，， 则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，且， 又平面，平面，则， 即有，又，则， 从而得为二面角的平面角， 在梯形中，， 中，， ， 所以二面角的余弦值是.      答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $